مجموعة تأمل معقدة

في الرياضيات ، مجموعة الانعكاس المعقدة هي مجموعة منتهية تعمل على فضاء متجه معقد محدود الأبعاد يتم توليده بواسطة انعكاسات معقدة : عناصر غير تافهة تثبت مستوى فائق معقد نقطة بنقطة.

تظهر مجموعات الانعكاس المعقدة في دراسة نظرية الثوابت لحلقات كثيرات الحدود . وفي منتصف القرن العشرين، تم تصنيفها بالكامل في أعمال شيبارد وتود. وتشمل الحالات الخاصة مجموعة التناظر للتباديل، والمجموعات ثنائية السطوح ، وبشكل أعم جميع مجموعات الانعكاس الحقيقية المنتهية ( مجموعات كوكسيتر أو مجموعات ويل ، بما في ذلك مجموعات تناظر متعددات السطوح المنتظمة ).

الانعكاس (المركب) r (يسمى أحيانًا أيضًا الانعكاس الزائف أو الانعكاس الوحدوي ) لفضاء متجهي مركب محدود الأبعاد V هو عنصر${\displaystyle r\in GL(V)}$من رتبة محدودة تثبت مستوىً فائقًا معقدًا نقطيًا، أي الفضاء الثابت${\displaystyle \operatorname {Fix} (r):=\operatorname {ker} (r-\operatorname {Id} _{V})}$له بُعد مشترك 1.

مجموعة انعكاس معقدة ( محدودة )${\displaystyle W\subseteq GL(V)}$هي مجموعة جزئية منتهية من${\displaystyle GL(V)}$ذلك الناتج عن الانعكاسات.

تتحول أي مجموعة انعكاس حقيقية إلى مجموعة انعكاس معقدة إذا قمنا بتمديد الكميات القياسية من R إلى C. وعلى وجه الخصوص، فإن جميع مجموعات كوكسيتر أو مجموعات ويل المنتهية تعطي أمثلة على مجموعات الانعكاس المعقدة.

تكون مجموعة الانعكاس المعقدة W غير قابلة للاختزال إذا كان الفضاء الجزئي الوحيد الثابت تحت تأثير W في الفضاء المتجهي المقابل هو نقطة الأصل. في هذه الحالة، يُطلق على بُعد الفضاء المتجهي اسم رتبة W.

رقم كوكسيتر${\displaystyle h}$من مجموعة انعكاس معقدة غير قابلة للاختزال W من الرتبة${\displaystyle n}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle h={\frac {|{\mathcal {R}}|+|{\mathcal {A}}|}{n}}}$أين${\displaystyle {\mathcal {R}}}$يشير إلى مجموعة الانعكاسات و${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يشير إلى مجموعة المستويات الفائقة العاكسة. في حالة مجموعات الانعكاس الحقيقية، يختزل هذا التعريف إلى التعريف المعتاد لعدد كوكسيتر لأنظمة كوكسيتر المحدودة.

أي زمرة انعكاس معقدة هي ناتج ضرب زمر انعكاس معقدة غير قابلة للاختزال، تؤثر على مجموع فضاءات المتجهات المناظرة. ^{[ 1 ]} لذا يكفي تصنيف زمر الانعكاس المعقدة غير القابلة للاختزال.

صُنِّفت مجموعات الانعكاس المعقدة غير القابلة للاختزال بواسطة جيفري كولين شيبارد وجيه إيه تود . ^{[ 2 ]} أثبتا أن كل مجموعة غير قابلة للاختزال تنتمي إلى عائلة لانهائية G ( m , p , n ) تعتمد على ثلاثة معاملات صحيحة موجبة (حيث يقسم p العدد m )، أو أنها واحدة من 34 حالة استثنائية، رقّموها من 4 إلى 37. ^{[ 3 ]} المجموعة G ( m , 1, n ) هي المجموعة المتناظرة المعممة ؛ أو بعبارة أخرى، هي حاصل الضرب الإكليلي للمجموعة المتناظرة Sym( n ) بواسطة مجموعة دورية من الرتبة m . وباعتبارها مجموعة مصفوفات، يمكن تمثيل عناصرها كمصفوفات أحادية الحد، عناصرها غير الصفرية هي الجذور m للوحدة .

