النظام الاقتصادي

• ${\displaystyle T}$= إجمالي تكلفة المخزون السنوية
• ${\displaystyle P}$= سعر شراء الوحدة ، تكلفة إنتاج الوحدة
• ${\displaystyle Q}$= كمية الطلب
• ${\displaystyle Q^{*}}$= كمية الطلب المثلى
• ${\displaystyle D}$= كمية الطلب السنوية
• ${\displaystyle K}$= تكلفة ثابتة لكل طلب، تكلفة الإعداد ( ليست لكل وحدة، عادةً ما تشمل تكلفة الطلب والشحن والتوصيل. هذه ليست تكلفة البضائع)
• ${\displaystyle h}$= تكلفة الاحتفاظ السنوية لكل وحدة، والمعروفة أيضًا بتكلفة الحمل أو تكلفة التخزين ( تكلفة رأس المال ، ومساحة المستودعات، والتبريد ، والتأمين ، وتكلفة الفرصة البديلة (السعر × الفائدة)، وما إلى ذلك. عادة لا ترتبط بتكلفة إنتاج الوحدة).

تُستخدم صيغة كمية الطلب الاقتصادية (EOQ) للعنصر الواحد لإيجاد النقطة الدنيا لدالة التكلفة التالية:

التكلفة الإجمالية = تكلفة الشراء أو تكلفة الإنتاج + تكلفة الطلب + تكلفة التخزين

أين:

• تكلفة الشراء: هي التكلفة المتغيرة للسلع: سعر الوحدة عند الشراء × كمية الطلب السنوية.${\displaystyle P\times D}$.
• تكلفة الطلب: هذه هي تكلفة تقديم الطلبات: لكل طلب تكلفة ثابتة${\displaystyle K}$ونحن بحاجة إلى طلب${\displaystyle D/Q}$مرات في السنة. هذا هو${\displaystyle KD/Q}$
• تكلفة التخزين: متوسط ​​الكمية الموجودة في المخزون (بين المخزون الممتلئ تمامًا والمخزون الفارغ) هو${\displaystyle Q/2}$إذن هذه التكلفة هي${\displaystyle hQ/2}$

${\displaystyle T=PD+K{\frac {D}{Q}}+h{\frac {Q}{2}}}$.

لتحديد أدنى نقطة في منحنى التكلفة الإجمالية ، احسب مشتق التكلفة الإجمالية بالنسبة إلى Q (بافتراض ثبات جميع المتغيرات الأخرى) واجعله مساوياً للصفر:

${\displaystyle {0}=-{\frac {DK}{Q^{2}}}+{\frac {h}{2}}}$

بحل المعادلة لإيجاد قيمة Q نحصل على Q* (كمية الطلب المثلى):

${\displaystyle Q^{*2}={\frac {2DK}{h}}}$

لذلك:

Q* مستقل عن P؛ إنه دالة لـ K و D و h فقط.

يمكن أيضًا إيجاد القيمة المثلى Q* من خلال إدراك أن

${\displaystyle T={\frac {DK}{Q}}+{\frac {hQ}{2}}+PD={\frac {h}{2Q}}(Q-{\sqrt {2DK/h}})^{2}+{\sqrt {2hDK}}+PD,}$

حيث يختفي الحد التربيعي غير السالب لـ${\textstyle Q={\sqrt {2DK/h}},}$مما يوفر الحد الأدنى من التكلفة${\displaystyle T_{min}={\sqrt {2hDK}}+PD.}$

• الكمية المطلوبة سنوياً (D) = 10000 وحدة
• تكلفة الطلب الواحد (K) = 40
• تكلفة الوحدة (P) = 50
• تكلفة التخزين السنوية للوحدة الواحدة = 4
• نسبة الاهتمام في السوق = 2%

كمية النظام الاقتصادي =${\displaystyle {\sqrt {\frac {2D\cdot K}{h}}}}$${\displaystyle ={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{4+50\cdot 2\%}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{5}}}}$= 400 وحدة

عدد الطلبات في السنة (بناءً على كمية الطلب الاقتصادية)${\displaystyle ={\frac {10000}{400}}=25}$

التكلفة الإجمالية${\displaystyle =P\cdot D+K(D/EOQ)+h(EOQ/2)}$

التكلفة الإجمالية${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/400)+5\cdot (400/2)=502000}$

إذا قمنا بفحص التكلفة الإجمالية لأي كمية طلب أخرى غير 400 (الكمية الاقتصادية للطلب)، فسنجد أن التكلفة أعلى. على سبيل المثال، إذا افترضنا 500 وحدة لكل طلب، فـ

التكلفة الإجمالية${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/500)+5\cdot (500/2)=502050}$

وبالمثل، إذا اخترنا 300 لكمية الطلب، فإن

التكلفة الإجمالية${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot (10000/300)+5\cdot (300/2)=502083.33}$

وهذا يوضح أن كمية الطلب الاقتصادي تصب دائماً في مصلحة الشركة.

