الاستاتيكا المقارنة

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 41 صور
الموسوعة الحرة
في هذا الرسم البياني، يُظهر التحليل المقارن للسوق زيادة في الطلب تؤدي إلى ارتفاع السعر والكمية. لكن عند مقارنة حالتي توازن، لا يوضح التحليل المقارن للسوق كيفية حدوث هذه الزيادات فعلياً .

في علم الاقتصاد ، تُعرف المقارنة الإحصائية بأنها مقارنة بين نتيجتين اقتصاديتين مختلفتين، قبل وبعد تغيير في بعض المعلمات الخارجية الأساسية . [ 1 ]

كنوع من التحليل الساكن، يقارن هذا التحليل حالتي توازن مختلفتين ، بعد عملية التعديل (إن وجدت). وهو لا يدرس الحركة نحو التوازن، ولا عملية التغيير نفسها.

يُستخدم التحليل المقارن للاقتصاد بشكل شائع لدراسة التغيرات في العرض والطلب عند تحليل سوق واحدة ، ولدراسة التغيرات في السياسة النقدية أو المالية عند تحليل الاقتصاد ككل . يُعد التحليل المقارن للاقتصاد أداة تحليلية في الاقتصاد الجزئي (بما في ذلك تحليل التوازن العام ) والاقتصاد الكلي . وقد صاغ جون ر. هيكس (1939) وبول أ. سامويلسون (1947) التحليل المقارن للاقتصاد بشكل رسمي (كيهو، 1987، ص 517)، ولكن عُرض بيانيًا منذ سبعينيات القرن التاسع عشر على الأقل. [ 2 ] 

بالنسبة لنماذج معدلات التغير المستقرة في حالة التوازن، مثل نموذج النمو الكلاسيكي الجديد ، فإن الديناميات المقارنة هي نظيرة علم السكون المقارن (Eatwell، 1987).

التقريب الخطي

تُستخلص نتائج التحليل المقارن عادةً باستخدام نظرية الدالة الضمنية لحساب تقريب خطي لنظام المعادلات الذي يُحدد حالة التوازن، بافتراض استقرار هذه الحالة. أي، إذا أخذنا في الاعتبار تغيراً طفيفاً في أحد المتغيرات الخارجية، يُمكننا حساب كيفية تغير كل متغير داخلي باستخدام المشتقات الأولى فقط للحدود التي تظهر في معادلات التوازن.

على سبيل المثال، لنفترض أن قيمة التوازن لبعض المتغيرات الداخليةx{\displaystyle x}يتم تحديده بواسطة المعادلة التالية:

و(x،أ)=0{\displaystyle f(x,a)=0\,}

أينأ{\displaystyle a}هو مُعامل خارجي. عندئذٍ، وبتقريب من الدرجة الأولى، يكون التغير فيx{\displaystyle x}ناتج عن تغيير طفيف فيأ{\displaystyle a}يجب أن يستوفي الشروط التالية:

بدx+جدأ=0.{\displaystyle B{\text{d}}x+C{\text{d}}a=0.}

هنادx{\displaystyle {\text{d}}x}ودأ{\displaystyle {\text{d}}a}تمثل التغييرات فيx{\displaystyle x}وأ{\displaystyle a}، على التوالي، بينماب{\displaystyle B}وج{\displaystyle C}هي المشتقات الجزئية لـو{\displaystyle f}بالنسبة إلىx{\displaystyle x}و أ{\displaystyle a}(تم تقييمها عند القيم الأولية لـx{\displaystyle x}وأ{\displaystyle a})، على التوالي. وبصورة مكافئة، يمكننا كتابة التغيير فيx{\displaystyle x}مثل:

دx=-ب-1جدأ.{\displaystyle {\text{d}}x=-B^{-1}C{\text{d}}a.}

بقسمة المعادلة الأخيرة على d a نحصل على المشتقة الساكنة النسبية لـ x بالنسبة إلى a ، والتي تسمى أيضًا مضاعف a على x :

دxدأ=-ب-1ج.{\displaystyle {\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}a}}=-B^{-1}C.}