المجموعة G ( m , p , n ) هي مجموعة جزئية من G ( m , 1, n ) ذات فهرس p . رتبة G ( m , p , n ) هي m ⁿ n !/ p . ويمكن تمثيلها كمصفوفات كمجموعة جزئية يكون فيها حاصل ضرب العناصر غير الصفرية جذرًا من الرتبة ( m / p ) للوحدة (بدلاً من جذر من الرتبة m فقط ). جبريًا، G ( m , p , n ) هي حاصل ضرب شبه مباشر لمجموعة أبيلية من الرتبة m ⁿ / p بواسطة المجموعة المتناظرة Sym( n )؛ عناصر المجموعة الأبيلية هي من الشكل ( θ ^{a ₁} , θ ^{a ₂} , ..., θ ^{a _n} )، حيث θ هو جذر أولي من الرتبة m للوحدة و Σ a _i ≡ 0 mod p ، وتعمل Sym( n ) عن طريق تبديل الإحداثيات. ^{[ 4 ]}

تؤثر المجموعة G ( m , p , n ) بشكل غير قابل للاختزال على Cn باستثناء الحالتين m = 1 و n ^> 1 (المجموعة المتناظرة) و G (2, 2, 2) ( مجموعة كلاين الرباعية ). في هاتين الحالتين، ^تنقسم Cn إلى مجموع تمثيلات غير قابلة للاختزال ذات أبعاد 1 و n − 1.

توجد بعض التكرارات في الأسطر الثلاثة الأولى من هذه القائمة؛ راجع القسم السابق لمزيد من التفاصيل.

• ST هو رقم شيبارد – تود لمجموعة الانعكاس.
• الرتبة هي بُعد فضاء المتجهات المعقدة الذي تعمل عليه المجموعة.
• يصف التركيب بنية المجموعة. يرمز الرمز * إلى حاصل الضرب المركزي لمجموعتين. بالنسبة للرتبة 2، يكون ناتج القسمة على المركز (الدوري) هو مجموعة دورانات رباعي الأوجه، أو ثماني الأوجه، أو عشريني الأوجه ( T = Alt(4)، O = Sym(4)، I = Alt(5)، من الرتب 12، 24، 60)، كما هو موضح في الجدول. للاطلاع على الترميز 2 ¹⁺⁴ ، انظر المجموعة الخاصة الإضافية .
• الترتيب هو عدد عناصر المجموعة.
• يصف مصطلح "الانعكاسات" عدد الانعكاسات: 2 ⁶ 4 ¹² يعني أن هناك 6 انعكاسات من الرتبة 2 و 12 من الرتبة 4.
• تُشير الدرجات إلى درجات الثوابت الأساسية لحلقة ثوابت كثيرات الحدود. على سبيل المثال، تُشكّل ثوابت المجموعة رقم 4 حلقة كثيرات حدود بمولدين من الدرجتين 4 و6.

