اضطراب القيم الذاتية

الموسوعة الحرة

في الرياضيات، تتمثل مشكلة اضطراب القيم الذاتية في إيجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية لنظام ما.أx=λx{\displaystyle Ax=\lambda x}ذلك الذي تم تغييره عن واحد ذي متجهات ذاتية وقيم ذاتية معروفةأ0x0=λ0x0{\displaystyle A_{0}x_{0}=\lambda _{0}x_{0}}يُعد هذا مفيدًا لدراسة مدى حساسية المتجهات الذاتية والقيم الذاتية للنظام الأصلي.x0أنا،λ0أنا،أنا=1،...ن{\displaystyle x_{0i},\lambda _{0i},i=1,\dots n} تتعلق هذه التغيرات بالنظام. وقد شاع هذا النوع من التحليل بفضل اللورد رايلي ، في بحثه عن الاهتزازات التوافقية لوتر متأثر بتغيرات طفيفة. [ 1 ]

تُعدّ الاشتقاقات الواردة في هذه المقالة مكتفية بذاتها، ويمكن إيجادها في العديد من المراجع المتعلقة بالجبر الخطي العددي أو التحليل الوظيفي العددي . وتركز هذه المقالة على حالة اضطراب قيمة ذاتية بسيطة، بدلاً من اضطراب مجموعة من القيم الذاتية .

الدافع وراء القيم الذاتية المعممة

تستخدم العديد من المجالات العلمية القيم الذاتية لإيجاد الحلول. تُعدّ مسائل القيم الذاتية المعممة أقل شيوعًا، لكنها أساسية في دراسة الاهتزازات . وهي مفيدة عند استخدام طريقتي غاليركين أو رايلي-ريتز لإيجاد حلول تقريبية للمعادلات التفاضلية الجزئية التي تُحاكي اهتزازات الهياكل مثل الأوتار والصفائح - ويُعدّ كوران (1943) [ 2 ] مرجعًا أساسيًا في هذا المجال. وتُعتبر طريقة العناصر المحدودة حالة خاصة شائعة الاستخدام.

في الميكانيكا الكلاسيكية ، قد تظهر القيم الذاتية المعممة عند فحص اهتزازات أنظمة متعددة درجات الحرية قريبة من حالة التوازن. في هذه الحالة، توفر الطاقة الحركية مصفوفة الكتلة.م{\displaystyle M}توفر طاقة الإجهاد الكامنة مصفوفة الصلابةك{\displaystyle K}[ 3 ]​

باستخدام كلتا الطريقتين، يتم اشتقاق نظام المعادلات التفاضلية أو معادلة المصفوفة التفاضلية التالية:مx¨+بx˙+كx=0{\displaystyle M{\ddot {x}}+B{\dot {x}}+Kx=0}مع مصفوفة الكتلةم{\displaystyle M}مصفوفة التخميدب{\displaystyle B}ومصفوفة الصلابةك{\displaystyle K}إذا تم إهمال تأثير التخميد،ب=0{\displaystyle B=0}وحل على شكلx=هـأناωتu{\displaystyle x=e^{i\omega t}u}يفترض،u{\displaystyle u}وω2{\displaystyle \omega ^{2}}يتم الحصول عليها كحلول لمسألة القيم الذاتية المعممة-ω2مu+كu=0{\displaystyle -\أوميغا ^{2}مو+كو=0}.

تحديد الاضطراب لمسألة القيم الذاتية المعممة

لنفترض أن حلول مسألة القيم الذاتية المعممة معروفة على النحو التالي:

ك0x0أنا=λ0أنام0x0أنا.(0){\displaystyle \mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (0)}

أينك0{\displaystyle \mathbf {K} _{0}}وم0{\displaystyle \mathbf {M} _{0}}هي مصفوفات. أي أننا نعرف القيم الذاتية λ 0 i والمتجهات الذاتية x 0 i لـ i = 1، ...، N. ومن المهم ملاحظة أن القيم الذاتية يجب أن تكون متميزة.

من أجل إحداث اضطراب في المصفوفات، يجب إيجاد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لـ

كxأنا=λأنامxأنا(1){\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {x} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}\qquad (1)}

أين

ك=ك0+دلتاكم=م0+دلتام{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} &=\mathbf {K} _{0}+\delta \mathbf {K} \\\mathbf {M} &=\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \end{aligned}}}

مع الاضطراباتدلتاك{\displaystyle \delta \mathbf {K} }ودلتام{\displaystyle \delta \mathbf {M} }أصغر بكثير منك{\displaystyle \mathbf {K} }وم{\displaystyle \mathbf {M} }على التوالي. ومن المتوقع أن تكون القيم الذاتية والمتجهات الذاتية الجديدة مشابهة للقيم الأصلية، بالإضافة إلى اضطرابات طفيفة:

λأنا=λ0أنا+دلتاλأناxأنا=x0أنا+دلتاxأنا{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}\\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\end{aligned}}}

خطوات

بافتراض أن المصفوفات متناظرة وموجبة التحديد ، وبافتراض أن المتجهات الذاتية مُقاسة بحيث

x0ج⊤م0x0أنا=دلتاأناج،{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\delta _{ij},\quad }xأناتيمxج=دلتاأناج(2){\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{T}\mathbf {M} \mathbf {x} _{j}=\delta _{ij}\qquad (2)}

حيث δij هي دالة كرونكر دلتا . الآن ، المعادلة المطلوب حلها هي

كxأنا-λأنامxأنا=0.{\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {x} _{i}-\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}=0.}

في هذه المقالة، تقتصر الدراسة على الاضطراب من الدرجة الأولى.

توسيع المعادلة من الدرجة الأولى

بالتعويض في (1) ينتج عنه

(ك0+دلتاك)(x0أنا+دلتاxأنا)=(λ0أنا+دلتاλأنا)(م0+دلتام)(x0أنا+دلتاxأنا)،{\displaystyle (\mathbf {K} _{0}+\delta \mathbf {K} )(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i})=\left(\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}\right)\left(\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \right)\left(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\right),}

والذي يتوسع إلى

ك0x0أنا+دلتاكx0أنا+ك0دلتاxأنا+دلتاكدلتاxأنا=λ0أنام0x0أنا+λ0أنام0دلتاxأنا+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا+λ0أنادلتامدلتاxأنا+دلتاλأنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0دلتاxأنا+دلتاλأنادلتامدلتاxأنا.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}&+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\\[6pt]&\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\quad \lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{aligned}}}

الإلغاء من (0) (ك0x0أنا=λ0أنام0x0أنا{\displaystyle \mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}}) أوراق

دلتاكx0أنا+ك0دلتاxأنا+دلتاكدلتاxأنا=λ0أنام0دلتاxأنا+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا+λ0أنادلتامدلتاxأنا+دلتاλأنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0دلتاxأنا+دلتاλأنادلتامدلتاxأنا.{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+&\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{aligned}}}

وبإزالة الحدود ذات الرتبة الأعلى، يتبسط هذا إلى

ك0دلتاxأنا+دلتاكx0أنا=λ0أنام0دلتاxأنا+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا.(3){\displaystyle \mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (3)}
بعبارة أخرى،دلتاλأنا{\displaystyle \delta \lambda _{i}} لم يعد يشير إلى التغير الدقيق للقيمة الذاتية، بل إلى تقريبها من الدرجة الأولى.

