المجموعة النقطية البلورية

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 66 صور
الموسوعة الحرة

في علم البلورات ، تُعرف المجموعة النقطية البلورية بأنها مجموعة نقطية ثلاثية الأبعاد تتوافق عمليات تناظرها مع التناظر الانتقالي للشبكات البلورية ثلاثية الأبعاد . ووفقًا للقيود البلورية، قد تحتوي هذه المجموعة على دورانات أو انعكاسات دورانية أحادية، أو ثنائية، أو ثلاثية، أو رباعية، أو سداسية فقط (مع ملاحظة أن مراكز الانعكاس ومستويات المرآة تُعتبر عمليات مكافئة للانعكاسات الدورانية الأحادية والثنائية). هذا يُقلل عدد المجموعات النقطية البلورية إلى 32 مجموعة (من عدد لا نهائي من المجموعات النقطية العامة). هذه المجموعات الـ 32 هي نفسها أنواع التناظرات البلورية المورفولوجية (الخارجية) الـ 32 التي استنتجها يوهان فريدريش كريستيان هيسل عام 1830 من خلال دراسة الأشكال البلورية المرصودة. وفي عام 1867، اكتشف أكسل غادولين ، الذي لم يكن على دراية بعمل هيسل السابق، المجموعات النقطية البلورية بشكل مستقل باستخدام الإسقاط المجسم لتمثيل عناصر التناظر لهذه المجموعات الـ 32. [ 1 ] : 379

في تصنيف البلورات، تُربط بكل مجموعة فراغية مجموعة نقطية بلورية عن طريق "تجاهل" المكونات الانتقالية لعمليات التناظر، أي بتحويل الدورانات اللولبية إلى دورانات، والانعكاسات الانزلاقية إلى انعكاسات، ونقل جميع عناصر التناظر إلى نقطة الأصل. وتحدد كل مجموعة نقطية بلورية الفئة البلورية (الهندسية) للبلورة.

تحدد المجموعة النقطية للبلورة، من بين أمور أخرى، التغير الاتجاهي للخصائص الفيزيائية التي تنشأ من بنيتها، بما في ذلك الخصائص البصرية مثل الانكسار المزدوج ، أو الخصائص الكهروضوئية مثل تأثير بوكلز .

الترميز

تُسمى المجموعات النقطية وفقًا لتناظراتها المكونة لها. وهناك العديد من الرموز القياسية التي يستخدمها علماء البلورات وعلماء المعادن والفيزيائيون .

للاطلاع على تطابق النظامين أدناه، انظر النظام البلوري .

تدوين شونفليس

في ترميز شونفليس ، يُرمز إلى المجموعات النقطية برمز حرفي متبوع برقم سفلي. وتعني الرموز المستخدمة في علم البلورات ما يلي:

  • يشير الرمز C n (اختصارًا لـ cyclic ) إلى أن المجموعة لها محور دوران من الرتبة n . أما C nh فهو C n مضافًا إليه مستوى انعكاس عمودي على محور الدوران . بينما C nv فهو C n مضافًا إليه n مستوى انعكاس موازٍ لمحور الدوران.
  • S 2n (اختصارًا لـ Spiegel ، وهي كلمة ألمانية تعني المرآة ) تشير إلى مجموعة تحتوي فقط على محور دوران-انعكاس من الدرجة 2n .
  • يشير D n (اختصارًا لـ dihedral أو ثنائي الجوانب) إلى أن المجموعة تحتوي على محور دوران من الرتبة n بالإضافة إلى n محاور تناظر ثنائية عمودية على هذا المحور. ويحتوي D nh ، بالإضافة إلى ذلك، على مستوى انعكاس عمودي على محور الدوران من الرتبة n . ويحتوي D nd ، بالإضافة إلى عناصر D n ، على مستويات انعكاس موازية لمحور الدوران من الرتبة n .
  • يشير الحرف T (اختصارًا لـ "الهرم الرباعي ") إلى أن المجموعة تتمتع بتناظر الهرم الرباعي. يشمل T d عمليات الدوران غير الصحيحة ، بينما يستثني T عمليات الدوران غير الصحيحة، و T h هو T مع إضافة عملية انعكاس.
  • يشير الحرف O (للمجسم الثماني الأوجه ) إلى أن المجموعة لها تناظر المجسم الثماني الأوجه، مع ( O h ) أو بدون ( O ) عمليات غير مناسبة (تلك التي تغير اليد).

