المشتقة (حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات)

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 103 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، مشتقة دالة عند نقطة ما هي الجزء الخطي لأفضل تقريب تآلفي للدالة بالقرب من تلك النقطة. في حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد، يُعرف هذا التقريب بتقريب المماس . أما في حساب التفاضل والتكامل لمتغيرات متعددة، فيُعمم المفهوم نفسه لتعريف مشتقة دالة متجهة أو دالة ذات وسيط متجه. تُسمى أحيانًا بالمشتقة الكلية ، وعلى عكس المشتقات الجزئية ، تُقارب المشتقة الكلية الدالة بالنسبة لجميع وسائطها، وليس وسيطًا واحدًا فقط. [ 1 ] في كثير من الحالات، يُعادل هذا حساب جميع المشتقات الجزئية في آن واحد.

في التحليل الوظيفي ، وخاصة في الأبعاد اللانهائية، يُطلق على المشتقة بهذا المعنى اسم مشتقة فريشيه . [ 2 ] [ 3 ]

المشتقة كدالة خطية

يتركيو⊆Rن{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}لتكن مجموعة جزئية مفتوحة . إذن دالةو:يو→Rم{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}}يقال إنها قابلة للتفاضل عند نقطةأ∈يو{\displaystyle a\in U}إذا كان هناك تحويل خطيدوأ:Rن→Rم{\displaystyle Df_{a}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}بحيث [ 4 ] [ 5 ]

ليمx→أو(x)-و(أ)-دوأ(x-أ)‖x-أ‖=0{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)-Df_{a}(xa)}{\|xa\|}}=0}

أين‖...‖{\displaystyle \|\ldots \|}يشير إلى معيار...{\displaystyle \ldots }الخريطة الخطيةدوأ{\displaystyle Df_{a}}يُطلق عليه اسم المشتق أو التفاضل لـو{\displaystyle f}فيأ{\displaystyle a}[ 4 ] [ 6 ] هنا​دوأ(x-أ){\displaystyle Df_{a}(xa)}يشير إلى تطبيق التحويل الخطيدوأ{\displaystyle Df_{a}}إلى المتجه(x-أ){\displaystyle (xa)}في الإحداثيات، هذا هو حاصل ضرب مصفوفة في متجه. ومن الرموز الأخرى للمشتقة ما يلي:دأو{\displaystyle D_{a}f}ودو(أ){\displaystyle Df(a)}تكون الدالة قابلة للتفاضل إذا كانت مشتقتها موجودة عند كل نقطة في مجالها.

من الناحية المفاهيمية، يعبر تعريف المشتقة عن فكرة أندوأ{\displaystyle Df_{a}}هو أفضل تقريب خطي لـو(أ+ح)-و(أ){\displaystyle f(a+h)-f(a)}للصغارح{\displaystyle h}ويمكن تحقيق ذلك بدقة من خلال تحديد مقدار الخطأ في التقريب الخطي.دوأ{\displaystyle Df_{a}}للقيام بذلك، اكتب

و(أ+ح)=و(أ)+دوأ(ح)+ε(ح)،{\displaystyle f(a+h)=f(a)+Df_{a}(h)+\varepsilon (h),}

أينε(ح){\displaystyle \varepsilon (h)}يساوي الخطأ في التقريب. بمعنى أن مشتقةو{\displaystyle f}فيأ{\displaystyle a}يكوندوأ{\displaystyle Df_{a}}وهو ما يعادل العبارة

ε(ح)=o(ح)،{\displaystyle \varepsilon (h)=o(h),}

أينo{\displaystyle o}هي رمز صغير (o) وتعني أنε(ح)/‖ح‖{\displaystyle \varepsilon (h)/\|h\|}يميل إلى الصفر عندماح→0{\displaystyle h\to 0}المشتقدوأ{\displaystyle Df_{a}}هو التحويل الخطي الوحيد الذي يكون فيه حد الخطأ صغيرًا جدًا، وهذا هو المعنى الذي يجعله أفضل تقريب خطي لـو(أ+ح)-و(أ){\displaystyle f(a+h)-f(a)}.