بما أن المصفوفة متناظرة، فإن المتجهات الذاتية غير المضطربة هيم{\displaystyle M}متعامدة، وبالتالي يمكن استخدامها كأساس للمتجهات الذاتية المضطربة. وهذا هو نفسه

دلتاxأنا=∑ج=1شمالεأناجx0ج(4){\displaystyle \delta \mathbf {x} _{i}=\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}\qquad (4)\quad }معεأناج=x0جتيمدلتاxأنا{\displaystyle \varepsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{T}M\delta \mathbf {x} _{i}}،

حيث أن ε ij هي ثوابت صغيرة يجب تحديدها.

وبالمثل، بالتعويض في (2)، وإزالة الحدود ذات الرتبة الأعلى،دلتاxجم0x0أنا+x0جم0دلتاxأنا+x0جدلتام0x0أنا=0(5){\displaystyle \delta \mathbf {x} _{j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0j}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}\delta \mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0\quad {(5)}}

ثم يتم تقسيم الاشتقاق إلى مسارين.

المسار الأول: الحصول على أول اضطراب للقيمة الذاتية

اضطراب القيم الذاتية
بدءاً من (3)ك0دلتاxأنا+دلتاكx0أنا=λ0أنام0دلتاxأنا+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا؛{\displaystyle \quad \mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i};}ثم يُضرب المتبقي بـx0أناتي{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{T}}بالإضافة إلى استخدام (2) وكذلك تباينها من الدرجة الأولى (5)؛ نحصل على
x0أناتيدلتاكx0أنا=λ0أناx0أناتيدلتامx0أنا+دلتاλأنا{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}}

أو

دلتاλأنا=x0أناتيدلتاكx0أنا-λ0أناx0أناتيدلتامx0أنا{\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}

هذا هو اضطراب الرتبة الأولى لحاصل رايلي المعمم مع قيمة ثابتةx0أنا{\displaystyle x_{0i}}:R(ك،م؛x0أنا)=x0أناتيكx0أنا/x0أناتيمx0أنا، مع x0أناتيمx0أنا=1{\displaystyle R(K,M;x_{0i})=x_{0i}^{T}Kx_{0i}/x_{0i}^{T}Mx_{0i},{\text{ with }}x_{0i}^{T}Mx_{0i}=1}

علاوة على ذلك، بالنسبة لـم=أنا{\displaystyle M=I}الصيغةدلتاλأنا=x0أناتيدلتاكx0أنا{\displaystyle \delta \lambda _{i}=x_{0i}^{T}\delta Kx_{0i}}ينبغي مقارنتها بنظرية باور-فايك التي توفر حدًا لاضطراب القيم الذاتية.

اضطراب المتجه الذاتي

ثم يقوم أحد الطرفين بضرب (3) فيx0جتي{\displaystyle x_{0j}^{T}}لج≠أنا{\displaystyle j\neq i}واحصل على

x0جتيك0دلتاxأنا+x0جتيدلتاكx0أنا=λ0أناx0جتيم0دلتاxأنا+λ0أناx0جتيدلتامx0أنا+دلتاλأناx0جتيم0x0أنا.{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

مع التذكير بأنx0جتيك=λ0جx0جتيم و x0جتيم0x0أنا=0،{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}K=\lambda _{0j}\mathbf {x} _{0j}^{T}M{\text{ and }}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0,}لج≠أنا{\displaystyle j\neq i}يمكن استبدالها بـ

λ0جx0جتيم0دلتاxأنا+x0جتيدلتاكx0أنا=λ0أناx0جتيم0دلتاxأنا+λ0أناx0جتيدلتامx0أنا.{\displaystyle \lambda _{0j}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.}

أو

(λ0ج-λ0أنا)x0جتيم0دلتاxأنا+x0جتيدلتاكx0أنا=λ0أناx0جتيدلتامx0أنا.{\displaystyle (\lambda _{0j}-\lambda _{0i})\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.}

بما أن القيم الذاتية مفترضة بسيطة، لـج≠أنا{\displaystyle j\neq i}

ϵأناج=x0جتيم0دلتاxأنا=-x0جتيدلتاكx0أنا+λ0أناx0جتيدلتامx0أنا(λ0ج-λ0أنا)،أنا=1،...شمال؛ج=1،...شمال؛ج≠أنا.{\displaystyle \epsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots N;j=1,\dots N;j\neq i.}

علاوة على ذلك، ينتج عن (5) (التغير من الدرجة الأولى لـ (2)) 2ϵأناأنا=2x0أناتيم0دلتاxأنا=-x0أناتيدلتامx0أنا.{\displaystyle 2\epsilon _{ii}=2\mathbf {x} _{0i}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta x_{i}=-\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta M\mathbf {x} _{0i}.} جميع مكوناتدلتاxأنا{\displaystyle \delta x_{i}}تم الحصول عليها الآن.

المسار الثاني: عمليات تلاعب مباشرة

بالتعويض من (4) في (3) وإعادة الترتيب نحصل على

ك0∑ج=1شمالεأناجx0ج+دلتاكx0أنا=λ0أنام0∑ج=1شمالεأناجx0ج+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا(5)∑ج=1شمالεأناجك0x0ج+دلتاكx0أنا=λ0أنام0∑ج=1شمالεأناجx0ج+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا(تطبيق ك0 إلى المجموع)∑ج=1شمالεأناجλ0جم0x0ج+دلتاكx0أنا=λ0أنام0∑ج=1شمالεأناجx0ج+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا(باستخدام المعادلة. (1)){\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&(5)\\\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&\\({\text{applying }}\mathbf {K} _{0}{\text{ to the sum}})\\\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\lambda _{0j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&({\text{using Eq. }}(1))\end{aligned}}}

بما أن المتجهات الذاتية تكون متعامدة بالنسبة لـ M0 عندما تكون M0 موجبة التحديد، يمكن إزالة عمليات الجمع عن طريق الضرب من اليسار بـx0أنا⊤{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }}:

x0أنا⊤εأناأناλ0أنام0x0أنا+x0أنا⊤دلتاكx0أنا=λ0أناx0أنا⊤م0εأناأناx0أنا+λ0أناx0أنا⊤دلتامx0أنا+دلتاλأناx0أنا⊤م0x0أنا.{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\varepsilon _{ii}\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

باستخدام المعادلة (1) مرة أخرى:

x0أنا⊤ك0εأناأناx0أنا+x0أنا⊤دلتاكx0أنا=λ0أناx0أنا⊤م0εأناأناx0أنا+λ0أناx0أنا⊤دلتامx0أنا+دلتاλأناx0أنا⊤م0x0أنا.(6){\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (6)}

الحدّان اللذان يحتويان على ε ii متساويان لأنه بضرب (1) من اليسار بـx0أنا⊤{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }}أعطِ

x0أنا⊤ك0x0أنا=λ0أناx0أنا⊤م0x0أنا.{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

يؤدي إلغاء تلك الحدود في (6) إلى

x0أنا⊤دلتاكx0أنا=λ0أناx0أنا⊤دلتامx0أنا+دلتاλأناx0أنا⊤م0x0أنا.{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

