نظرية كوماندينو

من السهل إثبات النظير السابق من خلال النتيجة الأكثر عمومية التالية، والتي تشبه طريقة عمل الروافع في الفيزياء: ^{[ 7 ]}

يترك${\displaystyle m}$و${\displaystyle k}$لتكن أعدادًا طبيعية ، بحيث في${\displaystyle \mathbb {R} }$- فضاء متجهي${\displaystyle {\mathcal {V}}}$،${\displaystyle m+k}$نقاط مختلفة زوجية${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}}$يتم تقديمها.

يترك${\displaystyle S_{X}}$ليكن مركز ثقل النقاط${\displaystyle X_{i}\;(i=1,\dots ,m)}$، يترك${\displaystyle S_{Y}}$ليكن مركز ثقل النقاط${\displaystyle Y_{j}\;(j=1,\dots ,k)}$ودع${\displaystyle S}$كن مركز ثقل كل هذه${\displaystyle m+k}$نقاط.

ثم، يكون لدى المرء

${\displaystyle S=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}.}$

وعلى وجه الخصوص، مركز الثقل${\displaystyle S}$يقع على الخط${\displaystyle {\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}}$ويقسمها بنسبة${\displaystyle k:m}$.

تُسفر النظرية السابقة عن نتائج أخرى مثيرة للاهتمام، بالإضافة إلى التعميم المذكور لنظرية كوماندينو. ويمكن استخدامها لإثبات النظرية التالية حول مركز ثقل رباعي الأوجه، والتي وصفها لأول مرة الفيزيائي الألماني فريدريش إدوارد رويش في كتابه "الرياضيات والأنشطة" : ^{[ 8 ] [ 9 ]}

يمكن إيجاد مركز ثقل رباعي الأوجه بأخذ منتصفات زوجين من أضلاعه المتقابلة وتوصيل هذه المنتصفات بخط المنتصف الخاص بكل ضلع. نقطة تقاطع خطي المنتصف هي مركز ثقل رباعي الأوجه.

بما أن رباعي الأوجه له ستة حواف في ثلاثة أزواج متقابلة، فإن المرء يحصل على النتيجة التالية: ^{[ 8 ]}

في رباعي الأوجه، تكون الخطوط الوسطى الثلاثة المقابلة لنقاط منتصف الحواف المتقابلة متقاطعة ، ونقطة تقاطعها هي مركز رباعي الأوجه.

في حالة محددة من نظرية رويش حيث تكون جميع رؤوس رباعي الأوجه الأربعة متحدة المستوى وتقع على مستوى واحد، وبالتالي تتحول إلى شكل رباعي الأضلاع ، تنص نظرية فارينيون، التي سميت على اسم بيير فارينيون ، على ما يلي: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

لنفترض شكلًا رباعيًا في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$إذا تم تحديد قيم معينة، فإن الخطين المتوسطين اللذين يربطان منتصفات الحواف المتقابلة يتقاطعان في مركز الشكل الرباعي ويقسمان إلى نصفين.