دالة الطلب المارشالية

في الاقتصاد الجزئي ، تُعرف دالة الطلب المارشالية (نسبةً إلى ألفريد مارشال ) بأنها الكمية التي يطلبها المستهلك من سلعة معينة كدالة لسعرها ودخله وأسعار السلع الأخرى، وهي شرحٌ أكثر تفصيلًا لدالة الطلب القياسية . تُعدّ هذه الدالة حلًا لمسألة تعظيم المنفعة ، أي كيف يُمكن للمستهلك تعظيم منفعته في ظل دخل وأسعار مُحددة. يُستخدم مصطلح " دالة الطلب غير المُعوَّضة" كمرادف لها ، لأنه عندما يرتفع السعر، لا يُعوَّض المستهلك بزيادة في دخله الاسمي مقابل انخفاض دخله الحقيقي، على عكس دالة الطلب الهيكسية . وبالتالي، فإن التغير في الكمية المطلوبة هو مزيج من أثر الإحلال وأثر الثروة . على الرغم من أن الطلب المارشالي يُستخدم في سياق نظرية التوازن الجزئي، إلا أنه يُطلق عليه أحيانًا اسم الطلب الولراسي ، كما هو مُستخدم في نظرية التوازن العام (نسبةً إلى ليون والراس ).

وفقًا لمسألة تعظيم المنفعة، هناك${\displaystyle L}$سلعة ذات متجه سعري${\displaystyle p}$ومتجه كمية قابل للاختيار${\displaystyle x}$المستهلك لديه دخل${\displaystyle I}$وبالتالي مجموعة من الباقات الاقتصادية

${\displaystyle B(p,I)=\{x:p\cdot x\leq I\},}$

أين${\displaystyle p\cdot x=\sum _{i}^{L}p_{i}x_{i}}$هو حاصل الضرب النقطي لمتجهي السعر والكمية. يمتلك المستهلك دالة منفعة

${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}^{L}\rightarrow \mathbb {R} .}$

يُعرَّف نموذج مارشال لمراسلات الطلب لدى المستهلك على النحو التالي:

${\displaystyle x^{*}(p,I)=\operatorname {argmax} _{x\in B(p,I)}u(x)}$

تشير نظرية مارشال إلى أن السعي وراء المنفعة يُعدّ دافعًا للمستهلك، ويمكن تحقيقه من خلال استهلاك السلع أو الخدمات. وتعتمد قيمة منفعة المستهلك على مستوى استهلاكه لسلعة معينة، وهو ما يخضع لنزعة أساسية في الطبيعة البشرية، ويُعرف هذا بقانون تناقص المنفعة الحدية .

بما أن الحد الأقصى للمنفعة موجود دائمًا، فإن تطابق الطلب المارشالي يجب أن يكون غير فارغ عند كل قيمة تتوافق مع مجموعة الميزانية القياسية.

${\displaystyle x^{*}(p,I)}$يُطلق عليها اسم "التوافق" لأنها قد تكون، بشكل عام، مجموعة قيم - أي قد توجد عدة مجموعات مختلفة تحقق نفس المنفعة القصوى. في بعض الحالات، توجد مجموعة فريدة تحقق أقصى منفعة لكل حالة سعر ودخل؛ عندئذٍ،${\displaystyle x^{*}(p,I)}$هي دالة وتسمى دالة الطلب المارشالية .

إذا كانت تفضيلات المستهلك محدبة تمامًا وكانت أسعار جميع السلع موجبة تمامًا، فإنه يوجد سلة واحدة تحقق أقصى منفعة. ^{[ 1 ] : 156} ولإثبات ذلك، لنفترض، على سبيل التناقض، وجود سلتين مختلفتين،${\displaystyle x_{1}}$و${\displaystyle x_{2}}$، التي تزيد من المنفعة. ثم${\displaystyle x_{1}}$و${\displaystyle x_{2}}$يُفضّل كلاهما بنفس القدر. وبحسب تعريف التحدب الصارم، فإن الحزمة المختلطة${\displaystyle 0.5x_{1}+0.5x_{2}}$أفضل بكثير من${\displaystyle x_{1},x_{2}}$لكن هذا يتناقض مع مثالية${\displaystyle x_{1},x_{2}}$.

تنص نظرية القيمة القصوى على أنه إذا:

• دالة المنفعة${\displaystyle u(x)}$متصل بالنسبة إلى${\displaystyle x}$،
• المراسلات${\displaystyle B(p,I)}$هي غير فارغة، ذات قيم متراصة، ومتصلة بالنسبة إلى${\displaystyle p,I}$،

ثم${\displaystyle x^{*}(p,I)}$هي علاقة شبه متصلة علوية . علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle x^{*}(p,I)}$إذا كانت فريدة، فإنها دالة متصلة لـ${\displaystyle p}$و${\displaystyle I}$[ ^{1 ] : 156,506​​}

بالإضافة إلى ما ورد في القسم الفرعي السابق، إذا كانت تفضيلات المستهلك محدبة تمامًا، فإن الطلب المارشالي يكون فريدًا ومتصلًا. في المقابل، إذا لم تكن التفضيلات محدبة، فقد يكون الطلب المارشالي غير فريد وغير متصل.