إعادة الترتيب تعطي

دلتاλأنا=x0أنا⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أناx0أنا⊤م0x0أنا{\displaystyle \delta \lambda _{i}={\frac {\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}}}}

لكن بحسب (2)، فإن هذا المقام يساوي 1. وبالتالي

دلتاλأنا=x0أنا⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أنا.{\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}.}

ثم، كماλأنا≠λك{\displaystyle \lambda _{i}\neq \lambda _{k}}لأنا≠ك{\displaystyle i\neq k} (هذا افتراض القيم الذاتية البسيطة) عن طريق ضرب المعادلة (5) من اليسار بواسطةx0ك⊤{\displaystyle \mathbf {x} _{0k}^{\top }}:

εأناك=x0ك⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أناλ0أنا-λ0ك،أنا≠ك.{\displaystyle \varepsilon _{ik}={\frac {\mathbf {x} _{0k}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0k}}},\qquad i\neq k.}

أو عن طريق تغيير اسم الفهارس:

εأناج=x0ج⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أناλ0أنا-λ0ج،أنا≠ج.{\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}},\qquad i\neq j.}

لإيجاد قيمة ε ii ، باستخدام حقيقة أن

xأنا⊤مxأنا=1{\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{\top }\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}=1}

يعني:

εأناأنا=-12x0أنا⊤دلتامx0أنا.{\displaystyle \varepsilon _{ii}=-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}.}

ملخص نتائج الاضطراب من الدرجة الأولى

في حالة كون جميع المصفوفات هيرميتية موجبة التحديد وجميع القيم الذاتية متميزة ،

λأنا=λ0أنا+x0أنا⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أناxأنا=x0أنا(1-12x0أنا⊤دلتامx0أنا)+∑ج=1ج≠أناشمالx0ج⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أناλ0أنا-λ0جx0ج{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}\left(1-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}\right)+\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\end{aligned}}}

لأشياء متناهية الصغردلتاك{\displaystyle \delta \mathbf {K} }ودلتام{\displaystyle \delta \mathbf {M} }(مع إهمال الحدود ذات الرتبة الأعلى في (3)).

يمكن استنتاج برهان على إمكانية إهمال الحدود ذات الرتبة الأعلى باستخدام نظرية الدالة الضمنية.

الاشتقاق النظري

اضطراب دالة ضمنية.

في الفقرة التالية، سنستخدم نظرية الدالة الضمنية (نص النظرية)؛ نلاحظ أنه بالنسبة لدالة قابلة للتفاضل باستمرارو:Rن+م→Rم،و:(x،y)↦و(x،y){\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m},\;f:(x,y)\mapsto f(x,y)}، مع مصفوفة جاكوبية قابلة للعكس جو،ب(x0،y0){\displaystyle J_{f,b}(x_{0},y_{0})}من وجهة نظر(x0،y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}حل و(x0،y0)=0{\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}، نحصل على حلول لـو(x،y)=0{\displaystyle f(x,y)=0}معx{\displaystyle x}بالقرب منx0{\displaystyle x_{0}}على شكلy=ز(x){\displaystyle y=g(x)}أينز{\displaystyle g}هي دالة قابلة للتفاضل  باستمرار ؛ علاوة على ذلك، فإن مصفوفة جاكوبي لـز{\displaystyle g}يتم توفيرها بواسطة النظام الخطي 

جو،y(x،ز(x))جز،x(x)+جو،x(x،ز(x))=0(6){\displaystyle J_{f,y}(x,g(x))J_{g,x}(x)+J_{f,x}(x,g(x))=0\quad (6)}.

بمجرد تحقق فرضية النظرية، تصبح مصفوفة جاكوبي لـز{\displaystyle g}يمكن حسابها باستخدام توسيع من الدرجة الأولى لـ و(x0+دلتاx،y0+دلتاy)=0{\displaystyle f(x_{0}+\delta x,y_{0}+\delta y)=0}، نحصل

جو،x(x،ز(x))دلتاx+جو،y(x،ز(x))دلتاy=0{\displaystyle J_{f,x}(x,g(x))\delta x+J_{f,y}(x,g(x))\delta y=0}؛ مثلدلتاy=جز،x(x)دلتاx{\displaystyle \delta y=J_{g,x}(x)\delta x}، وهو ما يعادل المعادلة(6){\displaystyle (6)}.

اضطراب القيم الذاتية: أساس نظري.

نستخدم الفقرة السابقة (اضطراب دالة ضمنية) برموز مختلفة نوعًا ما تناسب اضطراب القيم الذاتية؛ ونقدمو~:R2ن2×Rن+1→Rن+1{\displaystyle {\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{2n^{2}}\times \mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n+1}}، مع

  • و~(ك،م،λ،x)=(و(ك،م،λ،x)ون+1(x)){\displaystyle {\tilde {f}}(K,M,\lambda ,x)={\binom {f(K,M,\lambda ,x)}{f_{n+1}(x)}}}مع

و(ك،م،λ،x)=كx-λx،ون+1(م،x)=xتيمx-1{\displaystyle f(K,M,\lambda ,x)=Kx-\lambda x,f_{n+1}(M,x)=x^{T}Mx-1}من أجل استخدام نظرية الدالة الضمنية ، ندرس قابلية عكس مصفوفة جاكوبيجو~؛λ،x(ك،م؛λ0أنا،x0أنا){\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda ,x}(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})}مع

جو~؛λ،x(ك،م؛λأنا،xأنا)(دلتاλ،دلتاx)=(-مxأنا0)دلتاλ+(ك-λم2xأناتيم)دلتاxأنا{\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda ,x}(K,M;\lambda _{i},x_{i})(\delta \lambda ,\delta x)={\binom {-Mx_{i}}{0}}\delta \lambda +{\binom {K-\lambda M}{2x_{i}^{T}M}}\delta x_{i}}في الواقع، حل

جو~؛λ0أنا،x0أنا(ك،م؛λ0أنا،x0أنا)(دلتاλأنا،دلتاxأنا)={\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda _{0i},x_{0i}}(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})(\delta \lambda _{i},\delta x_{i})=}(yyن+1){\displaystyle {\binom {y}{y_{n+1}}}}يمكن اشتقاقها باستخدام حسابات مماثلة لاشتقاق التوسع.

دلتاλأنا=-x0أناتيy، و (λ0أنا-λ0ج)x0جتيمدلتاxأنا=xجتيy،ج=1،...،ن،ج≠أنا؛{\displaystyle \delta \lambda _{i}=-x_{0i}^{T}y,\;{\text{ and }}(\lambda _{0i}-\lambda _{0j})x_{0j}^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y,j=1,\dots ,n,j\neq i\;;} أو x0جتيمدلتاxأنا=xجتيy/(λ0أنا-λ0ج)، و 2x0أناتيمدلتاxأنا=yن+1{\displaystyle {\text{ or }}x_{0j}^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y/(\lambda _{0i}-\lambda _{0j}),{\text{ and }}\;2x_{0i}^{T}M\delta x_{i}=y_{n+1}}

متىλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}هي قيمة ذاتية بسيطة، مثل المتجهات الذاتيةx0ج،ج=1،...،ن{\displaystyle x_{0j},j=1,\dots ,n}تشكل أساسًا متعامدًا، ولأي جانب أيمن، حصلنا على حل واحد، وبالتالي فإن جاكوبيان قابل للعكس.