بسبب نظرية التقييد البلوري ، فإن n = 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 6 في الفضاء ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد.

ن12346
سي إنج 1ج 2ج 3ج 4ج 6
سي إن فيC 1v = C 1hC 2vC 3vC 4vC 6 فولت
سي إن إتشج 1 ساعةC 2hج 3 ساعاتج 4 ساعاتج 6 ساعات
د نD 1 = C 2د 2د 3د 4د 6
D nhD 1h = C 2vD 2hD 3 ساعاتD 4hD 6 ساعات
د ندD 1d = C 2hD 2dD 3dD 4dد 6د
S 2nS 2S 4S 6S 8S 12

تُعتبر المجموعتان D 4d و D 6d ممنوعتين فعلياً لاحتوائهما على دورانات غير صحيحة بقيمة n تساوي 8 و 12 على التوالي. تُشكل المجموعات النقطية الـ 27 المذكورة في الجدول، بالإضافة إلى T و T d و T h و O و O h ، 32 مجموعة نقطية بلورية.

تدوين هيرمان-ماوجين

يُستخدم شكل مختصر من ترميز هيرمان-ماوجين، الشائع استخدامه للمجموعات الفراغية، لوصف المجموعات النقطية البلورية أيضًا. أسماء المجموعات هي

عائلة الكريستالالنظام البلوريأسماء المجموعات
مكعب23م 34324 3مم 3 م
سداسيسداسي666 / م6226 مم6 م26/ممم
ثلاثي الزوايا33323 أمتار3 أمتار
رباعي الزوايا444 / م4224 مم4 2 متر4/ممم
معيني قائم222مم2ممم
عيادة أحادية22 / مم
عيادة ثلاثية الانحناء11

التوافق بين الرموز المختلفة

عائلة الكريستالالنظام البلوريهيرمان-ماوجينشوبنيكوف [ 2 ]الذبابأوربيفولدكوكسيترطلب
(ممتلىء)(قصير)
عيادة ثلاثية الانحناء111 {\displaystyle 1\ }ج 111[  ] +1
112~{\displaystyle {\tilde {2}}}C i = S 2×[2 + ,2 + ]2
عيادة أحادية222 {\displaystyle 2\ }ج 222[2] +2
ممم {\displaystyle m\ }C s = C 1h*[  ]2
2م{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}2/م2:م {\displaystyle 2:m\ }C 2h2*[2,2 + ]4
معيني قائم2222222:2 {\displaystyle 2:2\ }D 2 = V222[2,2] +4
مم2مم22⋅م {\displaystyle 2\cdot m\ }C 2v*22[2]4
2م2م2م{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}مممم⋅2:م {\displaystyle m\cdot 2:m\ }D 2h = V h*222[2,2]8
رباعي الزوايا444 {\displaystyle 4\ }ج 444[4] +4
444~{\displaystyle {\tilde {4}}}S 42×[2 + ،4 + ]4
4م{\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}4/م4:م {\displaystyle 4:m\ }ج 4 ساعات4*[2,4 + ]8
4224224:2 {\displaystyle 4:2\ }د 4422[4,2] +8
4 مم4 مم4⋅م {\displaystyle 4\cdot m\ }C 4v*44[4]8
4 2 متر4 2 متر4~⋅م{\displaystyle {\tilde {4}}\cdot m}D 2d = V d2*2[2 + ,4]8
4م2م2م{\displaystyle {\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}4/مممم⋅4:م {\displaystyle m\cdot 4:m\ }D 4h*422[4,2]16
سداسيثلاثي الزوايا333 {\displaystyle 3\ }ج 333[3] +3
336~{\displaystyle {\tilde {6}}}C 3i = S 63×[2 + ,6 + ]6
32323:2 {\displaystyle 3:2\ }د 3322[3,2] +6
3 أمتار3 أمتار3⋅م {\displaystyle 3\cdot m\ }C 3v*33[3]6
32م{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}3 أمتار6~⋅م{\displaystyle {\tilde {6}}\cdot m}D 3d2*3[2 + ,6]12
سداسي666 {\displaystyle 6\ }ج 666[6] +6
663:م {\displaystyle 3:m\ }ج 3 ساعات3*[2,3 + ]6
6م{\displaystyle {\tfrac {6}{m}}}6/م6:م {\displaystyle 6:m\ }ج 6 ساعات6*[2,6 + ]12
6226226:2 {\displaystyle 6:2\ }د 6622[6,2] +12
6 مم6 مم6⋅م {\displaystyle 6\cdot m\ }C 6 فولت*66[6]12
6 م26 م2م⋅3:م {\displaystyle m\cdot 3:m\ }D 3 ساعات*322[3,2]12
6م2م2م{\displaystyle {\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}6/مممم⋅6:م {\displaystyle m\cdot 6:m\ }D 6 ساعات*622[6,2]24
مكعب23233/2 {\displaystyle 3/2\ }تي332[3,3] +12
2م{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}3م 36~/2{\displaystyle {\tilde {6}}/2}ذ​3*2[3 + ,4]24
4324323/4 {\displaystyle 3/4\ }يا432[4,3] +24
4 3م4 3م3/4~{\displaystyle 3/{\tilde {4}}}تي دي*332[3,3]24
4م{\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}32م{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}م 3 م6~/4{\displaystyle {\tilde {6}}/4}أوه​*432[4,3]48

