محرك الفرق

Charles Babbage began to construct a small difference engine in c.1819^[4] and had completed it by 1822 (Difference Engine 0).^[5] He announced his invention on 14 June 1822, in a paper to the Royal Astronomical Society, entitled "Note on the application of machinery to the computation of astronomical and mathematical tables".^[6] This machine used the decimal number system and was powered by cranking a handle. The British government was interested, since producing tables was time-consuming and expensive and they hoped the difference engine would make the task more economical.^[7]

In 1823, the British government gave Babbage £1700 to start work on the project. Although Babbage's design was feasible, the metalworking techniques of the era could not economically make parts in the precision and quantity required. Thus the implementation proved to be much more expensive and doubtful of success than the government's initial estimate. According to the 1830 design for Difference Engine No. 1, it would have about 25,000 parts, weigh 4 tons,^[8] and operate on 20-digit numbers by sixth-order differences. In 1832, Babbage and Joseph Clement produced a small working model (one-seventh of the plan),^[5] which operated on 6-digit numbers by second-order differences.^[9][10]Lady Byron described seeing the working prototype in 1833: "We both went to see the thinking machine (or so it seems) last Monday. It raised several Nos. to the 2nd and 3rd powers, and extracted the root of a Quadratic equation."^[11] Lady Byron's daughter Ada Lovelace would later become fascinated with and work on creating the first computer program intended to solve Bernoulli's equation utilizing the difference engine. Work on the larger engine was suspended in 1833.

بحلول الوقت الذي تخلت فيه الحكومة عن المشروع عام ١٨٤٢، ^{[ ١٠ ] [ ١٢ ]} كان باباج قد تلقى وأنفق أكثر من ١٧٠٠٠ جنيه إسترليني على التطوير، وهو ما لم يُؤدِّ إلى إنتاج محرك عامل. لم تُقدِّر الحكومة سوى مُخرَج الآلة (الجداول المُنتَجة اقتصاديًا)، وليس تطوير الآلة نفسها (بتكلفة غير مُتوقَّعة). رفض باباج الاعتراف بهذا المأزق. ^{[ ٧ ]} في هذه الأثناء، تحوَّل اهتمام باباج إلى تطوير محرك تحليلي ، مما زاد من تقويض ثقة الحكومة في النجاح النهائي لمحرك الفروق. من خلال تحسين المفهوم كمحرك تحليلي، جعل باباج مفهوم محرك الفروق عتيقًا، وجعل مشروع تنفيذه فاشلاً تمامًا في نظر الحكومة. ^{[ ٧ ]}

تم عرض محرك الفرق غير المكتمل رقم 1 للجمهور في المعرض الدولي لعام 1862 في ساوث كنسينغتون ، لندن. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

واصل باباج تصميم محركه التحليلي الأكثر عمومية، ثم صمم لاحقًا تصميمًا مُحسَّنًا لـ"محرك الفروق رقم 2" (أعداد مكونة من 31 رقمًا وفروق من الرتبة السابعة)، ^{[ 9 ]} بين عامي 1846 و1849. وقد تمكن باباج من الاستفادة من الأفكار التي طُوِّرت للمحرك التحليلي لجعل محرك الفروق الجديد يُجري العمليات الحسابية بسرعة أكبر مع استخدام عدد أقل من الأجزاء. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

استلهم المخترع السويدي بير جورج شوتز من آلة الفروق التي ابتكرها باباج عام 1834، فقام ببناء عدة نماذج تجريبية. وفي عام 1837، اقترح ابنه إدوارد بناء نموذج عملي من المعدن، وفي عام 1840 أنجز الجزء الحسابي، القادر على حساب المتسلسلات ذات الأعداد المكونة من خمسة أرقام والفروق من الدرجة الأولى، والتي تم توسيعها لاحقًا لتشمل الفروق من الدرجة الثالثة (1842). وفي عام 1843، وبعد إضافة جزء الطباعة، اكتمل النموذج.