تنص نظرية الدالة الضمنية على دالة قابلة للتفاضل باستمرار (ك،م)↦(λأنا(ك،م)،xأنا(ك،م)){\displaystyle (K,M)\mapsto (\lambda _{i}(K,M),x_{i}(K,M))} ومن ثم التوسع باستخدام رمز o الصغير : λأنا=λ0أنا+دلتاλأنا+o(‖دلتاك‖+‖دلتام‖){\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)}xأنا=x0أنا+دلتاxأنا+o(‖دلتاك‖+‖دلتام‖){\displaystyle x_{i}=x_{0i}+\delta x_{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)}. مع

دلتاλأنا=x0أناتيدلتاكx0أنا-λ0أناx0أناتيدلتامx0أنا؛{\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i};}دلتاxأنا=x0جتيم0دلتاxأناx0ج مع{\displaystyle \delta x_{i}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}\mathbf {x} _{0j}{\text{ with}}}x0جتيم0دلتاxأنا=-x0جتيدلتاكx0أنا+λ0أناx0جتيدلتامx0أنا(λ0ج-λ0أنا)،أنا=1،...ن؛ج=1،...ن؛ج≠أنا.{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots n;j=1,\dots n;j\neq i.} هذا هو التوسع من الدرجة الأولى للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية المضطربة، وهو ما تم إثباته.

نتائج تحليل الحساسية فيما يتعلق بمدخلات المصفوفات

النتائج

هذا يعني أنه من الممكن إجراء تحليل حساسية فعال لـ λᵢ كدالة للتغيرات في عناصر المصفوفات. (تذكر أن المصفوفات متناظرة، وبالتالي فإن تغيير Kℓᵏ سيؤدي أيضًا إلى تغيير Kℓᵏ ، ومن هنا جاء الحد ( 2 − δℓᵏ ) .

لماذا القيم الذاتية المعممة؟

في التطبيقات الأولية للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية، نجد العديد من المجالات العلمية التي تُستخدم فيها القيم الذاتية للحصول على حلول. تُعدّ مسائل القيم الذاتية المعممة أقل انتشارًا، لكنها أساسية في دراسة الاهتزازات . وهي مفيدة عند استخدام طريقة غاليركين أو طريقة رايلي-ريتز لإيجاد حلول تقريبية للمعادلات التفاضلية الجزئية التي تُحاكي اهتزازات الهياكل مثل الأوتار والصفائح؛ وتُعتبر ورقة كوران (1943) [ 4 ] مرجعًا أساسيًا في هذا المجال. وتُعدّ طريقة العناصر المحدودة حالة خاصة شائعة.

في الميكانيكا الكلاسيكية، قد تظهر القيم الذاتية المعممة عندما نبحث عن اهتزازات أنظمة متعددة درجات الحرية قريبة من حالة التوازن؛ حيث توفر الطاقة الحركية مصفوفة الكتلة.م{\displaystyle M}توفر طاقة الإجهاد الكامنة مصفوفة الصلابةك{\displaystyle K}لمزيد من التفاصيل، انظر القسم الأول من هذه المقالة لـ Weinstein (1941، باللغة الفرنسية) [ 5 ]

باستخدام كلتا الطريقتين، نحصل على نظام من المعادلات التفاضلية أو معادلة تفاضلية مصفوفيةمx¨+بx˙+كx=0{\displaystyle M{\ddot {x}}+B{\dot {x}}+Kx=0}مع مصفوفة الكتلةم{\displaystyle M}مصفوفة التخميدب{\displaystyle B}ومصفوفة الصلابةك{\displaystyle K}إذا أهملنا تأثير التخميد، فإننا نستخدمب=0{\displaystyle B=0}يمكننا البحث عن حل بالشكل التاليx=هـأناωتu{\displaystyle x=e^{i\omega t}u}نستنتج من ذلكu{\displaystyle u}وω2{\displaystyle \omega ^{2}}هي حلول لمسألة القيم الذاتية المعممة-ω2مu+كu=0{\displaystyle -\omega ^{2}Mu+Ku=0}

تحديد الاضطراب لمسألة القيم الذاتية المعممة

لنفترض أن لدينا حلولاً لمسألة القيم الذاتية المعممة ،

ك0x0أنا=λ0أنام0x0أنا.(0){\displaystyle \mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (0)}

أينك0{\displaystyle \mathbf {K} _{0}}وم0{\displaystyle \mathbf {M} _{0}}هي مصفوفات. أي أننا نعرف القيم الذاتية λ 0 i والمتجهات الذاتية x 0 i لـ i = 1، ...، N. ويُشترط أيضاً أن تكون القيم الذاتية متميزة .

لنفترض الآن أننا نريد تغيير المصفوفات بمقدار صغير. أي أننا نريد إيجاد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لـ

كxأنا=λأنامxأنا(1){\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {x} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}\qquad (1)}

أين

ك=ك0+دلتاكم=م0+دلتام{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} &=\mathbf {K} _{0}+\delta \mathbf {K} \\\mathbf {M} &=\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \end{aligned}}}

مع الاضطراباتدلتاك{\displaystyle \delta \mathbf {K} }ودلتام{\displaystyle \delta \mathbf {M} }أصغر بكثير منك{\displaystyle \mathbf {K} }وم{\displaystyle \mathbf {M} }على التوالي. ثم نتوقع أن تكون القيم الذاتية والمتجهات الذاتية الجديدة مشابهة للأصلية، بالإضافة إلى اضطرابات طفيفة:

λأنا=λ0أنا+دلتاλأناxأنا=x0أنا+دلتاxأنا{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}\\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\end{aligned}}}

خطوات

نفترض أن المصفوفات متناظرة وموجبة التحديد ، ونفترض أننا قمنا بتغيير مقياس المتجهات الذاتية بحيث

x0ج⊤م0x0أنا=دلتاأناج،{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\delta _{ij},\quad }xأناتيمxج=دلتاأناج(2){\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{T}\mathbf {M} \mathbf {x} _{j}=\delta _{ij}\qquad (2)}

حيث δ ij هي دالة كرونكر دلتا . الآن نريد حل المعادلة

كxأنا-λأنامxأنا=0.{\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {x} _{i}-\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}=0.}

في هذه المقالة، نقتصر الدراسة على الاضطراب من الدرجة الأولى.

