حساب

الحساب هو أي نوع من أنواع الحسابات الحسابية أو غير الحسابية المحددة جيدًا. [ 1 ^{] [2]} ومن الأمثلة الشائعة على الحساب حل المعادلات الرياضية وتنفيذ خوارزميات الكمبيوتر .

الأجهزة الميكانيكية أو الإلكترونية (أو تاريخيا الأشخاص) التي تقوم بإجراء العمليات الحسابية تُعرف باسم أجهزة الكمبيوتر .

علم الحاسوب هو مجال أكاديمي يتضمن دراسة الحوسبة.

كان علماء الرياضيات يجادلون في فكرة أن العبارات الرياضية يجب أن تكون "محددة جيدًا" منذ القرن السابع عشر على الأقل ، ^[3] لكن الاتفاق على تعريف مناسب أثبت أنه بعيد المنال. ^[4] اقترح العديد من علماء الرياضيات بشكل مستقل تعريفًا مرشحًا في ثلاثينيات القرن العشرين. ^[5] تم صياغة النسخة الأكثر شهرة من قبل عالم الرياضيات آلان تورينج ، الذي عرّف العبارة أو الحساب المحدد جيدًا على أنه أي عبارة يمكن التعبير عنها من حيث معلمات التهيئة لآلة تورينج . ^[6] تتضمن التعريفات الأخرى (المكافئة رياضيًا) قابلية تعريف لامدا لألونزو تشرش ، والتكرار العام لهيربراند - جودل - كلين وقابلية تعريف 1 لإميل بوست . [ ^5]

اليوم، يُطلق على أي بيان أو حساب رسمي يُظهر هذه الجودة من الوضوح اسم قابل للحساب ، في حين يُشار إلى البيان أو الحساب نفسه باسم عملية حسابية .

خصص تعريف تورينج "الوضوح الجيد" لفئة كبيرة جدًا من العبارات الرياضية، بما في ذلك جميع العبارات الجبرية ذات التكوين الجيد ، وجميع العبارات المكتوبة بلغات البرمجة الحاسوبية الحديثة. ^[7]

على الرغم من انتشار هذا التعريف على نطاق واسع، إلا أن هناك بعض المفاهيم الرياضية التي لا يوجد لها توصيف محدد جيدًا بموجب هذا التعريف. ويشمل ذلك مشكلة التوقف ولعبة القندس المزدحمة . ويظل السؤال مفتوحًا حول ما إذا كان هناك تعريف أقوى لـ "محدد جيدًا" قادر على التقاط كل من العبارات القابلة للحساب و"غير القابلة للحساب". ^{[ملاحظة 1] [8]}

تتضمن بعض الأمثلة على العبارات الرياضية القابلة للحساب ما يلي:

• جميع العبارات المميزة في لغات البرمجة الحديثة، بما في ذلك C++ و Python و Java . ^[7]
• جميع العمليات الحسابية التي تتم بواسطة الحاسوب الإلكتروني أو الآلة الحاسبة أو المعداد .
• تم إجراء جميع الحسابات على محرك تحليلي .
• تم إجراء جميع الحسابات على آلة تورينج .
• أغلب العبارات والحسابات الرياضية الواردة في كتب الرياضيات.

تتضمن بعض الأمثلة على العبارات الرياضية التي لا يمكن حسابها ما يلي:

• الحسابات أو العبارات التي ليست محددة بشكل جيد، بحيث لا يمكن تشفيرها بشكل لا لبس فيه في آلة تورينج: ("بول يحبني ضعف ما يحبني جو").
• عبارات المشكلة التي تبدو محددة جيدًا، ولكن من الممكن إثبات عدم وجود آلة تورينج لحلها (مثل مشكلة التوقف ).

يمكن اعتبار الحساب عملية فيزيائية بحتة تحدث داخل نظام فيزيائي مغلق يسمى الكمبيوتر . أثبت دليل تورينج عام 1937، في كتابه "حول الأرقام القابلة للحساب، مع تطبيق على مشكلة الحل" ، أن هناك تكافؤًا رسميًا بين البيانات القابلة للحساب والأنظمة الفيزيائية المعينة، والتي تسمى عادةً أجهزة الكمبيوتر . ومن الأمثلة على هذه الأنظمة الفيزيائية: آلات تورينج ، وعلماء الرياضيات البشريون الذين يتبعون قواعد صارمة، وأجهزة الكمبيوتر الرقمية ، وأجهزة الكمبيوتر الميكانيكية ، وأجهزة الكمبيوتر التناظرية وغيرها.