التمثيلات البيانية

جدول يعرض الإسقاطات المجسمة لـ 32 مجموعة نقطية بلورية، مُرتبة حسب النظام البلوري ومحور الدوران الرئيسي والتناظرات الإضافية. يُشار إلى المجموعة برمز شونفليس في أسفل اليسار، بينما يُشار إلى المجموعة برمز هيرمان-ماوجين في أسفل اليمين. تُسمى مجموعات لاوي في أعلى يمين كل خلية. تحتوي المجموعات النقطية المكعبة على خطوط إضافية تُشير إلى دوائر عظمى لتسهيل الرؤية.

من الشائع عرض مجموعات النقاط بيانيًا لتطوير فهم بديهي لتناظرها. تُستخدم عادةً الإسقاطات المجسمة لأنها تحافظ على العلاقات الزاوية. يمكن إنشاء نوعين من الإسقاطات. النوع الأول، الموضح هنا، هو إسقاط لعناصر التناظر، لعرض علاقاتها الزاوية بالنسبة لبعضها البعض. في هذه الحالة، يُمثل كل عنصر تناظر برمز موضح في الجدول أدناه. تُستخدم خطوط رفيعة لتحديد كرة الإسقاط المجسم، ومحاور الدوران أو الانعكاس الدوراني حيث لا تتقاطع مع مستوى المرآة. تُمثل مستويات المرآة بخطوط سميكة. أما النوع الثاني من الإسقاط، فهو إسقاط لنقطة عامة، وجميع النقاط الإضافية المتولدة من تلك النقطة الأولية باستخدام عناصر التناظر لمجموعة النقاط. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

عنصر التناظرالتمثيل البياني
2
3
4
6
1 =i
2 = ممستوى المرآة داخل الصفحة

يتم تحديد مستويات المرآة خارج الصفحة بخطوط سميكة

3
4
6

التشاكلات

يُقال إن مجموعتين متماثلتان إذا وُجد بينهما تطبيق تقابلي وتماثلي . بمعنى آخر، يكفي إعادة تسمية عناصر إحدى المجموعتين بعناصر المجموعة الأخرى بالطريقة الصحيحة للحصول على المجموعة الثانية، والعكس صحيح. تشترك العديد من مجموعات النقاط البلورية في نفس البنية الداخلية بهذا المعنى. على سبيل المثال، تحتوي مجموعات النقاط 1 و 2 وm على عمليات تناظر هندسي مختلفة (الانعكاس، والدوران، والانعكاس، على التوالي)، لكنها جميعًا تشترك في بنية المجموعة الدورية C2 . جميع المجموعات المتماثلة من نفس الرتبة ، ولكن ليس كل مجموعة من نفس الرتبة متماثلة. يوضح الجدول التالي مجموعات النقاط المتماثلة: [ 6 ]