توسيع المعادلة من الدرجة الأولى

بالتعويض في (1)، نحصل على

(ك0+دلتاك)(x0أنا+دلتاxأنا)=(λ0أنا+دلتاλأنا)(م0+دلتام)(x0أنا+دلتاxأنا)،{\displaystyle (\mathbf {K} _{0}+\delta \mathbf {K} )(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i})=\left(\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}\right)\left(\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \right)\left(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\right),}

والذي يتوسع إلى

ك0x0أنا+دلتاكx0أنا+ك0دلتاxأنا+دلتاكدلتاxأنا=λ0أنام0x0أنا+λ0أنام0دلتاxأنا+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا+λ0أنادلتامدلتاxأنا+دلتاλأنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0دلتاxأنا+دلتاλأنادلتامدلتاxأنا.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}&+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\\[6pt]&\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\quad \lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{aligned}}}

الإلغاء من (0) (ك0x0أنا=λ0أنام0x0أنا{\displaystyle \mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}}) أوراق

دلتاكx0أنا+ك0دلتاxأنا+دلتاكدلتاxأنا=λ0أنام0دلتاxأنا+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا+λ0أنادلتامدلتاxأنا+دلتاλأنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0دلتاxأنا+دلتاλأنادلتامدلتاxأنا.{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+&\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{aligned}}}

وبإزالة الحدود ذات الرتبة الأعلى، يتبسط هذا إلى

ك0دلتاxأنا+دلتاكx0أنا=λ0أنام0دلتاxأنا+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا.(3){\displaystyle \mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (3)}
بعبارة أخرى،دلتاλأنا{\displaystyle \delta \lambda _{i}} لم يعد يشير إلى التغير الدقيق للقيمة الذاتية، بل إلى تقريبها من الدرجة الأولى.

بما أن المصفوفة متناظرة، فإن المتجهات الذاتية غير المضطربة هيم{\displaystyle M}متعامدة، ولذلك نستخدمها كأساس للمتجهات الذاتية المضطربة. أي أننا نريد بناء

دلتاxأنا=∑ج=1شمالεأناجx0ج(4){\displaystyle \delta \mathbf {x} _{i}=\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}\qquad (4)\quad }معεأناج=x0جتيمدلتاxأنا{\displaystyle \varepsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{T}M\delta \mathbf {x} _{i}}،

حيث أن ε ij هي ثوابت صغيرة يجب تحديدها.

وبالمثل، بالتعويض في (2) وإزالة الحدود ذات الرتبة الأعلى، نحصل علىدلتاxجم0x0أنا+x0جم0دلتاxأنا+x0جدلتام0x0أنا=0(5){\displaystyle \delta \mathbf {x} _{j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0j}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}\delta \mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0\quad {(5)}}

يمكن أن يستمر الاشتقاق بفرعين.

التفرع الأول: الحصول على اضطراب القيمة الذاتية الأول

اضطراب القيم الذاتية
نبدأ بـ (3)ك0دلتاxأنا+دلتاكx0أنا=λ0أنام0دلتاxأنا+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا؛{\displaystyle \quad \mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i};}

لقد تركنا الضرب معx0أناتي{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{T}}وباستخدام (2) بالإضافة إلى تباينها من الدرجة الأولى (5)؛ نحصل على

x0أناتيدلتاكx0أنا=λ0أناx0أناتيدلتامx0أنا+دلتاλأنا{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}}

أو

دلتاλأنا=x0أناتيدلتاكx0أنا-λ0أناx0أناتيدلتامx0أنا{\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}

نلاحظ أنها تمثل اضطرابًا من الدرجة الأولى لحاصل رايلي المعمم مع قيمة ثابتةx0أنا{\displaystyle x_{0i}}:R(ك،م؛x0أنا)=x0أناتيكx0أنا/x0أناتيمx0أنا، مع x0أناتيمx0أنا=1{\displaystyle R(K,M;x_{0i})=x_{0i}^{T}Kx_{0i}/x_{0i}^{T}Mx_{0i},{\text{ with }}x_{0i}^{T}Mx_{0i}=1}

علاوة على ذلك، بالنسبة لـم=أنا{\displaystyle M=I}الصيغةدلتاλأنا=x0أناتيدلتاكx0أنا{\displaystyle \delta \lambda _{i}=x_{0i}^{T}\delta Kx_{0i}}ينبغي مقارنتها بنظرية باور-فايك التي توفر حدًا لاضطراب القيم الذاتية.

اضطراب المتجه الذاتي

لقد تركنا عملية الضرب (3) معx0جتي{\displaystyle x_{0j}^{T}}لج≠أنا{\displaystyle j\neq i}واحصل على

x0جتيك0دلتاxأنا+x0جتيدلتاكx0أنا=λ0أناx0جتيم0دلتاxأنا+λ0أناx0جتيدلتامx0أنا+دلتاλأناx0جتيم0x0أنا.{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

نحن نستخدمx0جتيك=λ0جx0جتيم و x0جتيم0x0أنا=0،{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}K=\lambda _{0j}\mathbf {x} _{0j}^{T}M{\text{ and }}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0,}لج≠أنا{\displaystyle j\neq i}.

λ0جx0جتيم0دلتاxأنا+x0جتيدلتاكx0أنا=λ0أناx0جتيم0دلتاxأنا+λ0أناx0جتيدلتامx0أنا.{\displaystyle \lambda _{0j}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.}

أو

(λ0ج-λ0أنا)x0جتيم0دلتاxأنا+x0جتيدلتاكx0أنا=λ0أناx0جتيدلتامx0أنا.{\displaystyle (\lambda _{0j}-\lambda _{0i})\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.}

بما أن القيم الذاتية مفترضة بسيطة، لـج≠أنا{\displaystyle j\neq i}

ϵأناج=x0جتيم0دلتاxأنا=-x0جتيدلتاكx0أنا+λ0أناx0جتيدلتامx0أنا(λ0ج-λ0أنا)،أنا=1،...شمال؛ج=1،...شمال؛ج≠أنا.{\displaystyle \epsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots N;j=1,\dots N;j\neq i.}

علاوة على ذلك، ينتج عن (5) (التغير من الدرجة الأولى لـ (2)) 2ϵأناأنا=2x0أناتيم0دلتاxأنا=-x0أناتيدلتامx0أنا.{\displaystyle 2\epsilon _{ii}=2\mathbf {x} _{0i}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta x_{i}=-\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta M\mathbf {x} _{0i}.} لقد حصلنا على جميع مكوناتدلتاxأنا{\displaystyle \delta x_{i}}.

الفرع الثاني: عمليات معالجة مباشرة

بالتعويض من (4) في (3) وإعادة الترتيب نحصل على

ك0∑ج=1شمالεأناجx0ج+دلتاكx0أنا=λ0أنام0∑ج=1شمالεأناجx0ج+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا(5)∑ج=1شمالεأناجك0x0ج+دلتاكx0أنا=λ0أنام0∑ج=1شمالεأناجx0ج+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا(تطبيق ك0 إلى المجموع)∑ج=1شمالεأناجλ0جم0x0ج+دلتاكx0أنا=λ0أنام0∑ج=1شمالεأناجx0ج+λ0أنادلتامx0أنا+دلتاλأنام0x0أنا(باستخدام المعادلة. (1)){\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&(5)\\\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&\\({\text{applying }}\mathbf {K} _{0}{\text{ to the sum}})\\\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\lambda _{0j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&({\text{using Eq. }}(1))\end{aligned}}}

بما أن المتجهات الذاتية تكون متعامدة بالنسبة لـ M0 عندما تكون M0 موجبة التحديد، فيمكننا إزالة عمليات الجمع عن طريق الضرب من اليسار بـx0أنا⊤{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }}:

x0أنا⊤εأناأناλ0أنام0x0أنا+x0أنا⊤دلتاكx0أنا=λ0أناx0أنا⊤م0εأناأناx0أنا+λ0أناx0أنا⊤دلتامx0أنا+دلتاλأناx0أنا⊤م0x0أنا.{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\varepsilon _{ii}\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