في عام 1851، وبتمويل من الحكومة، بدأ بناء آلة أكبر وأكثر تطورًا (تحتوي على أرقام مكونة من 15 خانة وفروق من الدرجة الرابعة)، وانتهى بناؤها في عام 1853. عُرضت الآلة في المعرض العالمي في باريس عام 1855، ثم بيعت في عام 1856 إلى مرصد دادلي في ألباني، نيويورك . سُلّمت الآلة في عام 1857، وكانت أول آلة حاسبة للطباعة تُباع. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} في عام 1857، طلبت الحكومة البريطانية آلة شوتز التالية للفروق، والتي بُنيت في عام 1859. ^{[ 20 ] [ 21 ]} كانت لها نفس البنية الأساسية للآلة السابقة، ويبلغ وزنها حوالي 10 قنطار (1100 رطل ؛ 510 كجم ) . ^{[ 19 ]}   

قام مارتن ويبرغ بتحسين تصميم شوتز ( حوالي عام 1859 ، وكانت آلته بنفس قدرة آلة شوتز: 30 رقمًا ورتبة سادسة) ولكنه استخدم جهازه فقط لإنتاج ونشر الجداول المطبوعة (جداول الفائدة في عام 1860، والجداول اللوغاريتمية في عام 1875). ^{[ 22 ]}

قام ألفريد ديكون من لندن في حوالي عام 1862 بإنتاج محرك فرق صغير (أرقام مكونة من 20 خانة وفروق من الدرجة الثالثة). ^{[ 17 ] [ 23 ]}

بدأ الأمريكي جورج ب. غرانت العمل على آلة حاسبة عام 1869، دون أن يكون على دراية بأعمال باباج وشويتز (شينتز). بعد عام (1870)، تعرّف على محركات الفروق، فشرع في تصميم واحدة بنفسه، ووصف تصميمه عام 1871. وفي عام 1874، جمع نادي بوسطن الخميسي تبرعات لبناء نموذج كبير الحجم، والذي تم بناؤه عام 1876. وكان من الممكن توسيعه لزيادة دقته، وبلغ وزنه حوالي 910 كيلوغرامات (2000 رطل) . ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} 

صنعت كريستل هامان آلة واحدة (لحساب الأعداد المكونة من 16 رقمًا والفروق من الدرجة الثانية) عام 1909 لـ"جداول باوشينغر وبيترز" ("جداول لوغاريتمية مثلثية بثمانية منازل عشرية")، والتي نُشرت لأول مرة في لايبزيغ عام 1910. وكان وزنها حوالي 40 كيلوغرامًا (88 رطلاً) . ^{[ 23 ] [ 26 ] [ 27 ]} 

قامت شركة بوروز في حوالي عام 1912 ببناء آلة لمكتب التقويم البحري، استُخدمت كمحرك فرق من الدرجة الثانية. ^{[ 28 ] : 451 [ 29 ]} ثم استُبدلت لاحقًا في عام 1929 بآلة بوروز من الفئة 11 (أرقام مكونة من 13 خانة وفروق من الدرجة الثانية، أو أرقام مكونة من 11 خانة وفروق من الدرجة الخامسة [على الأقل] ). ^{[ 30 ]}

قام ألكسندر جون طومسون، حوالي عام 1927، ببناء آلة تكامل وتفاضل (لأعداد مكونة من 13 رقمًا وفروق من الرتبة الخامسة) لجدول اللوغاريتمات الخاص به "Logarithmetica britannica". تألفت هذه الآلة من أربع آلات حاسبة معدلة من طراز Triumphator. ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

وصف ليزلي كومري في عام 1928 كيفية استخدام آلة برونزفيغا -دوبلا الحاسبة كمحرك فرق من الدرجة الثانية (أعداد مكونة من 15 رقمًا). ^{[ 28 ]} كما أشار في عام 1931 إلى إمكانية استخدام آلة المحاسبة الوطنية من الفئة 3000 كمحرك فرق من الدرجة السادسة. ^{[ 23 ] : 137-138}