هيرمان-ماوجينالذبابطلبمجموعة الملخصات
1ج 11ج 1جي11{\displaystyle G_{1}^{1}}
1C i = S 22ج 2جي21{\displaystyle G_{2}^{1}}
2ج 22
مC s = C 1h2
3ج 33ج 3جي31{\displaystyle G_{3}^{1}}
4ج 44ج 4جي41{\displaystyle G_{4}^{1}}
4S 44
2/م C 2h4D 2 = C 2 × C 2جي42{\displaystyle G_{4}^{2}}
 222D 2 = V4
مم2C 2v 4
3C 3i = S 66ج 6جي61{\displaystyle G_{6}^{1}}
6ج 66
6ج 3 ساعات6
32د 36د 3جي62{\displaystyle G_{6}^{2}}
3 أمتارC 3v6
مممD 2h = V h8D 2 × C 2جي83{\displaystyle G_{8}^{3}}
 4/مج 4 ساعات8C 4 × C 2جي82{\displaystyle G_{8}^{2}}
422د 48د 4جي84{\displaystyle G_{8}^{4}}
4 ممC 4v8
4 2 مترD 2d = V d8
6/مج 6 ساعات12C 6 × C 2جي122{\displaystyle G_{12}^{2}}
23تي12أ 4جي125{\displaystyle G_{12}^{5}}
3 أمتارD 3d12د 6جي123{\displaystyle G_{12}^{3}}
622د 612
6 ممC 6 فولت12
6 م2D 3 ساعات12
4/مممD 4h16D 4 × C 2جي169{\displaystyle G_{16}^{9}}
6/مممD 6 ساعات24D 6 × C 2جي245{\displaystyle G_{24}^{5}}
م 3ذ​24A 4 × C 2جي2410{\displaystyle G_{24}^{10}}
432يا  24S 4جي247{\displaystyle G_{24}^{7}}
4 3متي دي24
م 3 مأوه​48S 4 × C 2جي487{\displaystyle G_{48}^{7}}

يستخدم هذا الجدول المجموعات الحلقية (C1 ، C2 ، C3 ، C4 ، C6 ) ، والمجموعات ثنائية السطوح (D2 ، D3 ، D4 ، D6 ) ، وإحدى المجموعات المتناوبة (A4 ) ، وإحدى المجموعات المتناظرة (S4 ) . يشير الرمز "×" هنا إلى الضرب المباشر .

اشتقاق المجموعة النقطية البلورية (فئة البلورة) من المجموعة الفراغية

  1. استبعد نوع شبكة برافي .
  2. حوّل جميع عناصر التناظر ذات المكونات الانتقالية إلى عناصر التناظر المقابلة لها التي لا تحتوي على تناظر انتقالي. (تُحوّل مستويات الانزلاق إلى مستويات انعكاس بسيطة؛ وتُحوّل محاور الدوران إلى محاور دوران بسيطة.)
  3. تبقى محاور الدوران، ومحاور الدوران العكسي ، ومستويات المرآة دون تغيير.

التناظر في فهم خصائص البلورات

يمكن أن يكون لتناظر المادة تأثيرات عميقة على الخصائص التي يُسمح للبلورة بإظهارها. وتُلخص هذه التأثيرات في مبدأ فون نيومان [ 7 ] ، وبشكل أعم في قوانين كوري [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] . تنص هذه القوانين على أن تناظر الخصائص الفيزيائية للبلورة يجب أن يكون على الأقل بنفس تناظر البلورة نفسها. ومن الأمثلة الشائعة على ذلك الكهروإجهادية والكهروحرارية . تُولد هاتان الخاصيتان ثنائي قطب كهربائي في البلورة تحت تأثير الإجهاد أو التغيرات الحرارية. ثنائي القطب الكهربائي اتجاهي، وبالتالي لا يمكن أن يوجد في البلورات ذات التناظر الانعكاسي. ومع ذلك، فإن العكس ليس صحيحًا. فالبلورات التي لا تتمتع بتناظر انعكاسي لا تُظهر بالضرورة الكهروإجهادية أو الكهروحرارية.

التناظر في البلورات المتعددة

تحتوي البلورات المتعددة على العديد من البلورات الصغيرة ذات التوجهات المختلفة. في الحالة المثالية، مع وجود عدد كافٍ من البلورات الصغيرة في عينة كبيرة بما يكفي، يُمثَّل كل توجه، مما يؤدي إلى مادة متجانسة الخواص تقريبًا . في الواقع، يسمح هذا للبلورة المتعددة بإظهار خصائص ذات تناظر أعلى من البلورات الفردية المكونة لها. على سبيل المثال، ستُظهر البلورة المتعددة المثالية أو البلورات الكهروحرارية ثنائيات أقطاب كهربائية في كل اتجاه، والتي تلغي بعضها بعضًا، مما يُعطي البلورة المتعددة استقطابًا صافيًا صفريًا.