مجموعات الانعكاس المعقدة غير القابلة للاختزال ^{[ 6 ]}

شارع	رتبة	الهيكل والأسماء	أسماء كوكسيتر	طلب	تأملات	الدرجات	الشهادات المشتركة
1	ن - 1	المجموعة المتناظرة G (1,1, n ) = Sym( n )		ن !	2 ن ( ن − 1)/2	2، 3، ...، ن	0، 1، ...، ن - 2
2	ن	G ( m , p , n ) m > 1, n > 1, p | m ( G (2,2,2) قابلة للاختزال)		م ن ن !/ ص	2 mn ( n − 1)/2 , d n φ( d ) ( d | m / p , d > 1)	m ، 2m ، ...، ( n - 1) m ؛ mn / p	0، m ، ...، ( n - 1) m إذا كان p < m ؛ 0، m ، ...، ( n - 2) m ، ( n - 1) m - n إذا كان p = m
2	2	G ( p ,1,2) p > 1,	p[4]2 أو	2 ص 2	2 p , d 2φ( d ) ( d | p , d > 1)	ص ؛ 2ص	0، ص
2	2	المجموعة ثنائية السطوح G ( p , p ,2) p > 2	[ ص ] أو	2 بنس	2 بنس	2، ص	0، ص-2
3	1	المجموعة الدورية G ( p ,1,1) = Z p	p [] أو	ص	d φ( d ) ( d | p , d > 1)	ص	0
4	2	W(L 2 ), Z 2 . T	3[3]3 أو ⟨2,3,3⟩	24	3 8	4.6	0.2
5	2	Z 6 . T	3[4]3 أو	72	3 16	6.12	0.6
6	2	Z 4 . T	3[6]2 أو	48	2 6 3 8	4.12	0.8
7	2	Z 12 . T	‹3,3,3› 2 أو ⟨2,3,3⟩ 6	144	2 6 3 16	12,12	0.12
8	2	Z 4 . O	4[3]4 أو	96	2 6 4 12	8,12	0.4
9	2	Z 8 . O	4[6]2 أو أو ⟨2,3,4⟩ 4	192	2 18 4 12	8.24	0.16
10	2	Z 12 . O	4[4]3 أو	288	2 6 3 16 4 12	12,24	0.12
11	2	Z 24 . O	⟨2,3,4⟩ 12	576	2 18 3 16 4 12	24,24	0.24
12	2	Z 2 . O = GL 2 ( F 3 )	⟨2,3,4⟩	48	2 12	6.8	0.10
13	2	Z 4 . O	⟨2,3,4⟩ 2	96	2 18	8,12	0.16
14	2	Z 6 . O	3[8]2 أو	144	2 12 3 16	6.24	0.18
15	2	Z 12 . O	⟨2,3,4⟩ 6	288	2 18 3 16	12,24	0.24
16	2	Z 10 . I , ⟨2,3,5⟩ × Z 5	5[3]5 أو	600	5 48	20,30	0.10
17	2	Z 20 . I	5[6]2 أو	1200	2 30 5 48	20,60	0.40
18	2	Z 30 . I	5[4]3 أو	1800	3 40 5 48	30.60	0.30
19	2	Z 60 . I	⟨2,3,5⟩ 30	3600	2 30 3 40 5 48	60,60	0.60
20	2	Z 6 . I	3[5]3 أو	360	3 40	12.30	0.18
21	2	Z 12 . I	3[10]2 أو	720	2 30 3 40	12.60	0.48
22	2	Z 4 . I	⟨2,3,5⟩ 2	240	2 30	12,20	0.28
23	3	W(H 3 ) = Z 2 × PSL 2 (5)	[5,3],	120	2 15	2،6،10	0,4,8
24	3	W(J 3 (4)) = Z 2 × PSL 2 (7)، كلاين	[1 1 1 4 ] 4 ,	336	2 21	4،6،14	0,8,10
25	3	W(L 3 ) = W(P 3 ) = 3 1+2 .SL 2 (3) مصفوفة هيسية	3[3]3[3]3,	648	3 24	6، 9، 12	0,3,6
26	3	W(M 3 ) = Z 2 ×3 1+2 .SL 2 (3) مصفوفة هيسية	2[4]3[3]3,	1296	2 9 3 24	6، 12، 18	0,6,12
27	3	ث(ي 3 (5)) = ض 2 ×( ض 3 .بديل(6))، فالنتينر	[1 1 1 5 ] 4 , [1 1 1 4 ] 5 ,	2160	2 45	6، 12، 30	0,18,24
28	4	W(F 4 ) = (SL 2 (3)* SL 2 (3)).( Z 2 × Z 2 )	[3,4,3],	1152	2 12+12	2، 6، 8، 12	0، 4، 6، 10
29	4	W(N 4 ) = ( Z 4 *2 1 + 4 ).Sym(5)	[1 1 2] 4 ,	7680	2 40	4، 8، 12، 20	0، 8، 12، 16
30	4	W(H 4 ) = (SL 2 (5)*SL 2 (5)). Z 2	[5,3,3],	14400	2 60	2، 12، 20، 30	0،10،18،28
31	4	W(EN 4 ) = W(O 4 ) = ( Z 4 *2 1  +  4 ).Sp 4 (2)		46080	2 60	8، 12، 20، 24	0,12,16,28
32	4	W(L 4 ) = Z 3 × Sp 4 (3)	3[3]3[3]3[3]3,	155520	3 80	12، 18، 24، 30	0,6,12,18
33	5	W(K 5 ) = Z 2 × Ω 5 (3) = Z 2 × PSp 4 (3)= Z 2 × PSU 4 (2)	[1 2 2] 3 ,	51840	2 45	4، 6، 10، 12، 18	0، 6، 8، 12، 14
34	6	W(K 6 )= Z 3 .Ω − 6 (3). Z 2 ، مجموعة ميتشل	[1 2 3] 3 ،	39191040	2 126	6، 12، 18، 24، 30، 42	0، 12، 18، 24، 30، 36
35	6	W(E 6 ) = SO 5 (3) = O − 6 (2) = PSp 4 (3). Z 2 = PSU 4 (2). ض 2	[3 2,2,1 ],	51840	2 36	2، 5، 6، 8، 9، 12	0، 3، 4، 6، 7، 10
36	7	W(E 7 ) = Z 2 ×Sp 6 (2)	[3 3,2,1 ],	2903040	2 63	2، 6، 8، 10، 12، 14، 18	0، 4، 6، 8، 10، 12، 16
37	8	W(E 8 )= Z 2 .O + 8 (2)	[3 4,2,1 ],	696729600	2 120	2، 8، 12، 14، 18، 20، 24، 30	0، 6، 10، 12، 16، 18، 22، 28