إنّ تطابق الطلب الأمثل وفقًا لمبدأ مارشال لدالة المنفعة المستمرة هو دالة متجانسة من الدرجة الصفرية. وهذا يعني أنه لكل ثابت${\displaystyle a>0,}$

${\displaystyle x^{*}(a\cdot p,a\cdot I)=x^{*}(p,I).}$

هذا واضح بديهياً. لنفترض${\displaystyle p}$و${\displaystyle I}$تُقاس بالدولار. عندما${\displaystyle a=100}$،${\displaystyle ap}$و${\displaystyle aI}$الكميات متطابقة تمامًا عند قياسها بالسنتات. عندما ترتفع الأسعار والثروة بمعامل a، يظل نمط الشراء لدى الفرد الاقتصادي ثابتًا. من الواضح أن التعبير عن الأسعار والدخل بوحدات قياس مختلفة لا يؤثر على الطلب.

تستغل نظرية مارشال حقيقة أن منحنى الطلب يمثل تناقص القيمة الحدية للسلعة بالنسبة للأفراد. وتؤكد النظرية أن قرار الشراء لدى المستهلك يعتمد على المنفعة الإضافية التي يحصل عليها من السلع أو الخدمات مقارنةً بسعرها، إذ يجب أن تكون المنفعة الإضافية التي يحصل عليها المستهلك مساويةً على الأقل للسعر. ويقترح ما يلي أن السعر المطلوب يساوي الحد الأقصى للسعر الذي سيدفعه المستهلك مقابل وحدة إضافية من السلعة أو الخدمة. وبالتالي، تبقى المنفعة ثابتة على طول منحنى الطلب. عندما تكون المنفعة الحدية للدخل ثابتة، أو قيمتها متساوية بين الأفراد ضمن منحنى طلب السوق، يصبح من الممكن تحقيق صافي منافع الوحدات المشتراة، أو فائض المستهلك، من خلال جمع أسعار الطلب.

في الأمثلة التالية، يوجد سلعتان، 1 و 2.

1. تأخذ دالة المنفعة شكل كوب-دوغلاس :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }.}$

تؤدي عملية التحسين المقيد إلى دالة الطلب المارشالية:

${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {\alpha I}{(\alpha +\beta )p_{1}}},{\frac {\beta I}{(\alpha +\beta )p_{2}}}\right).}$

2. دالة المنفعة هي دالة منفعة CES :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\left[{\frac {x_{1}^{\delta }}{\delta }}+{\frac {x_{2}^{\delta }}{\delta }}\right]^{\frac {1}{\delta }}.}$

ثم ${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {Ip_{1}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}},{\frac {Ip_{2}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}}\right),\quad {\text{مع}}\quad \epsilon ={\frac {\delta }{\delta -1}}.}$

في كلتا الحالتين، تكون التفضيلات محدبة تمامًا، ويكون الطلب فريدًا، وتكون دالة الطلب متصلة.

3. دالة المنفعة لها الشكل الخطي :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}.}$

دالة المنفعة محدبة بشكل ضعيف فقط، وفي الواقع الطلب ليس فريدًا: عندما${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$، يمكن للمستهلك أن يقسم دخله بنسب عشوائية بين نوعي المنتج 1 و 2 ويحصل على نفس المنفعة.

4. تُظهر دالة المنفعة معدل إحلال هامشي غير متناقص :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }),\quad {\text{مع}}\quad \alpha >1.}$

دالة المنفعة ليست محدبة، والطلب في الواقع ليس متصلاً: عندما${\displaystyle p_{1}<p_{2}}$لا يطلب المستهلك سوى المنتج رقم 1، وعندما${\displaystyle p_{2}<p_{1}}$لا يطلب المستهلك سوى المنتج رقم 2 (عندما${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$تتضمن مراسلات الطلب مجموعتين متميزتين: إما شراء المنتج 1 فقط أو شراء المنتج 2 فقط).

• دالة الطلب الهيكسية
• مشكلة تعظيم المنفعة
• معادلة سلوتسكي
• قوانين هيكس-مارشال للطلب المشتق

• ماس-كوليل، أندرو ؛ وينستون، مايكل؛ وغرين، جيري (1995). نظرية الاقتصاد الجزئي . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-507340-1.
• نيكلسون، والتر (1978). نظرية الاقتصاد الجزئي (  الطبعة الثانية). هينسديل: دار درايدن للنشر. الصفحات 90-93 . ISBN  0-03-020831-9.
• سيلبربرغ، إي. (2008). المطالب الهيكسية والمارشالية . لندن: بالغراف ماكميلان، لندن. ISBN 978-1-349-95121-5.
• ليفين، جوناثان؛ ميلغروم، بول (أكتوبر 2004). "نظرية المستهلك" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 أبريل 2021 .
• وونغ، ستانلي (2006). أسس نظرية التفضيل المُعلن لبول سامويلسون (ملف PDF) (  طبعة منقحة). روتليدج. ISBN 0-203-34983-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أبريل 2021 .