يُعدّ استيعاب خصومات الكمية إضافةً مهمةً لنموذج كمية الطلب الاقتصادية (EOQ). يوجد نوعان رئيسيان من خصومات الكمية: (1) خصومات على جميع الوحدات، و(2) خصومات تدريجية. ^{[ 2 ] [ 3 ]} إليك مثالًا عدديًا:

• خصم الوحدات المتزايد: سعر الوحدة من 1 إلى 100 هو 30 دولارًا؛ سعر الوحدة من 101 إلى 199 هو 28 دولارًا؛ سعر الوحدة 200 فأكثر هو 26 دولارًا. لذا، عند طلب 150 وحدة، تكون التكلفة الإجمالية 30 دولارًا × 100 + 28 دولارًا × 50.
• خصم على جميع الوحدات: سعر الوحدة الواحدة عند طلب من 1 إلى 1000 وحدة هو 50 دولارًا؛ وسعر الوحدة الواحدة عند طلب من 1001 إلى 5000 وحدة هو 45 دولارًا؛ وسعر الوحدة الواحدة عند طلب أكثر من 5000 وحدة هو 40 دولارًا. لذا، عند طلب 1500 وحدة، يكون إجمالي التكلفة 45 دولارًا × 1500.

لإيجاد كمية الطلب المثلى في ظل أنظمة خصم الكمية المختلفة، ينبغي استخدام خوارزميات؛ وقد طُوّرت هذه الخوارزميات بافتراض أن سياسة كمية الطلب الاقتصادية (EOQ) تظل مثلى حتى مع خصومات الكمية. وقد أثبت بيريرا وآخرون (2017) ^{[ 4 ]} هذه المثلى، ووصفوا بشكل كامل المثلى (s,S) ضمن إطار كمية الطلب الاقتصادية في ظل هياكل التكلفة العامة.

في حال وجود عميل استراتيجي يستجيب بشكل أمثل لجداول الخصومات، يصبح تصميم نظام خصم كمي أمثل من قِبل المورد أمرًا معقدًا ويتطلب عناية فائقة. ويزداد الأمر تعقيدًا عندما يكون الطلب لدى العميل نفسه غير مؤكد. ويحدث تأثير مثير للاهتمام يُعرف باسم "تأثير السوط العكسي"، حيث يؤدي ازدياد عدم اليقين في طلب المستهلك إلى تقليل عدم اليقين في كمية الطلب لدى المورد. ^{[ 5 ]}

يمكن إدخال عدة تعديلات على نموذج كمية الطلب الاقتصادية، بما في ذلك تكاليف الطلبات المتأخرة ^{[ 6 ]} وتعدد الأصناف. في حال السماح بالطلبات المتأخرة، تكون تكاليف الاحتفاظ بالمخزون لكل دورة كما يلي: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle IC\int \limits _{0}^{T_{1}}(Qs-\lambda t)\,dt={\frac {IC}{2\lambda }}(Qs)^{2},}$

حيث يمثل s عدد الطلبات المتأخرة عند تسليم كمية الطلب Q و${\displaystyle \lambda }$يمثل معدل الطلب. تكلفة الطلبات المتأخرة لكل دورة هي:

${\displaystyle \pi s+{\hat {\pi }}\int \limits _{0}^{T_{2}}\lambda tdt=\pi s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}\lambda T_{2}^{2}=\pi s+{\frac {{\hat {\pi }}s^{2}}{2\lambda }},}$

أين${\displaystyle \pi }$و${\displaystyle {\hat {\pi }}}$هي تكاليف الطلبات المتأخرة،${\displaystyle T_{2}=T-T_{1}}$، حيث T هو طول الدورة و${\displaystyle T_{1}=(Q-s)/\lambda }$. متوسط ​​التكلفة المتغيرة السنوية هو مجموع تكاليف الطلب، وتكاليف الاحتفاظ بالمخزون، وتكاليف الطلبات المتأخرة:

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\frac {\lambda }{Q}}A+{\frac {1}{2Q}}IC(Q-s)^{2}+{\frac {1}{Q}}[\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}]}$

