ديناميكيات الاتصال

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 6 صور
الموسوعة الحرة

تتناول ديناميكيات التلامس حركة الأنظمة متعددة الأجسام الخاضعة للتلامس والاحتكاك من جانب واحد . [ 1 ] وتنتشر هذه الأنظمة في العديد من تطبيقات ديناميكيات الأجسام المتعددة. لنأخذ على سبيل المثال

  • التلامس بين العجلات والأرض في ديناميكيات المركبات
  • صرير الفرامل بسبب التذبذبات الناتجة عن الاحتكاك
  • حركة العديد من الجسيمات، والكرات التي تسقط في قمع، وعمليات الخلط (الوسائط الحبيبية)
  • آلات الساعة
  • آلات المشي
  • آلات عشوائية مزودة بمحددات توقف، واحتكاك.
  • الأنسجة التشريحية (الجلد، القزحية/العدسة، الجفون/السطح الأمامي للعين، غضاريف المفاصل، بطانة الأوعية الدموية/خلايا الدم، العضلات/الأوتار، إلخ)

يتناول هذا البحث كيفية نمذجة الأنظمة الميكانيكية ذات التلامس أحادي الجانب والاحتكاك، وكيفية الحصول على تطورها الزمني باستخدام التكامل العددي . كما يقدم بعض الأمثلة.

النمذجة

يُعدّ كلٌّ من النهج المُنتظم والنهج غير المُنتظم النهجين الرئيسيين لنمذجة الأنظمة الميكانيكية ذات التلامس أحادي الجانب والاحتكاك. فيما يلي، سنشرح هذين النهجين باستخدام مثال بسيط. لنفترض وجود كتلة يمكنها الانزلاق أو الالتصاق على طاولة (انظر الشكل 1أ). تُوصف حركة الكتلة بمعادلة الحركة، بينما تبقى قوة الاحتكاك مجهولة (انظر الشكل 1ب). وللحصول على قوة الاحتكاك، يجب تحديد قانون قوة منفصل يربط قوة الاحتكاك بالسرعة المصاحبة للكتلة.

الشكل 1: كتلة يمكنها الانزلاق أو الالتصاق على طاولة. يوضح الشكل أ) النموذج، بينما يوضح الشكل ب) معادلة الحركة مع قوة احتكاك مجهولة.

نهج غير سلس

يُعدّ النهج غير الأملس نهجًا أكثر تطورًا ، إذ يستخدم قوانين القوة متعددة القيم لنمذجة الأنظمة الميكانيكية ذات التلامس أحادي الجانب والاحتكاك. لنفترض مجددًا كتلة تنزلق أو تلتصق على الطاولة. يوضح الشكل 3 قانون الاحتكاك متعدد القيم من النوع Sgn. في حالة الانزلاق، تكون قوة الاحتكاك مُعطاة. أما في حالة الالتصاق، فتكون قوة الاحتكاك متعددة القيم وتُحدد وفقًا لقيد جبري إضافي .

الشكل 3: قانون القوة ذو القيم المتعددة للاحتكاك

ختامًا، يُغيّر النهج غير الأملس البنية الرياضية الأساسية عند الحاجة، مما يُؤدي إلى وصف دقيق للأنظمة الميكانيكية ذات التلامس والاحتكاك أحادي الجانب. ونتيجةً لهذا التغيير في البنية الرياضية، قد تحدث تصادمات ، ولا يُمكن افتراض سلاسة تطورات المواضع والسرعات مع الزمن . لذا، يجب تعريف معادلات وقوانين تصادم إضافية. ولمعالجة هذا التغيير في البنية الرياضية، تُكتب قوانين القوى متعددة القيم عادةً على شكل متباينات أو مسائل احتواء . ويتم تقييم هذه المتباينات/الاحتواءات عادةً بحل مسائل التكامل الخطية (أو غير الخطية) ، أو بالبرمجة التربيعية ، أو بتحويل مسائل المتباينات/الاحتواءات إلى معادلات إسقاطية يُمكن حلها تكراريًا باستخدام تقنيات جاكوبي أو جاوس-سيدل . يُوفر النهج غير الأملس منهجًا جديدًا لنمذجة الأنظمة الميكانيكية ذات التلامس والاحتكاك أحادي الجانب، والذي يتضمن أيضًا الميكانيكا الكلاسيكية الكاملة الخاضعة للقيود الثنائية. يرتبط هذا النهج بنظرية المعادلات التفاضلية الجبرية الكلاسيكية ويؤدي إلى مخططات تكامل قوية.