العديد من المعادلات والمجاهيل

تظل جميع المعادلات المذكورة أعلاه صحيحة في حالة نظام منن{\displaystyle n}المعادلات فين{\displaystyle n}المجهولات. بعبارة أخرى، لنفترضو(x،أ)=0{\displaystyle f(x,a)=0}يمثل نظامًا منن{\displaystyle n}المعادلات التي تتضمن متجهن{\displaystyle n}مجهولونx{\displaystyle x}، ومتجهم{\displaystyle m}المعطيات المحددةأ{\displaystyle a}إذا أجرينا تغييرًا صغيرًا بما فيه الكفايةدأ{\displaystyle {\text{d}}a}في المعاملات، يمكن تقريب التغيرات الناتجة في المتغيرات الداخلية بشكل جيد للغاية بواسطةدx=-ب-1جدأ{\displaystyle {\text{d}}x=-B^{-1}C{\text{d}}a}في هذه الحالة،ب{\displaystyle B}يمثلن{\displaystyle n}×ن{\displaystyle n}مصفوفة المشتقات الجزئية للدوالو{\displaystyle f}فيما يتعلق بالمتغيراتx{\displaystyle x}، وج{\displaystyle C}يمثلن{\displaystyle n}×م{\displaystyle m}مصفوفة المشتقات الجزئية للدوالو{\displaystyle f}فيما يتعلق بالمعاييرأ{\displaystyle a}(المشتقات فيب{\displaystyle B}وج{\displaystyle C}يتم تقييمها عند القيم الأولية لـx{\displaystyle x}وأ{\displaystyle a}لاحظ أنه إذا أراد المرء فقط التأثير المقارن الساكن لمتغير خارجي واحد على متغير داخلي واحد، فيمكن استخدام قاعدة كرامر على نظام المعادلات المشتقة كليًا.بدx+جدأ=0{\displaystyle B{\text{d}}x+C{\text{d}}a\,=0}.

استقرار

يُعدّ افتراض استقرار حالة التوازن مهمًا لسببين. أولًا، إذا كان التوازن غير مستقر، فقد يؤدي تغيير طفيف في أحد المعاملات إلى قفزة كبيرة في قيمةx{\displaystyle x}مما يُبطل استخدام التقريب الخطي. علاوة على ذلك، ينص مبدأ التوافق لبول أ. سامويلسون [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] : الصفحات 122-123، على أن استقرار التوازن له دلالات نوعية حول تأثيرات التحليل المقارن الساكن. بعبارة أخرى، قد يساعدنا معرفة أن التوازن مستقر في التنبؤ بما إذا كان كل معامل من معاملات المتجهب-1ج{\displaystyle B^{-1}C}موجب أو سالب. على وجه التحديد، أحد الشروط اللازمة والكافية مجتمعة للاستقرار هو أن يكون لمحدد المصفوفة B من الرتبة n × n إشارة معينة؛ حيث يظهر هذا المحدد كمقام في صيغةب-1{\displaystyle B^{-1}}تؤثر إشارة المحدد على إشارات جميع عناصر المتجهب-1جدأ{\displaystyle B^{-1}C{\text{d}}a}من التأثيرات الساكنة المقارنة.

مثال على دور فرضية الاستقرار

لنفترض أن الكميات المطلوبة والمعروضة من منتج ما يتم تحديدها بواسطة المعادلات التالية:

سؤالد(P)=أ+بP{\displaystyle Q^{d}(P)=a+bP}
سؤالs(P)=ج+زP{\displaystyle Q^{s}(P)=c+gP}

أينسؤالد{\displaystyle Q^{d}}هي الكمية المطلوبة،سؤالs{\displaystyle Q^{s}}تمثل الكمية المعروضة، و P السعر، و a و c معاملي التقاطع اللذان تحددهما العوامل الخارجية المؤثرة على الطلب والعرض على التوالي، و b < 0 مقلوب ميل منحنى الطلب ، و g مقلوب ميل منحنى العرض؛ g > 0 إذا كان منحنى العرض موجبًا، و g = 0 إذا كان منحنى العرض رأسيًا، و g < 0 إذا كان منحنى العرض منحنيًا للخلف. إذا ساوىنا الكمية المعروضة بالكمية المطلوبة لإيجاد سعر التوازنPهـqب{\displaystyle P^{eqb}}، نجد أن