قابلية التفاضل

مخططx2yx4+y2x2+y2{\displaystyle {\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}، دالة بحيث يكون المشتق الاتجاهي∇uو(0،0)=0{\displaystyle \nabla _{u}f(0,0)=0}، دالة خطية لـu{\displaystyle u}، ولكنها غير قابلة للتفاضل

الوظيفةو{\displaystyle f}تكون قابلة للتفاضل إذا وفقط إذا كان كل مكون من مكوناتهاوأنا:يو→R{\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} }بما أن الدالة قابلة للتفاضل، فعند دراسة المشتقات، غالبًا ما يكون من الممكن العمل على إحداثية واحدة في كل مرة في المجال المقابل. ومع ذلك، لا ينطبق الأمر نفسه على الإحداثيات في المجال. صحيح أنه إذاو{\displaystyle f}قابلة للتفاضل عندأ{\displaystyle a}ثم كل مشتق جزئي∂و/∂xأنا{\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}موجود فيأ{\displaystyle a}[ 7 ]​

والعكس ليس صحيحًا: فقد يحدث أن تكون جميع المشتقات الجزئية لـو{\displaystyle f}فيأ{\displaystyle a}موجودون، ولكنو{\displaystyle f}غير قابلة للتفاضل عندأ{\displaystyle a}[ 8 ] مثال على ذلك الدالة التالية، وهي دالة متصلة ولها مشتقات جزئية تساوي صفرًا عند نقطة الأصل، ولكنها غير قابلة للتفاضل هناك :و(x،y)={xyx2+y2(x،y)≠(0،0)0(x،y)=(0،0).{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}.} (في الإحداثيات القطبية، تكون هذه الدالةو=ركوس⁡θالخطيئة⁡θ{\displaystyle f=r\cos \theta \sin \theta }.)

حتى وجود جميع المشتقات الاتجاهية وخطيتها عند نقطة ما لا يكفي لإثبات قابلية التفاضل؛ فالشرط الإضافي الأساسي هو أن يظل التقريب الخطي صحيحًا بشكل منتظم عندما يؤول التزايد إلى الصفر من جميع الاتجاهات. مثال على ذلك هو و(x،y)={x2yx4+y2x2+y2(x،y)≠(0،0)0(x،y)=(0،0){\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}} والتي تكون مشتقاتها الاتجاهية كلها صفر عند (0,0)، ولكنها تفشل في أن تكون قابلة للتفاضل هناك.

لكن إذا كانت جميع المشتقات الجزئية لـو{\displaystyle f}فيأ{\displaystyle a}موجود في حي منأ{\displaystyle a}وهي متصلة عندأ{\displaystyle a}، ثمو{\displaystyle f}قابلة للتفاضل عندأ{\displaystyle a}[ 9 ] إذا​و{\displaystyle f}إذا كانت الدالة قابلة للتفاضل عند نقطة، فإن مشتقةو{\displaystyle f}[ 10 ] هو التحويل الخطي المقابل لمصفوفة جاكوبي للمشتقات الجزئية عند النقطة.

الفروق

في بعض كتب حساب التفاضل والتكامل المتقدمة، يُطلق على المشتقة أيضًا اسم التفاضل . [ 1 ] [ 6 ] ومع ذلك، فإن لهذا المصطلح عدة معانٍ مختلفة، ولكنها مترابطة بشكل وثيق، في الرياضيات والعلوم.