التكامل العددي

يمكن إجراء تكامل النماذج المنتظمة باستخدام حلول المعادلات التفاضلية العادية القياسية. مع ذلك، قد تحدث تذبذبات ناتجة عن التنظيم. عند النظر إلى النماذج غير الملساء للأنظمة الميكانيكية ذات التلامس أحادي الجانب والاحتكاك، يوجد نوعان رئيسيان من أدوات التكامل: أدوات التكامل المعتمدة على الأحداث، وأدوات التكامل المعتمدة على الخطوات الزمنية.

أدوات التكامل القائمة على الأحداث

تُفرّق مُكاملات الأحداث بين الأجزاء السلسة من الحركة التي لا يتغير فيها الهيكل الأساسي للمعادلات التفاضلية، وبين الأحداث أو ما يُسمى بنقاط التحول التي يتغير عندها هذا الهيكل، أي اللحظات الزمنية التي يُغلق فيها اتصال أحادي الجانب أو يحدث انتقال انزلاقي. عند نقاط التحول هذه، تُقيّم قوانين القوة (والتأثير الإضافي) ذات القيم المُحددة للحصول على هيكل رياضي أساسي جديد يُمكن استكمال التكامل عليه. تتميز مُكاملات الأحداث بدقة عالية، لكنها غير مناسبة للأنظمة ذات نقاط التلامس الكثيرة.

مُكاملات الخطوات الزمنية

تُعدّ مُكاملات الخطوات الزمنية خوارزميات عددية مُخصصة للأنظمة الميكانيكية ذات نقاط التلامس المتعددة. وقد طوّر جيه جيه مورو أول مُكامل للخطوات الزمنية. لا تهدف هذه المُكاملات إلى تحديد نقاط التحوّل، ولذلك فهي تتمتع بمتانة عالية في التطبيق. ولأنها تعمل مع تكامل قوى التلامس وليس مع القوى نفسها، فإنها قادرة على التعامل مع كلٍ من الحركة والأحداث النبضية كالتصادمات. ومن عيوبها انخفاض دقتها، ويمكن التغلب على ذلك بتحسين حجم الخطوة عند نقاط التحوّل. تُعالج الأجزاء السلسة من الحركة بخطوات أكبر، ويمكن استخدام طرق تكامل ذات رتبة أعلى لزيادة رتبة التكامل.

أمثلة

يقدم هذا القسم بعض الأمثلة على الأنظمة الميكانيكية ذات التلامس أحادي الجانب والاحتكاك. وقد تم الحصول على النتائج باستخدام منهجية غير سلسة تعتمد على التكامل الزمني المتدرج.

المواد الحبيبية

تُعدّ طرق التدرج الزمني مناسبةً بشكلٍ خاص لمحاكاة المواد الحبيبية. يوضح الشكل 4 محاكاة خلط 1000 قرص.

الشكل 4: خلط ألف قرص

البلياردو

لنفترض وجود كرتين متصادمتين في لعبة البلياردو. يوضح الشكل 5أ بعض اللقطات للكرتين المتصادمتين، بينما يوضح الشكل 5ب المسارات المرتبطة بهما.

الشكل 5: أ) لقطة. ب) مسارات الكرتين

دراجة نارية ترفع العجلة الأمامية

إذا كان تسارع نظام ذي عجلتين، كالدراجة النارية مثلاً، كافياً للتغلب على قوة الجاذبية وإبقاء إحدى العجلات على الأرض، فإنه يستطيع القيام بمناورة تُسمى " رفع العجلة الأمامية" . يوضح الشكل 6 بعض اللقطات من محاكاة.