Pهـqب=أ-جز-ب.{\displaystyle P^{eqb}={\frac {ac}{gb}}.}

هذا يعني أن سعر التوازن يعتمد إيجابًا على نقطة تقاطع منحنى الطلب إذا كان g – b > 0، ولكنه يعتمد سلبًا عليها إذا كان g – b < 0. أي من هذين الاحتمالين له أهمية؟ في الواقع، بدءًا من توازن ثابت أولي ثم تغيير قيمة a ، يكون التوازن الجديد ذا أهمية فقط إذا انتقل السوق فعليًا إلى هذا التوازن الجديد. لنفترض أن تعديلات الأسعار في السوق تحدث وفقًا لـ

دPدت=λ(سؤالد(P)-سؤالs(P)){\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=\lambda (Q^{d}(P)-Q^{s}(P))}

أينλ{\displaystyle \lambda }> 0 هو معامل سرعة التعديل ودPدت{\displaystyle {\frac {dP}{dt}}}يمثل المشتق الزمني للسعر، أي أنه يشير إلى سرعة واتجاه تغير السعر. وبحسب نظرية الاستقرار ، سيتقارب السعر P إلى قيمة توازنه إذا وفقط إذا كان المشتق الزمني للسعر P = 0.د(دP/دت)دP{\displaystyle {\frac {d(dP/dt)}{dP}}}سالبة. تُعطى هذه المشتقة بواسطة

د(دP/دت)دP=-λ(-ب+ز).{\displaystyle {\frac {d(dP/dt)}{dP}}=-\lambda (-b+g).}

تكون هذه القيمة سالبة فقط إذا كان g – b > 0، وفي هذه الحالة يؤثر معامل تقاطع منحنى الطلب a إيجابًا على السعر. لذا، يمكننا القول إنه بينما يكون اتجاه تأثير تقاطع منحنى الطلب على سعر التوازن غامضًا عندما نعلم فقط أن مقلوب ميل منحنى العرض، g ، سالب، فإنه في الحالة الوحيدة ذات الصلة (التي يصل فيها السعر فعليًا إلى قيمة التوازن الجديدة) تؤدي زيادة تقاطع منحنى الطلب إلى زيادة السعر. تجدر الإشارة إلى أن هذه الحالة، حيث g – b > 0، هي الحالة التي يكون فيها منحنى العرض، إذا كان ميله سالبًا، أكثر انحدارًا من منحنى الطلب.

بدون قيود

يفترضص(x؛q){\displaystyle p(x;q)}هي دالة هدف سلسة ومقعرة تمامًا، حيث x متجه من n متغير داخلي و q متجه من m معلمات خارجية. لننظر في مسألة التحسين غير المقيدةx*(q)=arg⁡الأعلىص(x؛q){\displaystyle x^{*}(q)=\arg \max p(x;q)}. يتركو(x؛q)=دxص(x؛q){\displaystyle f(x;q)=D_{x}p(x;q)}، مصفوفة n × n للمشتقات الجزئية الأولى لـص(x؛q){\displaystyle p(x;q)}بالنسبة لأول n وسيطًا لها x1 ، ...، xn . المُعظِّمx*(q){\displaystyle x^{*}(q)}يتم تعريفها بواسطة شرط الرتبة الأولى n × 1و(x*(q)؛q)=0{\displaystyle f(x^{*}(q);q)=0}.

يسأل علم السكون المقارن عن كيفية تغير هذا المُعظِّم استجابةً للتغيرات في المعاملات m . والهدف هو إيجاد∂xأنا*/∂qج،أنا=1،...،ن،ج=1،...،م{\displaystyle \partial x_{i}^{*}/\partial q_{j},i=1,...,n,j=1,...,m}.

