إدغار جيلبرت

يُعدّ حدّ جيلبرت -فارشاموف ، الذي أثبته جيلبرت بشكل مستقل عام 1952 وروم فارشاموف عام 1957، ^{[G52] [ 4 ]} ، نظرية رياضية تضمن وجود رموز تصحيح الأخطاء ذات معدل نقل عالٍ كدالة لطولها وحجم أبجديتها ومسافة هامينغ بين كلمات الرمز (وهي مُعامل يتحكم في عدد الأخطاء التي يُمكن تصحيحها). وتتلخص الفكرة الرئيسية في أنه في الرمز الأقصى (الذي لا يُمكن إضافة أي كلمة رمزية إليه)، يجب أن تُغطي كرات هامينغ ذات المسافة المُحددة فضاء الرمز بأكمله، وبالتالي يجب أن يساوي عدد كلمات الرمز على الأقل الحجم الكلي لفضاء الرمز مقسومًا على حجم كرة واحدة. ^{[ 5 ]} ولمدة 30 عامًا، حتى اختراع رموز الهندسة الجبرية عام 1982، كانت الرموز المُنشأة بهذه الطريقة هي الأفضل المعروفة. ^{[ 6 ]}

يُعدّ نموذج جيلبرت-إليوت ، الذي طوّره جيلبرت عام 1960 وإي أو إليوت عام 1963، ^{نموذجًا رياضيًا لتحليل} قنوات الإرسال التي تحدث فيها الأخطاء على شكل دفعات. ويفترض هذا النموذج أن القناة قد تكون في إحدى حالتين مختلفتين، بمعدلات خطأ مختلفة، وأن الأخطاء تحدث بشكل مستقل عن بعضها البعض بمجرد معرفة الحالة، وأن الانتقال من حالة إلى أخرى يخضع لسلسلة ^{ماركوف .} ويُعتبر هذا النموذج "ملائمًا ^جدًا ويُستخدم بكثرة" في تحليل أنظمة الاتصالات الحديثة، مثل وصلات البيانات بالهواتف المحمولة ^.

في رياضيات خلط أوراق اللعب ، يُعدّ نموذج جيلبرت-شانون-ريدز ، الذي طُوّر عام 1955 على يد جيلبرت وكلود شانون ^[G55] ، وبشكل مستقل في عمل غير منشور عام 1981 على يد جيم ريدز، توزيعًا احتماليًا على تباديل مجموعة من n عنصرًا، والذي، وفقًا لتجارب بيرسي دياكونيس ، يُحاكي بدقة خلط الأوراق الذي يُجريه الإنسان. في هذا النموذج، تُقسّم مجموعة أوراق اللعب عند نقطة تُختار عشوائيًا وفقًا لتوزيع ذي الحدين ، ثم يُدمج الجزآن بترتيب دمج يُختار عشوائيًا بشكل منتظم من بين جميع عمليات الدمج الممكنة. وبصورة مكافئة، هو معكوس تبديل مُشكّل باختيار عشوائي مستقل لكل ورقة ما إذا كان سيتم وضعها في إحدى كومتين (مع الحفاظ على الترتيب الأصلي للأوراق داخل كل كومة)، ثم تكديس الكومتين فوق بعضهما البعض. ^{[ 9 ]}

تُعدّ تبليطات جيلبرت نموذجًا رياضيًا لتكوّن الشقوق ، قدّمه جيلبرت عام 1967. ^[G67] في هذا النموذج، تبدأ الكسور من مجموعة من النقاط العشوائية، ذات اتجاهات عشوائية، يتم اختيارها وفقًا لعملية بواسون ، ثم تنمو بمعدل ثابت حتى تنتهي بالاصطدام بشقوق متكونة مسبقًا. ^{[ 10 ]}

يُعدّ نموذج إردوش-ريني أساسيًا في نظرية الرسوم البيانية العشوائية ، حيث تُختار الحواف عشوائيًا لمجموعة ثابتة من n رأسًا. وقد طُرح هذا النموذج بصيغتين عام 1959 من قِبل جيلبرت، وبول إردوش ، وألفريد ريني . ^{[G59] [ 11 ]} في صيغة جيلبرت G ( n , p ) ، تُختار كل حافة محتملة لتُضمّن في الرسم البياني أو تُستبعد منه، بشكل مستقل عن الحواف الأخرى، باحتمالية p . وبالتالي، فإن العدد المتوقع للحواف هو pn ( n - 1)/2 ، ولكن العدد الفعلي للحواف قد يختلف عشوائيًا، ولكل رسم بياني احتمالية غير صفرية للاختيار. في المقابل، في نموذج G ( n , M ) الذي قدمه إردوش وريني، يُختار الرسم البياني عشوائيًا وبشكل منتظم من بين جميع الرسوم البيانية ذات M حافة. عدد الحواف ثابت، لكنها ليست مستقلة عن بعضها، إذ يرتبط وجود حافة في موضع ما ارتباطًا عكسيًا بوجود حافة في موضع آخر. ورغم تشابه خصائص النموذجين، إلا أن نموذج G ( n , p ) غالبًا ما يكون أسهل في التعامل معه نظرًا لاستقلال حوافه. ^{[ 12 ]}

في عام 1961، قدّم جيلبرت شبكة المستوى العشوائي ^[G61] (المعروفة الآن باسم الرسم البياني الهندسي العشوائي (RGG)، أو نموذج قرص جيلبرت)، حيث تتصل النقاط العشوائية على المستوى إذا وفقط إذا كانت ضمن نطاق اتصال حرج. اقترح جيلبرت شبكات الاتصالات اللاسلكية كتطبيق رئيسي لهذا العمل، ودرس نظرية الترشيح لهذه الشبكات، مما أدى إلى ظهور مجال نظرية الترشيح المتصل . تمكّن جيلبرت من تحديد حدود عليا وسفلى للنطاق الحرج الذي تحتوي فيه هذه الشبكة على مكون متصل لا نهائي.

عمل جيلبرت وهنري أو. بولاك على مسألة شجرة شتاينر عام 1968، وصاغاها بطريقة توحدها مع مسائل تدفق الشبكات . ^[GP68] في نموذجهما، تُعطى شبكة تدفق حيث يُعطى كل ضلع تكلفة وسعة، ومصفوفة لكميات التدفق بين أزواج مختلفة من الرؤوس الطرفية؛ والمهمة هي إيجاد شبكة فرعية ذات تكلفة دنيا وسعات كافية لدعم تدفق بكميات التدفق المعطاة بين أي زوج من الرؤوس الطرفية. عندما تتساوى جميع كميات التدفق، يختزل هذا إلى مسألة شجرة شتاينر الكلاسيكية. ^{[ 13 ]} كما صاغ هذا العمل تخمين جيلبرت-بولاك حول النسبة بين طول شجرة شتاينر وشجرة الامتداد الدنيا. ^[GP68] على الرغم من أنه كان يُعتقد أنه قد تم إثباته في أوائل التسعينيات، ^{[ 14 ]} إلا أنه لا يزال دون حل. ^{[ 15 ]}

اكتشف جيلبرت مصفوفات كوستاس بشكل مستقل وفي نفس عام اكتشاف كوستاس لها ، ^{[G65] [ 16 ]} ويُعرف أيضًا بعمله مع جون ريوردان في عدّ القلائد في التوافقية . ^{[ 17 ]} وقد تعاون مع فان تشونغ ، ورون غراهام ، وجاك فان لينت في تقسيم المستطيلات إلى مستطيلات أصغر. ^[CGG]