عندما تكون الدالة قابلة للتفاضلو:Rن→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }إذا كانت قيمة المشتقة عددًا قياسيًا،و{\displaystyle f}فيأ{\displaystyle a}يمكن كتابتها على شكل مصفوفة جاكوبية، وهي في هذه الحالة مصفوفة صفية (مصفوفة تتكون من عناصر في صف واحد، أي متجه صفي ):

دوأ=[∂و∂x1(أ)⋯∂و∂xن(أ)].{\displaystyle Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.}

تُشير خاصية التقريب الخطي للمشتقة إلى أنه إذا

Δx=[Δx1⋯Δxن]تي{\displaystyle \Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}

هو متجه صغير (حيثتي{\displaystyle {\mathsf {T}}}يشير الرمز إلى عملية النقل، بحيث يكون هذا المتجه متجهًا عموديًا ، ثم

و(أ+Δx)-و(أ)≈دوأΔx=∑أنا=1ن∂و∂xأنا(أ)Δxأنا.{\displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\,\Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\,\Delta x_{i}.}

يشير هذا، بشكل استدلالي، إلى أنه إذادx1،...،دxن{\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}إذا كانت الزيادات متناهية الصغر في اتجاهات الإحداثيات،

دوأ=∑أنا=1ن∂و∂xأنا(أ)دxأنا{\displaystyle df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\,dx_{i}}

وهذا هو تفاضلو{\textstyle f}فيأ{\textstyle a}[ 11 ] [ 12 ] في الواقع ، يمكن تزويد مفهوم المتناهي في الصغر، وهو مفهوم رمزي فقط هنا، ببنية رياضية واسعة. وتُقدّم تقنيات مثل نظرية الأشكال التفاضلية وصفًا تحليليًا وجبريًا فعالًا لأشياء مثل الزيادات المتناهية في الصغر.دxأنا{\displaystyle dx_{i}}. على سبيل المثال،دxأنا{\displaystyle dx_{i}}يمكن تمثيلها كدالة خطية على الفضاء المتجهيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}التقييمدxأنا{\displaystyle dx_{i}}في اتجاهح{\displaystyle h}فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}يقيس مقدارح{\displaystyle h}النقاط فيأنا{\displaystyle i}اتجاه الإحداثي رقم -th. التفاضلدوأ{\displaystyle df_{a}}هي توليفة خطية من الدوال الخطية، وبالتالي فهي دالة خطية بحد ذاتها. التقييمدوأ(ح){\displaystyle df_{a}(h)}هي المشتقة الاتجاهية لـو{\displaystyle f}على امتدادح{\displaystyle h}هذه النظرة تجعل المشتقة مثالاً على المشتقة الخارجية . [ 13 ]

بما أن التفاضل صيغة خطية، فهو بطبيعته متجه مرافق . في الفضاء الإقليدي، يكون المتجه المرافق ثنائيًا طبيعيًا للمتجه (منقوله ) . يُسمى هذا المتجه تدرج المتجه.و{\displaystyle f}، ويشير إلى الاتجاه الذيو{\displaystyle f}يزداد بسرعة كبيرة.

لنفترض الآن أنو{\displaystyle f}هي دالة ذات قيم متجهة ، أيو:Rن→Rم{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}في هذه الحالة، المكوناتوأنا{\displaystyle f_{i}}لو{\displaystyle f}هي دوال ذات قيم حقيقية، لذا فإن لها أشكالاً تفاضلية مرتبطة بهادوأنا{\displaystyle df_{i}}التفاضليدو{\displaystyle df}يدمج هذه الأشكال في كائن واحد، وبالتالي فهو مثال على شكل تفاضلي ذي قيم متجهة .

لوو:م→شمال{\displaystyle f\colon M\to N}هي دالة بين مشعبات قابلة للتفاضل ، ويمكن صياغة قابلية التفاضل من خلال قابلية التفاضل في أي مخطط إحداثيات . وبشكل ثابت، فإن تفاضلو{\displaystyle f}في نقطةص∈م{\displaystyle p\in M}هي خريطة خطيةدوص:تيصم→تيو(ص)شمال{\displaystyle df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}من الفضاء المماسي لـم{\displaystyle M}فيص{\displaystyle p}إلى ذلك منشمال{\displaystyle N}فيو(ص){\displaystyle f(p)}[ 14 ] [ 15 ] يُعرف هذا أيضًا باسم الدفع الأمامي . وهو يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمشتقة كتقريب خطي، حيث أن تقييمدوص{\displaystyle df_{p}}يعطي المشتق الاتجاهي على متجه المماس لـو{\displaystyle f}في ذلك الاتجاه. ومع ذلك، فإن التفاضل ليس هو نفسه مشتقة دالة بين فضاءات متجهة:و{\displaystyle f}هي عبارة عن تطبيق على متعددات الشعب وليس على فضاءات المتجهاتتيصم{\displaystyle T_{p}M}وتيو(ص)شمال{\displaystyle T_{f(p)}N}حيث يوجد التقريب الخطي.