خلال ثمانينيات القرن العشرين، درس آلان جي. بروملي ، الأستاذ المشارك بجامعة سيدني في أستراليا ، الرسومات الأصلية التي وضعها باباج لمحركي الفروق والتحليل في مكتبة متحف العلوم بلندن. ^{[ 34 ]} وقد أدى هذا العمل إلى قيام متحف العلوم ببناء قسم حسابي عامل لمحرك الفروق رقم 2 في الفترة من 1985 إلى 1991، تحت إشراف دورون سويد ، أمين قسم الحوسبة آنذاك. وكان ذلك احتفالًا بالذكرى المئوية الثانية لميلاد باباج عام 1991. وفي عام 2002، اكتمل أيضًا بناء الطابعة التي صممها باباج في الأصل لمحرك الفروق. ^{[ 35 ]} وكشف تحويل رسومات التصميم الأصلية إلى رسومات مناسبة لاستخدام مصنعي المعدات الهندسية عن بعض الأخطاء الطفيفة في تصميم باباج (ربما أُدخلت كإجراء وقائي في حال سرقة المخططات)، ^{[ 36 ]} والتي كان لا بد من تصحيحها. صُممت آلة التفاضل والطابعة وفقًا لدقة القياسات التي كانت متاحة في القرن التاسع عشر، مما حسم جدلًا طويل الأمد حول إمكانية نجاح تصميم باباج باستخدام أساليب الهندسة في العصر الجورجي. تحتوي الآلة على 8000 قطعة ويبلغ وزنها حوالي 5 أطنان. ^{[ 37 ]}

يتمثل الغرض الأساسي للطابعة في إنتاج ألواح الطباعة النمطية لاستخدامها في المطابع، وذلك عن طريق ضغط الحروف على الجبس اللين لتكوين قالب . كان باباج ينوي أن تُنقل نتائج المحرك مباشرةً إلى الطباعة بكميات كبيرة، بعد أن أدرك أن العديد من الأخطاء في الجداول السابقة لم تكن ناتجة عن أخطاء حسابية بشرية، بل عن زلات في عملية التنضيد اليدوي . ^{[ 7 ]} يُعدّ ناتج الورق من الطابعة وسيلةً أساسيةً للتحقق من أداء المحرك.

إضافةً إلى تمويل بناء آلية الإخراج لمحرك الفروق في متحف العلوم، كلّف ناثان ميرفولد ببناء محرك فروق ثانٍ كامل، عُرض في متحف تاريخ الحاسوب في ماونتن فيو، كاليفورنيا ، من مايو 2008 إلى يناير 2016. ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]} ثم نُقل لاحقًا إلى شركة إنتلكتشوال فنتشرز في سياتل، حيث يُعرض خارج الردهة الرئيسية مباشرةً. ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}

في تصميم باباج، تتم دورة واحدة (أي مجموعة كاملة من عمليات الجمع والحمل ) لكل دورة للعمود الرئيسي. وتؤدي الأعمدة الفردية والزوجية بالتناوب عملية جمع في دورة واحدة. تسلسل العمليات للعمود${\displaystyle n}$وبالتالي: ^{[ 44 ]}

1. قم بالعد تصاعديًا، واحصل على القيمة من العمود${\displaystyle n+1}$(خطوة الجمع)
2. قم بتنفيذ عملية نشر الحمل على القيمة المحسوبة.
3. العد التنازلي حتى الصفر، وإضافة إلى العمود${\displaystyle n-1}$
4. أعد ضبط قيمة العد التنازلي إلى قيمتها الأصلية

تحدث الخطوات 1 و2 و3 و4 لكل عمود فردي، بينما تحدث الخطوات 3 و4 و1 و2 لكل عمود زوجي.

رغم أن تصميم باباج الأصلي وضع ذراع التدوير مباشرةً على العمود الرئيسي، إلا أنه تبيّن لاحقًا أن القوة اللازمة لتدوير الآلة ستكون كبيرة جدًا بحيث يصعب على الإنسان التعامل معها بسهولة. لذلك، يتضمن النموذجان اللذان تم بناؤهما تروس تخفيض بنسبة 4:1 عند ذراع التدوير، ويتطلب الأمر أربع دورات لذراع التدوير لإتمام دورة كاملة.