لتقليل${\displaystyle {\mathcal {K}}}$فرض أن تكون المشتقات الجزئية مساوية للصفر:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=-{\frac {1}{Q^{2}}}\left[{\lambda }A+{\frac {1}{2}}IC(Q-s)^{2}+\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}\right]+{\frac {IC}{Q}}(Q-s)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial s}}=-{\frac {IC}{Q}}(Q-s)+{\frac {1}{Q}}\pi \lambda +{\frac {1}{Q}}{\hat {\pi }}s=0}$

بإدخال المعادلة الثانية في الأولى نحصل على المعادلة التربيعية التالية :

${\displaystyle [{\hat {\pi }}^{2}+{\hat {\pi }}IC]s^{2}+2\pi {\hat {\pi }}\lambda s+(\pi \lambda )^{2}-2\lambda AIC=0}$

لو${\displaystyle {\hat {\pi }}=0}$إما s=0 أو${\displaystyle s=\infty }$يُعدّ هذا الوضع الأمثل. في الحالة الأولى، تُحدد الكمية المثلى باستخدام صيغة كمية الطلب الاقتصادية الكلاسيكية، أما في الحالة الثانية، فلا يتم تقديم أي طلب على الإطلاق، وتُحدد أقل تكلفة سنوية باستخدام الصيغة التالية:${\displaystyle \pi \lambda }$. لو${\displaystyle \pi >{\sqrt {\frac {2AIC}{\lambda }}}=\delta }$أو${\displaystyle \pi \lambda >K_{w}}$${\displaystyle s^{*}=0}$يكون الأمثل، إذا${\displaystyle \pi <\delta }$إذاً، لا ينبغي أن يكون هناك نظام جرد.${\displaystyle {\hat {\pi }}\neq 0}$حل المعادلة التربيعية السابقة ينتج عنه:

${\displaystyle s^{*}=[{\hat {\pi }}+IC]^{-1}\left(-\pi \lambda +\left[(2\lambda AIC)\left(1+{\frac {IC}{\hat {\pi }}}\right)-{\frac {IC}{\hat {\pi }}}(\pi \lambda )^{2}\right]^{1/2}\right)}$

${\displaystyle Q^{*}=\left[{\frac {{\hat {\pi }}+IC}{\hat {\pi }}}\right]^{1/2}\left[{\frac {2\lambda A}{IC}}-{\frac {(\pi \lambda )^{2}}{IC({\hat {\pi }}+IC)}}\right]^{1/2}}$

في حال وجود طلبات متأخرة ، تكون نقطة إعادة الطلب هي:${\displaystyle r_{h}^{*}=\mu -mQ^{*}-s^{*}}$حيث m هو أكبر عدد صحيح${\displaystyle m\leq {\frac {\tau }{T}}}$وμ هو الطلب خلال فترة التسليم .

بالإضافة إلى ذلك، يمكن تحديد فاصل الطلب الاقتصادي ^{[ 8 ]} من نموذج كمية الطلب الاقتصادي ويمكن تحديد نموذج كمية الإنتاج الاقتصادي (الذي يحدد كمية الإنتاج المثلى) بطريقة مماثلة.

كما تم استخدام نسخة من النموذج، وهي نموذج باومول-توبين ، لتحديد دالة الطلب على النقود ، حيث يمكن النظر إلى حيازات الشخص من الأرصدة النقدية بطريقة موازية لحيازات الشركة من المخزون. ^{[ 9 ]}

قدم مالاكوتي (2013) ^{[ 10 ]} نماذج EOQ متعددة المعايير حيث يمكن أن تكون المعايير هي تقليل التكلفة الإجمالية وكمية الطلب (المخزون) والنواقص.

قام تريبي ولوين بتطوير نسخة تأخذ القيمة الزمنية للنقود في الاعتبار. ^{[ 11 ]}

من أهم التوسعات لنموذج كمية الطلب الاقتصادية (EOQ) دراسة المنتجات ذات الجودة غير الكاملة. وكان سلامة وجابر (2000) أول من درس المنتجات غير الكاملة في نموذج كمية الطلب الاقتصادية دراسةً معمقة. وقد تناولا مشكلة المخزون حيث يكون الطلب محددًا، ويوجد جزء من المنتجات غير الكاملة في الدفعة، والتي يقوم المشتري بفحصها وبيعها في نهاية دورة الإنتاج بسعر مخفض. ^{[ 12 ]}