يستلزم التقعر التام للدالة الهدف أن مصفوفة جاكوبي للدالة f ، وهي تحديدًا مصفوفة المشتقات الجزئية الثانية للدالة p بالنسبة للمتغيرات الداخلية، غير منفردة (لها معكوس). وبناءً على نظرية الدالة الضمنية ،x*(q){\displaystyle x^{*}(q)}يمكن النظر إليها محليًا كدالة قابلة للتفاضل باستمرار، والاستجابة المحلية لـx*(q){\displaystyle x^{*}(q)}يُعطى التغير الطفيف في q بالعلاقة التالية

دqx*(q)=-[دxو(x*(q)؛q)]-1دqو(x*(q)؛q).{\displaystyle D_{q}x^{*}(q)=-[D_{x}f(x^{*}(q);q)]^{-1}D_{q}f(x^{*}(q);q).}

بتطبيق قاعدة السلسلة وشرط الرتبة الأولى،

دqص(x*(q)،q)=دqص(x؛q)|x=x*(q).{\displaystyle D_{q}p(x^{*}(q),q)=D_{q}p(x;q)|_{x=x^{*}(q)}.}

(انظر نظرية المغلف ).

تطبيق لتحقيق أقصى قدر من الربح

لنفترض أن شركة ما تنتج n من السلع بكمياتx1،...،xن{\displaystyle x_{1},...,x_{n}}ربح الشركة هو دالة لـ px1،...،xن{\displaystyle x_{1},...,x_{n}}و m من المعلمات الخارجيةq1،...،qم{\displaystyle q_{1},...,q_{m}}والتي قد تمثل، على سبيل المثال، معدلات ضريبية مختلفة. وبافتراض أن دالة الربح تستوفي متطلبات السلاسة والتقعر، فإن طريقة التحليل المقارن المذكورة أعلاه تصف التغيرات في ربح الشركة نتيجة لتغيرات طفيفة في معدلات الضرائب.

مع القيود

يُتيح تعميم الطريقة المذكورة أعلاه إمكانية تضمين مجموعة من القيود في مسألة التحسين. ويؤدي هذا إلى نظرية الغلاف العامة . وتشمل التطبيقات تحديد التغيرات في الطلب المارشالي استجابةً للتغيرات في السعر أو الأجر.

القيود والتوسعات

من بين القيود التي تعتري التحليل المقارن باستخدام نظرية الدالة الضمنية، أن النتائج لا تكون صالحة إلا في نطاق ضيق (قد يكون صغيرًا جدًا) حول القيمة المثلى، أي فقط عند حدوث تغيرات طفيفة جدًا في المتغيرات الخارجية. ومن القيود الأخرى، الطبيعة التقييدية المفرطة المحتملة للافتراضات المستخدمة عادةً لتبرير إجراءات التحليل المقارن. فعلى سبيل المثال، اكتشف جون ناخبار في إحدى دراساته أن استخدام التحليل المقارن في تحليل التوازن العام يكون أكثر فعالية مع البيانات الفردية الصغيرة جدًا مقارنةً بالبيانات الإجمالية. [ 6 ]