باستخدام المعادلة (1) مرة أخرى:

x0أنا⊤ك0εأناأناx0أنا+x0أنا⊤دلتاكx0أنا=λ0أناx0أنا⊤م0εأناأناx0أنا+λ0أناx0أنا⊤دلتامx0أنا+دلتاλأناx0أنا⊤م0x0أنا.(6){\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (6)}

الحدّان اللذان يحتويان على ε ii متساويان لأنه بضرب (1) من اليسار بـx0أنا⊤{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }}أعطِ

x0أنا⊤ك0x0أنا=λ0أناx0أنا⊤م0x0أنا.{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

يؤدي إلغاء تلك الحدود في (6) إلى

x0أنا⊤دلتاكx0أنا=λ0أناx0أنا⊤دلتامx0أنا+دلتاλأناx0أنا⊤م0x0أنا.{\displaystyle \mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}

إعادة الترتيب تعطي

دلتاλأنا=x0أنا⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أناx0أنا⊤م0x0أنا{\displaystyle \delta \lambda _{i}={\frac {\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}}}}

لكن بحسب (2)، فإن هذا المقام يساوي 1. وبالتالي

دلتاλأنا=x0أنا⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أنا.{\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}.}

ثم، كماλأنا≠λك{\displaystyle \lambda _{i}\neq \lambda _{k}}لأنا≠ك{\displaystyle i\neq k} (بافتراض قيم ذاتية بسيطة) عن طريق ضرب المعادلة (5) من اليسار بواسطةx0ك⊤{\displaystyle \mathbf {x} _{0k}^{\top }}:

εأناك=x0ك⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أناλ0أنا-λ0ك،أنا≠ك.{\displaystyle \varepsilon _{ik}={\frac {\mathbf {x} _{0k}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0k}}},\qquad i\neq k.}

أو عن طريق تغيير اسم الفهارس:

εأناج=x0ج⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أناλ0أنا-λ0ج،أنا≠ج.{\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}},\qquad i\neq j.}

لإيجاد قيمة ε ii ، استخدم الحقيقة التالية:

xأنا⊤مxأنا=1{\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{\top }\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}=1}

يعني:

εأناأنا=-12x0أنا⊤دلتامx0أنا.{\displaystyle \varepsilon _{ii}=-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}.}

ملخص نتائج الاضطراب من الدرجة الأولى

في حالة كون جميع المصفوفات هيرميتية موجبة التحديد وجميع القيم الذاتية متميزة ،

λأنا=λ0أنا+x0أنا⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أناxأنا=x0أنا(1-12x0أنا⊤دلتامx0أنا)+∑ج=1ج≠أناشمالx0ج⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أناλ0أنا-λ0جx0ج{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}\left(1-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}\right)+\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\end{aligned}}}

لأشياء متناهية الصغردلتاك{\displaystyle \delta \mathbf {K} }ودلتام{\displaystyle \delta \mathbf {M} }(مع إهمال الحدود ذات الرتبة الأعلى في (3)).

لم نُثبت حتى الآن إمكانية إهمال هذه الحدود ذات الرتبة الأعلى. يمكن استنتاج هذه النقطة باستخدام نظرية الدالة الضمنية؛ في القسم التالي، نلخص استخدام هذه النظرية للحصول على متسلسلة من الرتبة الأولى.

الاشتقاق النظري

اضطراب دالة ضمنية.

في الفقرة التالية، سنستخدم نظرية الدالة الضمنية (نص النظرية)؛ نلاحظ أنه بالنسبة لدالة قابلة للتفاضل باستمرارو:Rن+م→Rم،و:(x،y)↦و(x،y){\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m},\;f:(x,y)\mapsto f(x,y)}، مع مصفوفة جاكوبية قابلة للعكس جو،ب(x0،y0){\displaystyle J_{f,b}(x_{0},y_{0})}من وجهة نظر(x0،y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}حل و(x0،y0)=0{\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}، نحصل على حلول لـو(x،y)=0{\displaystyle f(x,y)=0}معx{\displaystyle x}بالقرب منx0{\displaystyle x_{0}}على شكلy=ز(x){\displaystyle y=g(x)}أينز{\displaystyle g}هي دالة قابلة للتفاضل باستمرار  ؛ علاوة على ذلك، فإن مصفوفة جاكوبي لـز{\displaystyle g}يتم توفيرها بواسطة النظام الخطي 

جو،y(x،ز(x))جز،x(x)+جو،x(x،ز(x))=0(6){\displaystyle J_{f,y}(x,g(x))J_{g,x}(x)+J_{f,x}(x,g(x))=0\quad (6)}.

بمجرد تحقق فرضية النظرية، تصبح مصفوفة جاكوبي لـز{\displaystyle g}يمكن حسابها باستخدام توسيع من الدرجة الأولى لـ و(x0+دلتاx،y0+دلتاy)=0{\displaystyle f(x_{0}+\delta x,y_{0}+\delta y)=0}، نحصل

جو،x(x،ز(x))دلتاx+جو،y(x،ز(x))دلتاy=0{\displaystyle J_{f,x}(x,g(x))\delta x+J_{f,y}(x,g(x))\delta y=0}؛ مثلدلتاy=جز،x(x)دلتاx{\displaystyle \delta y=J_{g,x}(x)\delta x}، وهو ما يعادل المعادلة(6){\displaystyle (6)}.

اضطراب القيم الذاتية: أساس نظري.

نستخدم الفقرة السابقة (اضطراب دالة ضمنية) برموز مختلفة نوعًا ما تناسب اضطراب القيم الذاتية؛ ونقدمو~:R2ن2×Rن+1→Rن+1{\displaystyle {\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{2n^{2}}\times \mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n+1}}، مع

  • و~(ك،م،λ،x)=(و(ك،م،λ،x)ون+1(x)){\displaystyle {\tilde {f}}(K,M,\lambda ,x)={\binom {f(K,M,\lambda ,x)}{f_{n+1}(x)}}}مع

و(ك،م،λ،x)=كx-λx،ون+1(م،x)=xتيمx-1{\displaystyle f(K,M,\lambda ,x)=Kx-\lambda x,f_{n+1}(M,x)=x^{T}Mx-1}من أجل استخدام نظرية الدالة الضمنية ، ندرس قابلية عكس مصفوفة جاكوبيجو~؛λ،x(ك،م؛λ0أنا،x0أنا){\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda ,x}(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})}مع

جو~؛λ،x(ك،م؛λأنا،xأنا)(دلتاλ،دلتاx)=(-مxأنا0)دلتاλ+(ك-λم2xأناتيم)دلتاxأنا{\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda ,x}(K,M;\lambda _{i},x_{i})(\delta \lambda ,\delta x)={\binom {-Mx_{i}}{0}}\delta \lambda +{\binom {K-\lambda M}{2x_{i}^{T}M}}\delta x_{i}}في الواقع، حل

جو~؛λ0أنا،x0أنا(ك،م؛λ0أنا،x0أنا)(دلتاλأنا،دلتاxأنا)={\displaystyle J_{{\tilde {f}};\lambda _{0i},x_{0i}}(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})(\delta \lambda _{i},\delta x_{i})=}(yyن+1){\displaystyle {\binom {y}{y_{n+1}}}}يمكن اشتقاقها باستخدام حسابات مماثلة لاشتقاق التوسع.