في تطبيقات مثل الديناميكا الحرارية، غالبًا ما يكون للغة التفاضلية دور مفاهيمي إضافي. تعابير مثلديو=تيدS-PدV{\displaystyle dU=T\,dS-P\,dV}تصف هذه الدالة تفاضلات دوال الحالة وتثير تساؤلات حول الدقة والمتغيرات الطبيعية والعلاقات بين المشتقات الجزئية. يرتبط هذا الاستخدام بمشتقة دالة متعددة المتغيرات، ولكنه ليس مجرد اسم آخر للتحويل الخطي.دوأ{\displaystyle Df_{a}}مرتبط بدالة عادية. [ 16 ] [ 17 ]

المشتقة الكلية

يُستخدم مصطلح المشتقة الكلية بأكثر من طريقة. في بعض النصوص الرياضية، يشير إلى المشتقة الكاملة.دوأ{\displaystyle Df_{a}}على عكس أي مشتق جزئي واحد. وبهذا المعنى، فإن المشتق الكلي هو الدالة الخطية التي تأخذ في الاعتبار التغير في جميع اتجاهات الإحداثيات في آن واحد.

في العديد من السياقات التطبيقية، يشير مصطلح "المشتق الكلي" بدلاً من ذلك إلى مشتقة علاقة مركبة. على سبيل المثال، إذا

z=و(x،y)،x=x(ت)،y=y(ت)،{\displaystyle z=f(x,y),\qquad x=x(t),\quad y=y(t),}

ثم المشتقة الكلية لـz{\displaystyle z}بالنسبة إلىت{\displaystyle t}يكون

دzدت=∂و∂xدxدت+∂و∂yدyدت.{\displaystyle {\frac {dz}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}.}

هذا هو المشتق العادي للدالة المركبةو(x(ت)،y(ت)){\displaystyle f(x(t),y(t))}، ويتم حسابها باستخدام قاعدة السلسلة. أو بشكل مكافئ، يتم الحصول عليها بتطبيق مشتقةو{\displaystyle f}إلى متجه سرعة المسارت↦(x(ت)،y(ت)){\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t))}:

ددتو(x(ت)،y(ت))=دو(x(ت)،y(ت))(x′(ت)،y′(ت)).{\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(x(t),y(t))=Df_{(x(t),y(t))}(x'(t),y'(t)).}

يُعدّ مفهوم "المشتقة الكلية" القائم على قاعدة السلسلة شائعًا في الفيزياء والهندسة والاقتصاد وغيرها من المجالات التطبيقية. ففي الميكانيكا، على سبيل المثال، المشتقة الزمنية الكلية لدالة ماF(q،ص،ت){\displaystyle F(q,p,t)}يتضمن المسار اعتمادًا صريحًا علىت{\displaystyle t}والاعتماد الضمني من خلال المتغيرات المعتمدة على الزمنq(ت){\displaystyle q(t)}وص(ت){\displaystyle p(t)}في ميكانيكا الموائع، تظهر مصطلحات ذات صلة في المشتق المادي ، الذي يميز كمية ما على طول حركة كتلة من المائع. [ 18 ] [ 19 ]

مثال آخر هو في الميكانيكا الكلاسيكية ، حيث يكون المشتق الكلي لدالة تعتمد على معلمات فضاء الطور والزمن هو مشتقها الجزئي بالنسبة للزمن بالإضافة إلى قوس بواسون الخاص بها مع الهاميلتونيح{\displaystyle H}[ 20 ]​دودت=∂و∂ت+{و،ح}{\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}} مثل المشتق المادي، فإن المشتق الكلي في الميكانيكا له خاصية أنه مشتق المركب عند سحبه إلى أي مسار هاميلتوني، ولكنه لا يزال يُعامل كدالة لجميع إحداثيات فضاء الطور والزمن.