الشكل 6: عجلة دراجة نارية

حركة لعبة نقار الخشب

تُعدّ لعبة نقار الخشب مثالًا مرجعيًا معروفًا في ديناميكيات التلامس. تتكون اللعبة من عمود، وغلاف به ثقب أكبر قليلًا من قطر العمود، ونابض، وجسم نقار الخشب. أثناء التشغيل، يتحرك نقار الخشب على طول العمود مُنفذًا حركة تأرجح، يتحكم بها الغلاف. يوضح الشكل 7 بعض اللقطات من محاكاة اللعبة.

الشكل 7: محاكاة لعبة نقار الخشب

يمكن العثور على محاكاة وتصور على الرابط التالي: https://github.com/gabyx/Woodpecker .

انظر أيضاً

مراجع

للمزيد من القراءة

  • أكاري ف. وبروغلياتو، ب. الطرق العددية للأنظمة الديناميكية غير الملساء. تطبيقات في الميكانيكا والإلكترونيات. سبرينغر فيرلاغ، LNACM 35، هايدلبرغ، 2008.
  • بروغلياتو ب. الميكانيكا غير الملساء. النماذج والديناميكا والتحكم سلسلة هندسة الاتصالات والتحكم سبرينغر-فيرلاغ، لندن، 2016 (الطبعة الثالثة).
  • درامرايت، إي. وشيل، د. نمذجة الاحتكاك التلامسي واحتكاك المفاصل في محاكاة الروبوتات الديناميكية باستخدام مبدأ التبديد الأقصى. سلسلة سبرينغر في الروبوتات المتقدمة: الأسس الخوارزمية للروبوتات 9 ، 2010
  • غلوكر، ش. Dynamik von Starrkoerpersystemen mit Reibung und Stoessen ، المجلد 18/182 من VDI Fortschrittsberichte Mechanik/Bruchmechanik. VDI Verlag، دوسلدورف، 1995
  • غلوكر، تش. وستودر، سي. صياغة وإعداد التقييم العددي لأنظمة التكامل الخطي. ديناميكيات الأنظمة متعددة الأجسام 13(4): 447-463، 2005
  • جان م. طريقة ديناميكيات التلامس غير الملساء. أساليب الحاسوب في الميكانيكا التطبيقية والهندسة 177(3-4):235-257، 1999
  • مورو، جيه جيه. التلامس أحادي الجانب والاحتكاك الجاف في ديناميكيات الحرية المحدودة، المجلد 302 من سلسلة الميكانيكا غير الملساء وتطبيقاتها، دورات ومحاضرات CISM . سبرينغر، فيينا، 1988
  • فايفر إف، فورغ إم، وأولبريش إتش. الجوانب العددية لديناميكيات الأجسام المتعددة غير الملساء. أساليب الحوسبة في الهندسة الميكانيكية التطبيقية 195(50-51):6891-6908، 2006
  • بوترا، ف. أ.، أنيتيسكو، م.، جافريا، ب.، وترينكل، ج. طريقة شبه منحرفة ضمنية خطية لدمج ديناميكيات الأجسام المتعددة الصلبة مع التلامس والمفاصل والاحتكاك. المجلة الدولية للأساليب العددية في الهندسة 66(7): 1079-1124، 2006
  • ستيوارت دي إي وترينكل جيه سي. مخطط ضمني للخطوات الزمنية لديناميكيات الأجسام الصلبة مع التصادمات غير المرنة والاحتكاك الكولومبي. المجلة الدولية للأساليب العددية في الهندسة 39(15):2673-2691، 1996
  • ستودر سي. التكامل الزمني المعزز للأنظمة الديناميكية غير الملساء ، أطروحة دكتوراه، المعهد الفدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ، مجموعة ETH الإلكترونية، ستصدر عام 2008
  • ستودر سي. الحسابات العددية للتلامسات أحادية الجانب والاحتكاك - النمذجة والتكامل الزمني العددي في الديناميكيات غير الملساء ، سلسلة محاضرات في الميكانيكا التطبيقية والحسابية، المجلد 47، سبرينغر، برلين، هايدلبرغ، 2009