دلتاλأنا=-x0أناتيy، و (λ0أنا-λ0ج)x0جتيمدلتاxأنا=xجتيy،ج=1،...،ن،ج≠أنا؛{\displaystyle \delta \lambda _{i}=-x_{0i}^{T}y,\;{\text{ and }}(\lambda _{0i}-\lambda _{0j})x_{0j}^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y,j=1,\dots ,n,j\neq i\;;} أو x0جتيمدلتاxأنا=xجتيy/(λ0أنا-λ0ج)، و 2x0أناتيمدلتاxأنا=yن+1{\displaystyle {\text{ or }}x_{0j}^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y/(\lambda _{0i}-\lambda _{0j}),{\text{ and }}\;2x_{0i}^{T}M\delta x_{i}=y_{n+1}}

متىλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}هي قيمة ذاتية بسيطة، مثل المتجهات الذاتيةx0ج،ج=1،...،ن{\displaystyle x_{0j},j=1,\dots ,n}تشكل أساسًا متعامدًا، ولأي جانب أيمن، حصلنا على حل واحد، وبالتالي فإن جاكوبيان قابل للعكس.

تنص نظرية الدالة الضمنية على دالة قابلة للتفاضل باستمرار (ك،م)↦(λأنا(ك،م)،xأنا(ك،م)){\displaystyle (K,M)\mapsto (\lambda _{i}(K,M),x_{i}(K,M))} ومن ثم التوسع باستخدام رمز o الصغير : λأنا=λ0أنا+دلتاλأنا+o(‖دلتاك‖+‖دلتام‖){\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)}xأنا=x0أنا+دلتاxأنا+o(‖دلتاك‖+‖دلتام‖){\displaystyle x_{i}=x_{0i}+\delta x_{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)}. مع

دلتاλأنا=x0أناتيدلتاكx0أنا-λ0أناx0أناتيدلتامx0أنا؛{\displaystyle \delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i};}دلتاxأنا=x0جتيم0دلتاxأناx0ج مع{\displaystyle \delta x_{i}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}\mathbf {x} _{0j}{\text{ with}}}x0جتيم0دلتاxأنا=-x0جتيدلتاكx0أنا+λ0أناx0جتيدلتامx0أنا(λ0ج-λ0أنا)،أنا=1،...ن؛ج=1،...ن؛ج≠أنا.{\displaystyle \mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots n;j=1,\dots n;j\neq i.} هذا هو التوسع من الدرجة الأولى للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية المضطربة، وهو ما تم إثباته.

نتائج تحليل الحساسية فيما يتعلق بمدخلات المصفوفات

النتائج

هذا يعني أنه من الممكن إجراء تحليل حساسية فعال لـ λ i كدالة للتغيرات في عناصر المصفوفات. (تذكر أن المصفوفات متناظرة، وبالتالي فإن تغيير K k ℓ سيؤدي أيضًا إلى تغيير K ℓ k ، ومن هنا جاء الحد (2 − δ k ℓ ) .)

∂λأنا∂ك(كℓ)=∂∂ك(كℓ)(λ0أنا+x0أنا⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أنا)=x0أنا(ك)x0أنا(ℓ)(2-دلتاكℓ)∂λأنا∂م(كℓ)=∂∂م(كℓ)(λ0أنا+x0أنا⊤(دلتاك-λ0أنادلتام)x0أنا)=-λأناx0أنا(ك)x0أنا(ℓ)(2-دلتاكℓ).{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}&={\frac {\partial }{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}\left(\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\right)=x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right)\\{\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}&={\frac {\partial }{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}\left(\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\right)=-\lambda _{i}x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right).\end{aligned}}}

بصورة مماثلة

∂xأنا∂ك(كℓ)=∑ج=1ج≠أناشمالx0ج(ك)x0أنا(ℓ)(2-دلتاكℓ)λ0أنا-λ0جx0ج∂xأنا∂م(كℓ)=-x0أناx0أنا(ك)x0أنا(ℓ)2(2-دلتاكℓ)-∑ج=1ج≠أناشمالλ0أناx0ج(ك)x0أنا(ℓ)λ0أنا-λ0جx0ج(2-دلتاكℓ).{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {x} _{i}}{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}&=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {x_{0j(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right)}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\\{\frac {\partial \mathbf {x} _{i}}{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}&=-\mathbf {x} _{0i}{\frac {x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}}{2}}(2-\delta _{k\ell })-\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {\lambda _{0i}x_{0j(k)}x_{0i(\ell )}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\left(2-\delta _{k\ell }\right).\end{aligned}}}

حساسية القيم الذاتية، مثال صغير

الحالة البسيطة هيك=[2بب0]{\displaystyle K={\begin{bmatrix}2&b\\b&0\end{bmatrix}}}ومع ذلك، يمكنك حساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية بمساعدة أدوات عبر الإنترنت مثل (انظر المقدمة في ويكيبيديا WIMS ) أو باستخدام SageMath . ستحصل على أصغر قيمة ذاتية λ=-[ب2+1+1]{\displaystyle \lambda =-\left[{\sqrt {b^{2}+1}}+1\right]}وحساب صريح∂λ∂ب=-xx2+1{\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}={\frac {-x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}علاوة على ذلك، فإن المتجه الذاتي المرتبط هوx~0=[x،-(x2+1+1))]تي{\displaystyle {\tilde {x}}_{0}=[x,-({\sqrt {x^{2}+1}}+1))]^{T}}إنه ليس متجهًا وحدويًا؛ لذاx01x02=x~01x~02/‖x~0‖2{\displaystyle x_{01}x_{02}={\tilde {x}}_{01}{\tilde {x}}_{02}/\|{\tilde {x}}_{0}\|^{2}}نحصل على‖x~0‖2=2x2+1(x2+1+1){\displaystyle \|{\tilde {x}}_{0}\|^{2}=2{\sqrt {x^{2}+1}}({\sqrt {x^{2}+1}}+1)}وx~01x~02=-x(x2+1+1){\displaystyle {\tilde {x}}_{01}{\tilde {x}}_{02}=-x({\sqrt {x^{2}+1}}+1)} ؛ لذلكx01x02=-x2x2+1{\displaystyle x_{01}x_{02}=-{\frac {x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}}في هذا المثال، قمنا بالتحقق من أن∂λ∂ب=2x01x02{\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}=2x_{01}x_{02}}أودلتاλ=2x01x02دلتاب{\displaystyle \delta \lambda =2x_{01}x_{02}\delta b}.

وجود المتجهات الذاتية

لاحظ أنه في المثال أعلاه افترضنا أن كلا النظامين، غير المضطرب والمضطرب، يتضمنان مصفوفات متناظرة ، مما يضمن وجودشمال{\displaystyle N}المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا. لا يُضمن أن تكون مسألة القيم الذاتية التي تتضمن مصفوفات غير متناظرة ذات متجهات ذاتية مستقلة خطيًا.شمال{\displaystyle N}المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا، على الرغم من أن الشرط الكافي هو أنك{\displaystyle \mathbf {K} }وم{\displaystyle \mathbf {M} }أن تكون قابلة للقطر في آن واحد .

