مشتق

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 25 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ المشتقات إطارًا مقترحًا [ 1 ] [ 2 ] (ص 190-195) للجبر التماثلي، مما يُرسي أساسًا لكلٍّ من الجبر التماثلي الأبلي وغير الأبلي، بالإضافة إلى تعميماتٍ مختلفةٍ له. وقد طُرحت لمعالجة أوجه القصور في الفئات المشتقة (مثل عدم دالية بناء المخروط)، وتوفير لغةٍ للجبر التماثلي في الوقت نفسه .

قدّم ألكسندر غروتينديك مفهوم المشتقات لأول مرة في مخطوطته غير المنشورة منذ فترة طويلة بعنوان " ملاحقة الأكوام" (Pursuing Stacks ) عام 1983. ثم قام بتطويره لاحقًا في مخطوطته الضخمة غير المنشورة عام 1991 بعنوان " المشتقات" (Les Dérivateurs ) التي تتألف من حوالي 2000 صفحة. وقد قدّم أليكس هيلر المفهوم نفسه تقريبًا (بشكل مستقل على ما يبدو). [ 3 ]

قام جورج مالتسينوتيس بتحرير المخطوطة للنشر الإلكتروني. وقد طوّر هذه النظرية عدد من الأشخاص الآخرين، بمن فيهم هيلر وفرانك وكيلر وغروث.

الدوافع

أحد الأسباب المحفزة للنظر في المشتقات هو غياب الخاصية الوظيفية في بناء المخروط مع الفئات المثلثية . تستطيع المشتقات حل هذه المشكلة، وحل مشكلة تضمين النهايات المشتركة للتماثل العام ، من خلال تتبع جميع المخططات الممكنة في فئة ذات تكافؤات ضعيفة وعلاقاتها المتبادلة. بشكل استدلالي، بالنظر إلى المخطط

∙→∙{\displaystyle \bullet \to \bullet }

وهي فئة تحتوي على كائنين وسهم واحد غير محايد، ودالة.

F:(∙→∙)→أ{\displaystyle F:(\bullet \to \bullet )\to A}

إلى فئةأ{\displaystyle A}مع فئة من التكافؤات الضعيفةدبليو{\displaystyle W}(وإذا تحققت الفرضيات الصحيحة)، ينبغي أن يكون لدينا دالة مرتبطة.

ج(F):∙→أ[دبليو-1]{\displaystyle C(F):\bullet \to A[W^{-1}]}

حيث يكون الكائن المستهدف فريدًا حتى التكافؤ الضعيف فيأ[دبليو-1]{\displaystyle A[W^{-1}]}. المشتقات قادرة على ترميز هذا النوع من المعلومات وتوفير حساب تخطيطي لاستخدامه في الفئات المشتقة ونظرية التماثل.

تعريف

المشتقات

رسميًا، مشتق مسبقد{\displaystyle \mathbb {D} }دالة ثنائية

د:الصناعةoص→قطة{\displaystyle \mathbb {D} :{\text{Ind}}^{op}\to {\text{CAT}}}

من فئة ثنائية مناسبة من المؤشرات إلى فئة الفئات. عادةً ما تأتي هذه الدوال الثنائية من خلال النظر في الفئاتهوم_(أناoص،أ){\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)}أينأ{\displaystyle A}يُطلق عليها فئة المعاملات . على سبيل المثال،الصناعة{\displaystyle {\text{Ind}}}قد تكون هذه الفئة هي فئة الفئات الصغيرة التي يتم ترشيحها، والتي يمكن اعتبار عناصرها بمثابة مجموعات فهرسة لنهاية مشتركة مُرشّحة . ثم، بالنظر إلى تشاكل المخططات

و:أنا→ج{\displaystyle f:I\to J}

دلو*{\displaystyle f^{*}}بواسطة

و*:د(ج)→د(أنا){\displaystyle f^{*}:\mathbb {D} (J)\to \mathbb {D} (I)}

يُطلق على هذا اسم دالة الصورة العكسية . في المثال التوضيحي، هذا مجرد تركيب مسبق، لذا بالنظر إلى دالةFأنا∈هوم_(أناoص،أ){\displaystyle F_{I}\in {\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)}يوجد دالة مرتبطةFج=Fأنا∘و{\displaystyle F_{J}=F_{I}\circ f}لاحظ أن هذه الدوال الثنائية يمكن اعتبارها

هوم_(-،أ[دبليو-1]){\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}(-,A[W^{-1}])}

أيندبليو{\displaystyle W}تُعدّ فئة مناسبة من التكافؤات الضعيفة في فئةأ{\displaystyle A}.

فئات الفهرسة

توجد أمثلة عديدة على فئات الفهرسة التي يمكن استخدامها في هذا البناء

  • الفئة الثانيةفينكات{\displaystyle {\text{FinCat}}}من الفئات المحدودة، لذا فإن الكائنات هي فئات تكون مجموعات الكائنات الخاصة بها مجموعات محدودة.
  • الفئة الترتيبيةΔ{\displaystyle \Delta }يمكن تصنيفها إلى فئتين، حيث تكون الكائنات عبارة عن فئات تحتوي على كائن واحد، وتأتي الدوال من الأسهم في الفئة الترتيبية.
  • خيار آخر هو استخدام فئة الفئات الصغيرة فقط.
  • بالإضافة إلى ذلك، المرتبطة بأي فضاء طوبولوجيX{\displaystyle X}هي فئةيفتح(X){\displaystyle {\text{Open}}(X)}والتي يمكن استخدامها كفئة فهرسة.
  • علاوة على ذلك، فإن المواقع التي تقع تحت طوبوي زاريسكي ، وإيتال ، وغيرهما، وغروتينديك(X)τ{\displaystyle (X)_{\tau }}لبعض المخططات أو الفضاء الجبريX{\displaystyle X}إلى جانب التشكلات الخاصة بها، يمكن استخدامها لفئة الفهرسة
  • يمكن تعميم ذلك على أي نوع من أنواع التضاريستي{\displaystyle T}لذا فإن فئة الفهرسة هي الموقع الأساسي.

المشتقات

تُعتبر المشتقات إذًا بمثابة بديهيات للمشتقات الأولية التي تأتي مزودة بالدوال المرافقة.

و؟⊣و!⊣و*⊣و*⊣و!{\displaystyle f^{?}\dashv f_{!}\dashv f^{*}\dashv f_{*}\dashv f^{!}}

أينو!{\displaystyle f_{!}}يُترك مجاورًا لـو*{\displaystyle f^{*}}وهكذا دواليك. بشكل استدلالي،و*{\displaystyle f_{*}}ينبغي أن تتوافق مع النهايات العكسية،و!{\displaystyle f_{!}}إلى الحدود المشتركة.

مراجع

  1. ↑ غروتينديك. "المشتقون" . مؤرشف من الأصل في 20-11-2014.
  2. ↑ غروتينديك. "ملاحقة المكدسات" . thescrivener.github.io . مؤرشف (PDF) من الأصل في 30 يوليو 2020. تم الاسترجاع في 17 سبتمبر 2020 .
  3. ↑ هيلر 1988 .

فهرس