يُتيح لنا امتداد مجموعات النقاط البلورية، المعروفة بمجموعات كوري، وصف تناظر البلورة المتعددة من خلال تناظر اتجاهات كل بلورة. في البلورة المتعددة المثالية، يكون كل اتجاه متطابقًا، ويمكن اعتبارها ذات تناظر دوراني لانهائي في جميع الاتجاهات، يُرمز له بـ ∞∞، والذي يُمثل محوري دوران متعامدين. ينتج عن ذلك مجموعتان: ∞∞ إذا كانت البلورة المتعددة ذات كيرالية صافية، و∞∞m إذا لم تكن ذات كيرالية صافية. يمكن اشتقاق مجموعات كوري المتبقية من التناظرات المثالية باستخدام مبدأ كوري . [ 11 ] [ 9 ] [ 10 ] ينص مبدأ كوري على أن تناظر البلورة (أو البلورة المتعددة) تحت تأثير مُؤثر ما هو تقاطع تناظر المُؤثر مع تناظر البلورة (أو البلورة المتعددة). فيما يلي جدول يعرض مجموعات كوري السبع بالإضافة إلى mmm و 222 الناتجة عن بلورة متعددة مثالية تعرضت لمحفزات مختلفة من أجل توليد تناظرات مختلفة.

المحفز/الملمسالتحفيز الخارجيغير متناظركيرال
متعدد البلورات مثالي/غير مثاليغير متوفر∞∞م∞∞
نسيج محوري/ليفيالإجهاد الشدّي (∞/مم)∞/مم∞2
نسيج ثنائي المحور/صفائحيإجهاد القص (الدوران (مممم))ممم222
متجه/ (غير متوفر)المجال الكهربائي (∞ متر)∞ متر∞
متجه زائف / (غير متوفر)المجال المغناطيسي (∞/م)∞/م

يُعدّ توسيع نطاق التناظر ليشمل البلورات المتعددة ذا قيمة كبيرة في مجال التصنيع، إذ يسمح بإنتاج عينات من البلورات المتعددة ذات خصائص تناظر منخفضة، بدلاً من الحاجة إلى بلورات أحادية نقية. إضافةً إلى ذلك، يُتيح هذا التوسع توجيه الخصائص من خلال عملية التصنيع بدلاً من التوجيه الدقيق للبلورة الأحادية. على سبيل المثال، عند الحاجة إلى مادة كهروحرارية، يُمكن تصنيع بلورة متعددة من مادة مناسبة، ثم تعريضها لمجال كهربائي قوي لإعادة توجيه ثنائيات أقطاب كل بلورة صغيرة مع اتجاه هذا المجال. عندئذٍ، تُظهر البلورة المتعددة الناتجة خاصية الكهروحرارية في اتجاه المجال الكهربائي المُطبّق.

المجموعات النقطية المغناطيسية

تُظهر بعض خصائص المواد، كالمغناطيسية، شكلاً إضافياً من التناظر يُعرف عادةً بالتناظر المضاد، أو التناظر المغناطيسي، أو تناظر انعكاس الزمن، أو التناظر ثنائي اللون . يُقلب هذا التناظر الجديد حالةً ثنائية، كالدوران المغزلي، ويرتبط بعناصر تناظر أخرى. وبغض النظر عن الخاصية قيد الدراسة، تُمثَّل الحالة الثنائية عند نقطة معينة عادةً بنقطة سوداء أو بيضاء، ومن هنا جاء اسم "التناظر ثنائي اللون".

مثال:

يعتبر النموذج الكلاسيكي للمغناطيسية دوران الإلكترونات بمثابة حلقات تيار تولد ثنائي قطب مغناطيسي، يمكن تمثيله كمتجه زائف . إذا أثرت مرآة عمودية على ثنائي القطب على حلقة التيار (الدوران)، فإنها تبقى في حالتها الأصلية، مما يؤدي إلى نفس ثنائي القطب. أما إذا أثرت مرآة موازية لثنائي القطب، فإن حلقة التيار (الدوران) تنقلب، مما يؤدي إلى ثنائي قطب معاكس. في كلتا الحالتين، يمكن إضافة خاصية التناظر العكسي إلى مستوى المرآة. يبقى التأثير المكاني للمرآة دون تغيير، لكن تأثيرها على الحالة الثنائية ينعكس؛ أي، إذا كانت المرآة العادية تعكس الدوران، فإن المرآة المتناظرة عكسيًا لا تفعل ذلك.