في علم السكون المقارن ، غالبًا ما تصف المشتقات الكلية كيفية تغير المتغيرات الداخلية بالنسبة للمتغيرات الخارجية في نظام معادلات مُعرَّف ضمنيًا. [ 21 ] لا تُعد المتغيرات الداخلية عمومًا دوالًا صريحة للمتغيرات الخارجية، إلا من خلال نظرية الدالة الضمنية ، ويتم التعامل مع المشتقة الكلية ضمنيًا.

وبالتالي، على الرغم من أن "المشتق الكلي" يمكن أن يعني المشتقدوأ{\displaystyle Df_{a}}بالمعنى المذكور أعلاه، يشير المصطلح أيضاً بشكل شائع إلى المشتقة على طول علاقة أو عملية محددة. هذا الغموض هو أحد أسباب التمييز بين المشتقة كدالة خطية وبين مختلف الرموز التفاضلية أو رموز المشتقة الكلية المستخدمة في التطبيقات.

قاعدة السلسلة

يُعمم شكل من أشكال قاعدة السلسلة من حساب التفاضل والتكامل ذي المتغير الواحد. وتنص هذه القاعدة على أنه بالنسبة لدالتينو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}، مشتقة الدالة المركبةو∘ز{\displaystyle f\circ g}فيأ{\displaystyle a}يرضي

د(و∘ز)أ=دوز(أ)∘دزأ{\displaystyle D(f\circ g)_{a}=Df_{g(a)}\circ Dg_{a}}

حيث يمثل المركب الموجود على الجانب الأيمن تركيبًا للتحويلات الخطية. إذا كانت مشتقاتو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}إذا تم تحديدها بواسطة مصفوفات جاكوبيان الخاصة بها، فإن المركب الموجود على الجانب الأيمن هو ببساطة ضرب المصفوفات.

مثال: التمايز مع التبعيات المباشرة

لنفترض أن f دالة لمتغيرين، x و y . إذا كان هذان المتغيران مستقلين، فإن مجال f هوR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}إذا كان سلوك الدالة f قابلاً للفهم من خلال مشتقاتها الجزئية في الاتجاهين x و y، فإن سلوكها في هذه الحالة يُمكن فهمه من خلال مشتقاتها الجزئية في الاتجاهين x و y . مع ذلك، في بعض الحالات، قد يكون x و y مرتبطين. على سبيل المثال، قد تكون الدالة f محصورة في منحنى.y=y(x){\displaystyle y=y(x)}في هذه الحالة، نحن مهتمون في الواقع بسلوك الدالة المركبةو(x،y(x)){\displaystyle f(x,y(x))}لا يُعطي الاشتقاق الجزئي للدالة f بالنسبة إلى x المعدل الحقيقي لتغير f بالنسبة إلى تغير x، لأن تغير x يُغير y بالضرورة ، بينما يفترض الاشتقاق الجزئي أن y ثابتة. مع ذلك، تأخذ قاعدة السلسلة هذه التبعيات في الحسبان. اكتبγ(x)=(x،y(x)){\displaystyle \gamma (x)=(x,y(x))}ثم، تنص قاعدة السلسلة على

د(و∘γ)x0=دو(x0،y(x0))∘دγx0.{\displaystyle D(f\circ \gamma )_{x_{0}}=Df_{(x_{0},y(x_{0}))}\circ D\gamma _{x_{0}}.}

عن طريق التعبير عن المشتقة باستخدام مصفوفات جاكوبيان مثلدو(x0،y(x0))=[∂و∂x∂و∂y](x0،y(x0))دγx0=[∂x∂x∂y∂x]x0.{\displaystyle {\begin{array}{lcl}Df_{(x_{0},y(x_{0}))}&=&{\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}\end{bmatrix}}_{(x_{0},y(x_{0}))}\\D\gamma _{x_{0}}&=&{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial x}}\\{\frac {\partial y}{\partial x}}\end{bmatrix}}_{x_{0}}.\end{array}}}وهذا يصبح:

دو(x،y(x))دx(x0)=∂و∂x(x0،y(x0))دxدx(x0)+∂و∂y(x0،y(x0))دyدx(x0).{\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\,{\frac {dx}{dx}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\,{\frac {dy}{dx}}(x_{0}).}

إلغاء التقييم فيx0{\displaystyle x_{0}}ولتسهيل القراءة، يمكننا أيضًا كتابة هذا على النحو التالي:

دو(x،y(x))دx=∂و∂xدxدx+∂و∂yدyدx.{\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}.}

وهذا يعطي صيغة مباشرة لمشتقةو(x،y(x)){\displaystyle f(x,y(x))}بدلالة المشتقات الجزئية لـو{\displaystyle f}ومشتق منy(x){\displaystyle y(x)}.

على سبيل المثال، لنفترض

و(x،y)=xy.{\displaystyle f(x,y)=xy.}

معدل تغير الدالة f بالنسبة إلى x هو عادةً المشتق الجزئي للدالة f بالنسبة إلى x ؛ في هذه الحالة،

∂و∂x=y.{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=y.}

لكن إذا كانت y تعتمد على x ، فإن المشتقة الجزئية لا تعطي معدل التغير الحقيقي لـ f مع تغير x، لأن المشتقة الجزئية تفترض أن y ثابتة. لنفترض أننا مقيدون بالخط

y=x.{\displaystyle y=x.}

ثم

و(x،y)=و(x،x)=x2،{\displaystyle f(x,y)=f(x,x)=x^{2},}

والمشتقة الكلية للدالة f بالنسبة إلى x هي

دودx=2x،{\displaystyle {\frac {df}{dx}}=2x,}

وهو ما نلاحظ أنه لا يساوي المشتقة الجزئية∂و/∂x{\displaystyle \partial f/\partial x}بدلاً من استبدال y مباشرةً بدلالة x ، يمكننا أيضاً استخدام قاعدة السلسلة كما هو موضح أعلاه:

دودx=∂و∂x+∂و∂yدyدx=y+x⋅1=x+y=2x.{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.}

مثال: التمايز مع التبعيات غير المباشرة

على الرغم من أنه يمكن في كثير من الأحيان إجراء استبدالات لإزالة التبعيات غير المباشرة، إلا أن قاعدة السلسلة توفر أسلوبًا أكثر كفاءة وعمومية. لنفترضل(ت،x1،...،xن){\displaystyle L(t,x_{1},\dots ,x_{n})}هي دالة للزمنت{\displaystyle t}ون{\displaystyle n}المتغيراتxأنا{\displaystyle x_{i}}والتي تعتمد بدورها على الزمن. ثم، المشتق الزمني لـل{\displaystyle L}يكون

دلدت=ددتل(ت،x1(ت)،...،xن(ت)).{\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.}

تُعبّر قاعدة السلسلة عن هذه المشتقة بدلالة المشتقات الجزئية لـل{\displaystyle L}والمشتقات الزمنية للدوالxأنا{\displaystyle x_{i}}:

دلدت=∂ل∂ت+∑أنا=1ن∂ل∂xأنادxأنادت=(∂∂ت+∑أنا=1ندxأنادت∂∂xأنا)(ل).{\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).}

يُستخدم هذا التعبير غالبًا في الفيزياء للدلالة على تحويل قياسي للدالة لاغرانجية ، حيث تُعتبر دالتان لاغرانجيتان مختلفتان فقط بالمشتقة الزمنية الكلية لدالة زمنية ون{\displaystyle n}تؤدي الإحداثيات المعممة إلى نفس معادلات الحركة. ومن الأمثلة المثيرة للاهتمام حل مسألة السببية المتعلقة بنظرية ويلر-فاينمان المتناظرة زمنيًا . يُطلق على المؤثر الموجود بين قوسين (في الصيغة النهائية أعلاه) أيضًا اسم مؤثر المشتقة الكلية (بالنسبة إلىت{\displaystyle t}).