أثبت شيبارد وتود أن المجموعة المنتهية التي تعمل على فضاء متجهي معقد هي مجموعة انعكاس معقدة إذا وفقط إذا كانت حلقة ثوابتها حلقة متعددة الحدود ( نظرية شيفاللي-شيبارد-تود ).${\displaystyle \ell }$باعتبارها رتبة مجموعة الانعكاس، فإن الدرجات${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }}$تُسمى مولدات حلقة الثوابت بدرجات W ، وهي مُدرجة في العمود أعلاه بعنوان "الدرجات". كما بيّنوا أن العديد من الثوابت الأخرى للمجموعة تُحدد بواسطة هذه الدرجات على النحو التالي:

• مركز مجموعة الانعكاس غير القابلة للاختزال يكون دوريًا من رتبة تساوي القاسم المشترك الأكبر للدرجات.
• رتبة مجموعة انعكاس معقدة هي حاصل ضرب درجاتها.
• عدد الانعكاسات هو مجموع الدرجات مطروحًا منها الرتبة.
• تأتي مجموعة الانعكاس المعقدة غير القابلة للاختزال من مجموعة انعكاس حقيقية إذا وفقط إذا كان لها ثابت من الدرجة 2.
• تحقق الدرجات d _i الصيغة${\displaystyle \prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.}$

ل${\displaystyle \ell }$باعتبارها رتبة مجموعة الانعكاس، فإن الدرجات المشتركة${\displaystyle d_{1}^{*}\geq d_{2}^{*}\geq \ldots \geq d_{\ell }^{*}}$يمكن تعريف W بواسطة ${\displaystyle \prod _{i=1}^{\ell }(q-d_{i}^{*}-1)=\sum _{w\in W}\det(w)q^{\dim(V^{w})}.}$

• بالنسبة لمجموعة انعكاس حقيقية، تكون درجات الانعكاس هي الدرجات ناقص 2.
• عدد مستويات الانعكاس الفائقة هو مجموع درجات الكود بالإضافة إلى الرتبة.

بحسب التعريف، تتولد كل زمرة انعكاس معقدة من انعكاساتها. مع ذلك، فإن مجموعة الانعكاسات ليست مجموعة توليد دنيا، ولكل زمرة انعكاس معقدة غير قابلة للاختزال من الرتبة n مجموعة توليد دنيا تتكون إما من n أو n + 1 انعكاسًا. في الحالة الأولى، يُقال إن الزمرة مولدة جيدًا .

خاصية كون الشيء مولداً بشكل جيد تعادل الشرط${\displaystyle d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell }}$للجميع${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$وبالتالي، على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يستنتج من التصنيف أن المجموعة G ( m , p , n ) يتم توليدها بشكل جيد إذا وفقط إذا كان p = 1 أو m .

بالنسبة لمجموعات الانعكاس المعقدة غير القابلة للاختزال والمولدة جيدًا، فإن عدد كوكسيتر h المحدد أعلاه يساوي أكبر درجة.${\displaystyle h=d_{\ell }}$يُقال إن مجموعة انعكاس معقدة قابلة للاختزال مولدة جيدًا إذا كانت ناتج ضرب مجموعات انعكاس معقدة غير قابلة للاختزال ومولدة جيدًا. كل مجموعة انعكاس حقيقية منتهية مولدة جيدًا.