بإضافة خاصية التناظر العكسي إلى مجموعات النقاط البلورية، يتم توليد 122 مجموعة مغناطيسية. من بين هذه المجموعات، 32 مجموعة هي مجموعات النقاط البلورية الأصلية، و32 مجموعة أخرى تُعرف بالمجموعات الرمادية، حيث تتداخل حالتا الخاصية السوداء والبيضاء عند نفس النقاط. أما المجموعات الـ 58 المتبقية، فهي قادرة على إظهار خصائص ثنائية اللون، مثل المغناطيسية. [ 12 ] [ 13 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أوتييه، أندريه (2015). "12. نشأة مفهوم الشبكة الفراغية وتطوره". الأيام الأولى لعلم البلورات بالأشعة السينية . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. doi : 10.1093/acprof:oso/9780199659845.003.0012 . ISBN 9780198754053تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 ديسمبر 2024 .
  2. ↑ "(الجداول الدولية) ملخص" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25-11-2011 .{{cite web}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
  3. ↑ روهر، غريغوري س. (2001). البنية والترابط في المواد البلورية . كامبريدج، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-511-15333-4.
  4. ↑ الجداول الدولية لعلم البلورات . doi : 10.1107/97809553602060000001 . ISBN 978-1-4020-4969-9.
  5. ↑ الجداول الدولية لعلم البلورات بالأشعة السينية (ملف PDF) (الطبعة الثالثة ). مطبعة كينوش. 1969. 
  6. ↑ نوفاك، آي (18 يوليو 1995). "التماثل الجزيئي". المجلة الأوروبية للفيزياء . 16 (4). دار نشر IOP: 151-153 . Bibcode : 1995EJPh...16..151N . doi : 10.1088/0143-0807/16/4/001 . ISSN 0143-0807 . S2CID 250887121 .  
  7. ↑ "مبدأ نيومان من القاموس الإلكتروني لعلم البلورات" . 16 نوفمبر 2017.
  8. ↑ "قوانين كوري من قاموس علم البلورات على الإنترنت" . 9 نوفمبر 2017.
  9. 1 2 كوري، ص. (1894). "Sur la Symétrie dans les phénomènes physiques، Symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique" . مجلة Physique Théorique et Appliquée (باللغة الفرنسية). 3 (1): 393–415 . دوى : 10.1051/jphystap:018940030039300 . ردمك 0368-3893 . 
  10. 1 2 كوري، بيير؛ تعليق)، أندريه زيوكوفسكي (ترجمة و(2024-09-11). "حول التناظر في الظواهر الفيزيائية، تناظر المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي" . Studia Historiae Scientiarum . 23 : 23–67 . doi : 10.4467/2543702XSHS.24.002.19575 . ISSN 2543-702X . 
  11. ↑ هان، ث.؛ كلابر، هـ.؛ مولر، يو.؛ أرويو، إم. آي. (31-12-2016)، مجموعات النقاط وفئات البلورات ، ص 720-776 ، doi : 10.1107/97809553602060000930 ، تاريخ الاسترجاع : 16-12-2025 
  12. ↑ ليتفين، د.ب.، محرر. (أبريل 2013). جداول المجموعات المغناطيسية: المجموعات الفرعية الدورية المغناطيسية أحادية وثنائية وثلاثية الأبعاد، والمجموعات الفراغية المغناطيسية . تشيستر، إنجلترا: الاتحاد الدولي لعلم البلورات. doi : 10.1107/9780955360220001 . ISBN 978-0-9553602-2-0.
  13. ↑ دي غراف، مارك (2009). تدريس تناظر المجموعة النقطية البلورية والمغناطيسية باستخدام التصورات ثلاثية الأبعاد (PDF) .
  • رموز المجموعات النقطية في الجداول الدولية لعلم البلورات (2006). المجلد أ، الفصل 12.1، الصفحات 818-820
  • أسماء ورموز فئات البلورات الـ 32 في الجداول الدولية لعلم البلورات (2006). المجلد أ، الفصل 10.1، صفحة 794
  • نظرة عامة مصورة على المجموعات الـ 32
  • كوستوف، RI 2024. جدول ألوان لفئات التناظر الـ 32 مع إحصائيات المعادن ضمن الأنظمة البلورية. – التناظر: الثقافة والعلم (مهرجان التناظر 2024، 17-20 يوليو 2024، بيزا، إيطاليا. "التناظر المائل". وقائع المؤتمر؛ تحرير س. برازيلي، ج. جيليس)، مجلد واحد، 91-94. https://doi.org/10.26830/symmetryfestival2024_24