على سبيل المثال، المشتقة الكلية لـو(x(ت)،y(ت)){\displaystyle f(x(t),y(t))}يكون

دودت=∂و∂xدxدت+∂و∂yدyدت.{\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.}

هنا لا يوجد∂و/∂ت{\displaystyle \partial f/\partial t}مصطلح منذو{\displaystyle f}لا يعتمد هو نفسه على المتغير المستقلت{\displaystyle t}مباشرة.

معادلة تفاضلية كلية

المعادلة التفاضلية الكلية هي معادلة تفاضلية معبر عنها بدلالة المشتقات الكلية. ولأن المشتقة الخارجية مستقلة عن الإحداثيات، بمعنى يمكن إعطاؤه معنى تقنياً، فإن هذه المعادلات جوهرية وهندسية .

تطبيق على أنظمة المعادلات

في علم الاقتصاد ، من الشائع ظهور المشتقة الكلية في سياق نظام من المعادلات. [ 22 ] : ص 217-220. على سبيل المثال، قد يحدد نظام بسيط للعرض والطلب الكمية q من منتج ما كدالة D لسعره p ودخل المستهلكين I ، حيث يمثل الأخير متغيرًا خارجيًا ، وقد يحدد الكمية التي يعرضها المنتجون كدالة S لسعره ومتغيرين خارجيين لتكلفة الموارد r و w . نظام المعادلات الناتج هو