تتضمن مجموعات الانعكاس المعقدة جيدة التوليد مجموعة فرعية تُسمى مجموعات شيبارد . هذه المجموعات هي مجموعات التناظر للمضلعات المعقدة المنتظمة . على وجه الخصوص، تشمل مجموعات التناظر للمجسمات الحقيقية المنتظمة. يمكن وصف مجموعات شيبارد بأنها مجموعات الانعكاس المعقدة التي تقبل تمثيلًا "شبيهًا بكوكسيتر" بمخطط خطي. أي أن مجموعة شيبارد لها أعداد صحيحة موجبة مرتبطة بها p₁ , _{... ,} pₙ و q₁ _{, ...} , qₙ₋₁ بحيث توجد مجموعة مولدة s₁ , ..., _sₙ تحقق _{العلاقات التالية} :

${\displaystyle (s_{i})^{p_{i}}=1}$لـ i = 1، ...، n ،

${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}}$لو${\displaystyle |ij|>1}$،

و

${\displaystyle s_{i}s_{i+1}s_{i}s_{i+1}\cdots =s_{i+1}s_{i}s_{i+1}s_{i}\cdots }$حيث تحتوي المنتجات على كلا الجانبين على q _i حدًا، من أجل i = 1، ...، n − 1 .

يتم تجميع هذه المعلومات أحيانًا في رمز من نوع Coxeter p ₁ [ q ₁ ] p ₂ [ q ₂ ] ... [ q _{n − 1} ] p _n ، كما هو موضح في الجدول أعلاه.

من بين المجموعات في العائلة اللانهائية G ( m , p , n ) ، تُعرف مجموعات شيبارد بأنها تلك التي يكون فيها p = 1. وهناك أيضًا 18 مجموعة شيبارد استثنائية، منها ثلاث مجموعات حقيقية. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

تُعرّف مصفوفة كارتان الموسعة المجموعة الوحدوية. تحتوي مجموعات شيبارد من الرتبة n على n مولدًا. تحتوي مصفوفات كارتان العادية على عنصرين قطريين، بينما لا تخضع الانعكاسات الوحدوية لهذا القيد. ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، تُعرّف المجموعة من الرتبة 1 من الرتبة p (برموز p[] ) بواسطة المصفوفة 1 × 1${\displaystyle \left[1-e^{2\pi i/p}\right]}$.

منح:$// i/5}={\tfrac {1}{4}}(\left({\sqrt {5}}-1\right)+i{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}})،\tau ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}،\lambda ={\tfrac {1+i{\sqrt {7}}}{2}},\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$.

المرتبة الأولى

مجموعة		كارتان	مجموعة		كارتان
2[]		${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2\end{matrix}}\right]}$	3[]		${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1-\omega \end{matrix}}\right]}$
4[]		${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1-i\end{matrix}}\right]}$	5[]		${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1-\zeta _{5}\end{matrix}}\right]}$

المرتبة الثانية

مجموعة			كارتان	مجموعة			كارتان
جي 4	3[3]3		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-\omega &1-\omega \end{smallmatrix}}\right]}$	G 5	3[4]3		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-2\omega &1-\omega \end{smallmatrix}}\right]}$
G 6	2[6]3		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1-\omega +i\omega ^{2}&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]}$	G 8	4[3]4		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1-i&1\\-i&1-i\end{smallmatrix}}\right]}$
G 9	2[6]4		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1\\(1+{\sqrt {2}})\zeta _{8}&1+i\end{smallmatrix}}\right]}$	G 10	3[4]4		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-i-\omega &1-i\end{smallmatrix}}\right]}$
G 14	3[8]2		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\1-\omega +\omega ^{2}{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	G 16	5[3]5		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1-\zeta _{5}&1\\-\zeta _{5}&1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}}\right]}$
G 17	2[6]5		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1-\zeta _{5}-i\zeta ^{3}&1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}}\right]}$	G 18	3[4]5		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-\omega -\zeta _{5}&1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}}\right]}$
مجموعة العشرين	3[5]3		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\\omega (\tau -2)&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]}$	G 21	2[10]3		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1-\omega -i\omega ^{2}\tau &1-\omega \end{smallmatrix}}\right]}$