أشار بول ميلغروم وكريس شانون [ 7 ] في عام 1994 إلى أن الافتراضات المستخدمة عادةً لتبرير استخدام التحليل المقارن الساكن في مسائل التحسين ليست ضرورية في الواقع، وتحديدًا افتراضات تحدب المجموعات المفضلة أو مجموعات القيود، وسلاسة حدودها، وشروط المشتقة الأولى والثانية، وخطية مجموعات الميزانية أو دوال الهدف. في الحقيقة، يمكن أحيانًا تحويل مسألة تستوفي هذه الشروط تحويلاً رتيبًا للحصول على مسألة ذات تحليل مقارن ساكن مطابق، ولكنها تنتهك بعضًا من هذه الشروط أو جميعها؛ وبالتالي، فإن هذه الشروط ليست ضرورية لتبرير التحليل المقارن الساكن. وانطلاقًا من مقالة ميلغروم وشانون، بالإضافة إلى النتائج التي توصل إليها فينو [ 8 ] وتوبكيس [ 9 ]، نشأ فرع مهم من بحوث العمليات يُعرف باسم التحليل المقارن الساكن الرتيب . ويركز هذا الفرع تحديدًا على تحليل التحليل المقارن الساكن باستخدام الشروط المستقلة فقط عن التحويلات التي تحافظ على الترتيب. تستخدم هذه الطريقة نظرية الشبكات وتُدخل مفاهيم شبه التفرع الفائق وشرط التقاطع الأحادي. تشمل التطبيقات الواسعة للتحليل المقارن الرتيب في الاقتصاد نظرية الإنتاج، ونظرية المستهلك، ونظرية الألعاب مع المعلومات الكاملة وغير الكاملة، ونظرية المزادات ، وغيرها. [ 10 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ^ (ماس-كوليل، وينستون، وغرين، 1995، ص. 24؛ سيلبيربيرج وسوين، 2000)
  2. ↑ فليمينغ جينكين (1870)، "التمثيل البياني لقوانين العرض والطلب، وتطبيقها على العمل"، في ألكسندر غرانت، دراسات ريسيس و(1872)، "حول المبادئ التي تنظم فرض الضرائب"، وقائع الجمعية الملكية في إدنبرة 1871-1872 ، ص 618-630. وأيضًا في أوراق أدبية وعلمية، إلخ ، المجلد 2 (1887)، تحرير إس سي كولفين وجيه إيه إيوينغ عبر روابط الفصول.
  3. ↑ سامويلسون، بول، "استقرار التوازن: السكونيات المقارنة والديناميكا"، Econometrica 9، أبريل 1941، 97-120: يقدم مفهوم مبدأ التوافق.
  4. ↑ سامويلسون، بول، "استقرار التوازن: الأنظمة الخطية وغير الخطية"، Econometrica 10(1)، يناير 1942، 1-25: صاغ مصطلح "مبدأ التوافق".
  5. ↑ باومول، ويليام جيه، الديناميات الاقتصادية ، شركة ماكميلان، الطبعة الثالثة، 1970.
  6. ^ "تسجيل الدخول إلى موقع UM" . weblogin.umich.edu . دوى : 10.1057/978-1-349-95121-5_322-2 . تم الاسترجاع 2020-12-02 .
  7. ↑ ميلغروم، بول، وشانون، كريس. "الإحصاءات المقارنة الرتيبة" (1994). مجلة Econometrica، المجلد 62، العدد 1، الصفحات 157-180.
  8. ↑ فينو (1992): برمجة الشبكة: التحسين النوعي والتوازنات. مخطوطة ستانفورد.
  9. ↑ انظر: توبكيس، د.م. (1979): "نقاط التوازن في ألعاب شبه معيارية غير صفرية المجموع ذات عدد n من الأشخاص"، مجلة SIAM للتحكم والتحسين، 17، 773-787؛ وكذلك توبكيس، د.م. (1998): المعيارية الفائقة والتكاملية، آفاق البحث الاقتصادي، مطبعة جامعة برينستون، ISBN 9780691032443.
  10. ↑ انظر: توبكيس، د.م. (1998): التفرع المعياري والتكامل، آفاق البحث الاقتصادي، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 9780691032443؛ وفيفز، إكس. (2001): تسعير احتكار القلة: أفكار قديمة وأدوات جديدة. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، رقم ISBN 9780262720403.

مراجع

  • جون إيتويل وآخرون، محررون (1987). "الديناميكيات المقارنة"، قاموس نيو بالغراف: قاموس الاقتصاد ، المجلد 1، ص  517.
  • جون ر. هيكس (1939). القيمة ورأس المال .
  • تيموثي ج. كيهو، 1987. "الإحصاءات المقارنة"، قاموس بالغراف الجديد: قاموس الاقتصاد ، المجلد 1، الصفحات  517-20.
  • أندرو ماس كوليل ، مايكل د. وينستون، وجيري ر. جرين، 1995. نظرية الاقتصاد الجزئي .
  • بول أ. سامويلسون (1947). أسس التحليل الاقتصادي .
  • يوجين سيلبربيرج ووينج سوين، 2000. بنية الاقتصاد: تحليل رياضي ، الطبعة الثالثة.