نجد وصفًا بديلًا للحوسبة في أعمال هيلاري بوتنام وآخرين. وقد أطلق بيتر جودفري سميث على هذا الوصف "وصف التخطيط البسيط". ^{[9] ويذكر ملخص} جوالتييرو بيتشيني لهذا الوصف أنه يمكن القول إن النظام الفيزيائي يقوم بعملية حسابية محددة عندما يكون هناك تخطيط بين حالة ذلك النظام والحساب بحيث "تعكس الحالات الميكروفيزيائية [للنظام] انتقالات الحالة بين الحالات الحسابية". ^[10]

اقترح فلاسفة مثل جيري فودور ^{[11] حسابات مختلفة للحوسبة مع القيد الذي ينص على أن المحتوى} الدلالي يجب أن يكون شرطًا ضروريًا للحوسبة (أي أن ما يميز النظام الفيزيائي التعسفي عن نظام الحوسبة هو أن متغيرات الحوسبة تمثل شيئًا ما). يحاول هذا المفهوم منع التجريد المنطقي لحساب رسم الخرائط للحوسبة الشاملة ، فكرة أنه يمكن القول أن كل شيء يحسب كل شيء.

يقترح جوالتييرو بيتشيني حسابًا للحوسبة يعتمد على الفلسفة الميكانيكية . وينص على أن أنظمة الحوسبة الفيزيائية هي أنواع من الآليات التي تؤدي، من خلال التصميم، الحوسبة الفيزيائية، أو التلاعب (بواسطة آلية وظيفية) بمركبة "مستقلة عن الوسيط" وفقًا لقاعدة. يتطلب "استقلال الوسيط" أن تكون الخاصية قابلة للتجسيد ^{[ توضيح مطلوب ]} بواسطة محققين متعددين ^{[ توضيح مطلوب ]} وآليات متعددة، وأن تكون مدخلات ومخرجات الآلية قابلة للتنفيذ أيضًا بشكل مضاعف . باختصار، يسمح استقلال الوسيط باستخدام متغيرات فيزيائية ذات خصائص أخرى غير الجهد (كما هو الحال في أجهزة الكمبيوتر الرقمية النموذجية)؛ وهذا أمر ضروري عند النظر في أنواع أخرى من الحوسبة، مثل تلك التي تحدث في الدماغ أو في الكمبيوتر الكمومي . توفر القاعدة، بهذا المعنى، تعيينًا بين المدخلات والمخرجات والحالات الداخلية لنظام الحوسبة الفيزيائي. ^[12]

في نظرية الحوسبة ، تم تطوير مجموعة متنوعة من النماذج الرياضية للحوسبة. النماذج الرياضية النموذجية لأجهزة الكمبيوتر هي التالية:

• نماذج الحالة بما في ذلك آلة تورينج ، وآلة الدفع للأسفل ، وآلة الحالة المحدودة ، و PRAM
• النماذج الوظيفية بما في ذلك حساب لامدا
• النماذج المنطقية بما في ذلك البرمجة المنطقية
• النماذج المتزامنة بما في ذلك نموذج الممثل وحساب العمليات

يُطلق جيونتي على النماذج التي تدرسها نظرية الحوسبة اسم الأنظمة الحسابية، ويزعم أن جميعها عبارة عن أنظمة ديناميكية رياضية ذات زمن منفصل ومساحة حالة منفصلة. ^{[13] : الفصل الأول.} ويؤكد أن النظام الحسابي هو كائن معقد يتكون من ثلاثة أجزاء. أولاً، نظام ديناميكي رياضي ذو زمن منفصل ومساحة حالة منفصلة؛ ثانيًا، إعداد حسابي ، يتكون من جزء نظري ، وجزء حقيقي ؛ ثالثًا، تفسير ، يربط النظام الديناميكي بالإعداد . ^{[14] : ص 179-180}${\displaystyle DS}$${\displaystyle H=\left(F,B_{F}\right)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle B_{F}}$${\displaystyle I_{DS,H}}$${\displaystyle DS}$${\displaystyle H}$

• نظرية قابلية الحساب
• الحوسبة الفائقة
• مشكلة حسابية
• حدود الحساب
• الحوسبة