q=د(ص،أنا)،{\displaystyle q=D(p,I),}
q=S(ص،ر،w)،{\displaystyle q=S(p,r,w),}

يحدد قيم توازن السوق للمتغيرين p و q . المشتق الكليدص/در{\displaystyle dp/dr}على سبيل المثال، يُعطي حساب مشتقة p بالنسبة إلى r إشارة ومقدار استجابة سعر السوق للمتغير الخارجي r . في النظام المذكور، يوجد ستة مشتقات كلية ممكنة، تُعرف أيضًا في هذا السياق بالمشتقات الساكنة المقارنة : dp / dr ، dp / dw ، dp / dI ، dq / dr ، dq / dw ، و dq / dI . تُحسب المشتقات الكلية عن طريق التفاضل الكلي لنظام المعادلات، ثم القسمة على، ولنقل dr ، واعتبار dq / dr و dp / dr كمجهولين، ووضع dI = dw = 0 ، وحل المعادلتين المتفاضلتين كليًا آنيًا، عادةً باستخدام قاعدة كرامر .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 رودين 1976 ، ص. 213.
  2. ↑ لانغ 1987 ، §XIII.3.
  3. ^ أبراهام ومارسدن وراتيو 1988 ، ص 76-78.
  4. 1 2 رودين 1976 ، ص 212-214.
  5. ↑ مونكرز 1991 ، ص 34-36.
  6. 1 2 سبيفاك 1965 ، ص 14-15.
  7. ^ رودين 1976 ، ص 215 – 216.
  8. ↑ مونكرز 1991 ، ص 48-50.
  9. ↑ أبوستول 1981 ، النظرية 12.11.
  10. ^ أبراهام ومارسدن وراتيو 1988 ، ص. 78.
  11. ↑ سبيفاك 1965 ، ص 89-91.
  12. ↑ لي 2013 ، ص 74.
  13. ↑ لي 2013 ، ص 276-279.
  14. ↑ لي 2013 ، ص 65-68.
  15. ↑ Tu 2011 ، ص 82-86.
  16. ↑ كالين 1985 ، ص 35-38.
  17. ↑ زيمانسكي وديتمان 1997 .
  18. ↑ باتشيلور 1967 ، ص 73.
  19. ↑ وايت 2011 ، ص 138-140.
  20. ↑ أرنولد 1989 .
  21. ↑ شيانغ 1984 ، القسم 8.6. خطأ في sfn: أهداف متعددة (2×): CITEREFChiang1984 ( مساعدة )
  22. ↑ تشيانغ، ألفا سي. (1984). الأساليب الأساسية للاقتصاد الرياضي (  الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. ISBN 0-07-010813-7.
  • أبراهام، رالف ؛ مارسدن، جيرولد إي.؛ راتيو ، تيودور (1988)، المتشعبات، تحليل الموترات، والتطبيقات (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-0-387-96790-5.
  • أبوستول، توم م. (1981)، حساب التفاضل والتكامل، المجلد الثاني: حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والجبر الخطي، مع تطبيقات على المعادلات التفاضلية والاحتمالات (الطبعة الثانية  )، جون وايلي وأولاده، ISBN 978-0-471-00007-5.
  • أرنولد، فلاديمير آي. (1989)، الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية ، ترجمة فوغتمان، ك. (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-0-387-96890-2.
  • باتشيلور، جي كي (1967)، مقدمة في ديناميكا الموائع ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-66396-0.
  • كالين، هربرت ب. (1985)، الديناميكا الحرارية ومقدمة في الإحصاء الحراري (  الطبعة الثانية)، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-0-471-86256-7.
  • تشيانغ، ألفا سي. (1984)، الأساليب الأساسية للاقتصاد الرياضي (  الطبعة الثالثة)، ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-010813-7.
  • جولدشتاين، هربرت ؛ بول، تشارلز ب.؛ سافكو، جون ل. (2002)، الميكانيكا الكلاسيكية (  الطبعة الثالثة)، أديسون-ويسلي، ISBN 978-0-201-65702-9.
  • لانغ، سيرج (1987)، حساب التفاضل والتكامل لعدة متغيرات (  الطبعة الثالثة)، سبرينغر.
  • لي، جون م. (2013)، مقدمة في المشعبات الملساء ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  218 (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-1-4419-9981-8.
  • لوميس، لين هـ.؛ ستيرنبرغ، شلومو (1990)، حساب التفاضل والتكامل المتقدم (  طبعة منقحة)، جونز وبارتليت، ISBN 978-0-86720-122-2.
  • مونكرز، جيمس ر. (1991)، التحليل على المشعبات ، أديسون-ويسلي، ISBN 978-0-201-51035-5.
  • بوليانين، أندريه د.؛ زايتسيف، فالنتين ف. (2003)، دليل الحلول الدقيقة للمعادلات التفاضلية العادية (  الطبعة الثانية)، تشابمان آند هول/سي آر سي، رقم ISBN 1-58488-297-2.
  • رودين، والتر (1976)، مبادئ التحليل الرياضي (  الطبعة الثالثة)، ماكجرو هيل، رقم ISBN 007054235X.
  • سبيفاك، مايكل (1965)، حساب التفاضل والتكامل على المشعبات: مدخل حديث إلى النظريات الكلاسيكية في حساب التفاضل والتكامل المتقدم ، دبليو إيه بنجامين، رقم ISBN 978-0-8053-9021-6.
  • تو، لورينغ دبليو (2011)، مقدمة في المتشعبات ، سلسلة يونيفرسيتكست (  الطبعة الثانية)، سبرينغر، رقم ISBN 978-1-4419-7399-3.
  • وايت، فرانك م. (2011)، ميكانيكا الموائع (  الطبعة السابعة)، ماكجرو هيل، رقم ISBN 978-0-07-352934-9.
  • زيمانسكي، مارك دبليو؛ ديتمان، ريتشارد إتش (1997)، الحرارة والديناميكا الحرارية (الطبعة السابعة  )، ماكجرو هيل، ISBN 978-0-07-017059-9.
  • أ. د. بوليانين وف. ف. زايتسيف، دليل الحلول الدقيقة للمعادلات التفاضلية العادية (الطبعة الثانية) ، تشابمان آند هول/سي آر سي برس، بوكا راتون، 2003. رقم ISBN 1-58488-297-2
  • من موقع thesaurus.maths.org: المشتقة الكلية

ملحوظات