المرتبة الثالثة

مجموعة			كارتان	مجموعة			كارتان
G 22	<5,3,2> 2		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&\tau +i-1&-i+1\\-\tau -i-1&2&i\\i-1&-i&2\end{smallmatrix}}\right]}$	G 23	[5,3]		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-\tau &0\\-\tau &2&-1\\0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$
جي 24	[1 1 1 4 ] 4		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&-\lambda \\-1&2&-1\\1+\lambda &-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$	G 25	3[3]3[3]3		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &\omega ^{2}&0\\-\omega ^{2}&1-\omega &-\omega ^{2}\\0&\omega ^{2}&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]}$
G 26	3[3]3[4]2		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &-\omega ^{2}&0\\\omega ^{2}&1-\omega &-1\\0&-1+\omega &2\end{smallmatrix}}\right]}$	G 27	[1 1 1 5 ] 4		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-\tau &-\omega \\-\tau &2&-\omega ^{2}\\-\omega ^{2}&\omega &2\end{smallmatrix}}\right]}$

المرتبة الرابعة

مجموعة			كارتان	مجموعة			كارتان
G 28	[3,4,3]		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$	G 29	[1 1 2] 4		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&i+1&0\\-1&2&-i&0\\-i+1&i&2&-1\\0&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$
جي 30	[5,3,3]		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-\tau &0&0\\-\tau &2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$	G 32	3[3]3[3]3		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &\omega ^{2}&0&0\\-\omega ^{2}&1-\omega &-\omega ^{2}&0\\0&\omega ^{2}&1-\omega &\omega ^{2}\\0&0&-\omega ^{2}&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]}$

المرتبة الخامسة

مجموعة			كارتان	مجموعة			كارتان
G 31	O 4		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&i+1&0&-i+1\\-1&2&-i&0&0\\-i+1&i&2&-1&-i+1\\0&0&-1&2&-1\\i+1&0&i+1&-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$	جي 33	[1 2 2] 3		${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0\\-1&2&-1&-1&0\\0&-1&2&-\omega &0\\0&-1&-\omega ^{2}&2&-\omega ^{2}\\0&0&0&-\omega &2\end{smallmatrix}}\right]}$

• مجموعة فرعية مكافئة لمجموعة انعكاس

• بروي، ميشيل ؛ مال، غونتر؛ روكييه، رافائيل (1995)، "حول مجموعات الانعكاس المعقدة ومجموعات الجدائل المرتبطة بها" (ملف PDF) ، تمثيلات المجموعات (بانف، ألبرتا، 1994) ، وقائع مؤتمر الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد  16، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 1-13 ، MR 1357192  
• بروي, ميشيل ; مالي، غونتر؛ Rouquier، Raphaël (1998)، “مجموعات الانعكاس المعقدة، مجموعات جديلة، جبر هيكي”، مجلة für die reine und angewandte Mathematik ، المجلد.  1998، لا.  500، الصفحات من 127 إلى 190، CiteSeerX 10.1.1.128.2907 ، دوى : 10.1515/crll.1998.064 ، ISSN 0075-4102 ، MR 1637497    
• Deligne، Pierre (1972)، “Les immeubles des groupes de tresses généralisés”، اختراعات الرياضيات ، المجلد.  17، لا.  4، الصفحات من 273 إلى 302، بيب كود : 1972InMat..17..273D ، دوى : 10.1007 / BF01406236 ، ISSN 0020-9910 ، السيد 0422673 ، S2CID 123680847    
• هيلر، هوارد. هندسة مجموعات كوكسيتر. مذكرات بحثية في الرياضيات، 54. بيتمان (برنامج النشر المتقدم)، بوسطن، ماساتشوستس - لندن، 1982. 213 صفحة + 4 صفحات تمهيدية. ISBN  0-273-08517-4*
• ليرر، غوستاف آي؛ تايلور، دونالد إي (2009)، مجموعات الانعكاس الوحدوية ، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية الأسترالية، المجلد  20، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-74989-3، MR 2542964 
• شيبارد، جي سي؛ تود، جيه إيه (1954)، "مجموعات الانعكاس الوحدوية المنتهية" ، المجلة الكندية للرياضيات ، المجلد  6، الجمعية الرياضية الكندية، الصفحات 274-304 ، doi : 10.4153/CJM-1954-028-3 ، ISSN 0008-414X ، MR 0059914 ، S2CID 3342221    
• كوكسيتر ، الزمر المنتهية المولدة بواسطة الانعكاسات الوحدوية ، 1966، 4. الترميز البياني ، جدول الزمر ذات الأبعاد n المولدة بواسطة n انعكاسًا وحدويًا. الصفحات  422-423

• صفحة نظام الجبر الحسابي MAGMA