تُنتج كل دورة نتيجة جديدة، ويتم ذلك في أربع خطوات تُقابل أربع دورات كاملة للمقبض الموضح في أقصى اليمين في الصورة أدناه. الخطوات الأربع هي:

1. تُضاف جميع الأعمدة ذات الأرقام الزوجية (2، 4، 6، 8) إلى جميع الأعمدة ذات الأرقام الفردية (1، 3، 5، 7) في آنٍ واحد. يقوم ذراع داخلي بتدوير كل عمود زوجي، مما يؤدي إلى تناقص الرقم الموجود على كل عجلة حتى يصل إلى الصفر. عند وصول العجلة إلى الصفر، تُنقل قيمتها إلى ترس قطاعي يقع بين العمودين الفردي والزوجي. تُنقل هذه القيم إلى العمود الفردي، مما يؤدي إلى تزايده. أي قيمة في العمود الفردي تنتقل من "9" إلى "0" تُفعّل ذراع الحمل .
2. بالنسبة للأعمدة الفردية، تؤدي أي أذرع ترحيل في حالة التفعيل إلى زيادة الرقم المجاور بمقدار 1. تُطبق عملية الترحيل هذه بالتتابع للسماح بانتشار الترحيل. في الوقت نفسه، تُعاد الأعمدة الزوجية إلى قيمها الأصلية.
3. هذه الخطوة مشابهة للخطوة الأولى، باستثناء أنها تتضمن جمع الأعمدة الفردية (3، 5، 7) مع الأعمدة الزوجية (2، 4، 6)، ويتم نقل قيم العمود الأول بواسطة ترس قطاعي إلى آلية الطباعة الموجودة في الطرف الأيسر من المحرك. أي قيمة في العمود الزوجي تنتقل من "9" إلى "0" تُفعّل ذراع نقل. تُرسل قيمة العمود الأول، وهي نتيجة متعددة الحدود، إلى آلية الطباعة الملحقة.
4. هذا يشبه الخطوة 2، ولكن لإجراء عمليات الحمل على الأعمدة الزوجية، وإعادة الأعمدة الفردية إلى قيمها الأصلية.

يُمثل المحرك الأعداد السالبة باستخدام نظام المتمم العشري . وتُعادل عملية الطرح جمع عدد سالب. وتعمل هذه العملية بنفس الطريقة التي تُجري بها الحواسيب الحديثة عملية الطرح، والمعروفة بنظام المتمم الثنائي .

العديد من الدوال الشائعة الاستخدام هي دوال تحليلية ، يمكن التعبير عنها كمتسلسلات قوى ، مثل متسلسلة تايلور . يمكن حساب القيم الأولية بدقة متناهية؛ فإذا تم ذلك بشكل صحيح، سيعطي المحرك نتائج دقيقة لأول N خطوة. بعد ذلك، سيعطي المحرك تقريبًا للدالة فقط.

تُعبّر متسلسلة تايلور عن الدالة كمجموع مشتقاتها عند نقطة واحدة. بالنسبة للعديد من الدوال، يكون حساب المشتقات العليا أمرًا بسيطًا؛ على سبيل المثال، دالة الجيب عند الصفر لها قيم تساوي صفرًا أو${\displaystyle \pm 1}$لجميع المشتقات. بوضع الصفر كنقطة بداية للحساب، نحصل على متسلسلة ماكلورين المبسطة

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\ x^{n}}$

يمكن استخدام نفس طريقة حساب القيم الأولية من المعاملات كما هو الحال مع الدوال متعددة الحدود. ستكون معاملات الثوابت متعددة الحدود الآن هي القيمة

${\displaystyle a_{n}\equiv {\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}$

تكمن مشكلة الطرق المذكورة أعلاه في تراكم الأخطاء، مما يؤدي إلى انحراف المتسلسلة عن الدالة الحقيقية. يتمثل الحل الذي يضمن حدًا أقصى ثابتًا للخطأ في استخدام تقنية مطابقة المنحنيات . يتم حساب N قيمة على الأقل موزعة بانتظام على طول نطاق الحسابات المطلوبة. باستخدام تقنية مطابقة المنحنيات، مثل تقنية الاختزال الغاوسي، يتم إيجاد استيفاء متعدد الحدود من الدرجة N -1 للدالة. ^{[ 46 ]} باستخدام متعدد الحدود المُحسَّن، يمكن حساب القيم الأولية كما سبق.