حالة القيم الذاتية المتكررة

يُقدّم تقريرٌ فنيٌّ لريليتش [ 6 ] حول اضطراب مسائل القيم الذاتية العديد من الأمثلة. توجد الأمثلة الأولية في الفصل الثاني. يمكن تحميل التقرير من موقع archive.org . نعرض مثالًا تُظهر فيه المتجهات الذاتية سلوكًا غير متوقع.

المثال 1

ضع في اعتبارك المصفوفة التاليةب(ϵ)=ϵ[كوس⁡(2/ϵ)،الخطيئة⁡(2/ϵ)الخطيئة⁡(2/ϵ)،sكوس⁡(2/ϵ)]{\displaystyle B(\epsilon )=\epsilon {\begin{bmatrix}\cos(2/\epsilon )&,\sin(2/\epsilon )\\\sin(2/\epsilon )&,s\cos(2/\epsilon )\end{bmatrix}}} وأ(ϵ)=أنا-هـ-1/ϵ2ب؛{\displaystyle A(\epsilon )=I-e^{-1/\epsilon ^{2}}B;}أ(0)=أنا.{\displaystyle A(0)=I.} لϵ≠0{\displaystyle \epsilon \neq 0}، المصفوفةأ(ϵ){\displaystyle A(\epsilon )}له متجهات ذاتيةΦ1=[كوس⁡(1/ϵ)،-الخطيئة⁡(1/ϵ)]تي؛Φ2=[الخطيئة⁡(1/ϵ)،-كوس⁡(1/ϵ)]تي{\displaystyle \Phi ^{1}=[\cos(1/\epsilon ),-\sin(1/\epsilon )]^{T};\Phi ^{2}=[\sin(1/\epsilon ),-\cos(1/\epsilon )]^{T}}ينتمي إلى القيم الذاتيةλ1=1-هـ-1/ϵ2)،λ2=1+هـ-1/ϵ2){\displaystyle \lambda _{1}=1-e^{-1/\epsilon ^{2})},\lambda _{2}=1+e^{-1/\epsilon ^{2})}}. منذλ1≠λ2{\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}لϵ≠0{\displaystyle \epsilon \neq 0}لوuج(ϵ)،ج=1،2،{\displaystyle u^{j}(\epsilon ),j=1,2,}هل تنتمي أي متجهات ذاتية معيارية إلىλج(ϵ)،ج=1،2{\displaystyle \lambda _{j}(\epsilon ),j=1,2}على التوالي ثمuج=هـαج(ϵ)Φج(ϵ){\displaystyle u^{j}=e^{\alpha _{j}(\epsilon )}\Phi ^{j}(\epsilon )}أين αج،ج=1،2{\displaystyle \alpha _{j},j=1,2}حقيقي لـϵ≠0.{\displaystyle \epsilon \neq 0.} من الواضح أنه من المستحيل تعريفهα1(ϵ){\displaystyle \alpha _{1}(\epsilon )}على سبيل المثال، بطريقة تجعلu1(ϵ){\displaystyle u^{1}(\epsilon )}يميل إلى حد معين عندماϵ→0،{\displaystyle \epsilon \rightarrow 0,}لأن|u1(ϵ)|=|كوس⁡(1/ϵ)|{\displaystyle |u^{1}(\epsilon )|=|\cos(1/\epsilon )|}ليس له حدود لأنϵ→0.{\displaystyle \epsilon \rightarrow 0.}

لاحظ في هذا المثال أنأجك(ϵ){\displaystyle A_{jk}(\epsilon )} ليست متصلة فحسب، بل لها أيضًا مشتقات متصلة من جميع الرتب. يستخلص ريليش النتيجة المهمة التالية: «بما أن المتجهات الذاتية الفردية لا تعتمد بشكل عام على معامل الاضطراب بشكل متصل، على الرغم من أن المؤثرأ(ϵ){\displaystyle A(\epsilon )}إذا كان الأمر كذلك، فمن الضروري العمل ليس مع متجه ذاتي، بل مع الفضاء الذي تشكله جميع المتجهات الذاتية التي تنتمي إلى نفس القيمة الذاتية.

المثال 2

هذا المثال أقل سوءًا من المثال السابق. لنفترض[ك0]{\displaystyle [K_{0}]}إذا كانت مصفوفة الوحدة 2×2 ، فإن أي متجه فيها هو متجه ذاتي؛u0=[1،1]تي/2{\displaystyle u_{0}=[1,1]^{T}/{\sqrt {2}}}يُعدّ متجهًا ذاتيًا محتملاً. ولكن إذا أُجريَ تغيير طفيف، مثل

[ك]=[ك0]+[ϵ000]{\displaystyle [K]=[K_{0}]+{\begin{bmatrix}\epsilon &0\\0&0\end{bmatrix}}}

ثم تكون المتجهات الذاتيةv1=[1،0]تي{\displaystyle v_{1}=[1,0]^{T}}وv2=[0،1]تي{\displaystyle v_{2}=[0,1]^{T}}وهي ثابتة بالنسبة إلىϵ{\displaystyle \epsilon }لهذا السبب.‖u0-v1‖{\displaystyle \|u_{0}-v_{1}\|}ثابت ولا يؤول إلى الصفر.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ رايلي، جيه دبليو إس (1894). نظرية الصوت . المجلد  1 (  الطبعة الثانية). لندن: ماكميلان. الصفحات 114-118 . ISBN  1-152-06023-6.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  2. ↑ كوران، ر. (1943). "الأساليب التباينية لحل مسائل التوازن والاهتزازات" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 49 : 1-23 . doi : 10.1090/S0002-9904-1943-07818-4 .
  3. ^ وينشتاين، أ. (1941). "الاهتزازات وحساب الاختلافات" . البرتغالية الرياضيات (بالفرنسية). 2 (2): 36-55 .
  4. ↑ كوران، ر. (1943). "الأساليب التباينية لحل مسائل التوازن والاهتزازات" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 49 : 1-23 . doi : 10.1090/S0002-9904-1943-07818-4 .
  5. ^ وينشتاين، أ. (1941). "الاهتزازات وحساب الاختلافات" . البرتغالية الرياضيات (بالفرنسية). 2 (2): 36-55 .
  6. ↑ ريليتش، ف. (1954). نظرية الاضطراب لمسائل القيم الذاتية . مطبعة سي آر سي.

للمزيد من القراءة

الكتب

  • رين-كانغ لي (2014). "نظرية اضطراب المصفوفات". في هوغبن، ليزلي (محرر). دليل الجبر الخطي (  الطبعة الثانية). مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1466507289.
  • ريليتش، ف.، وبيركويتز، ج. (1969). نظرية الاضطراب لمسائل القيم الذاتية. مطبعة سي آر سي .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link ) .
  • بهاتيا، ر. (1987). حدود الاضطراب للقيم الذاتية للمصفوفة. SIAM.

تقرير

  • ريليش، فرانز (1954). نظرية الاضطراب لمسائل القيم الذاتية . نيويورك: معهد كورانت للعلوم الرياضية، جامعة نيويورك.

أوراق بحثية منشورة في المجلات العلمية

  • سايمون، ب. (1982). الرتب الكبيرة وقابلية جمع نظرية اضطراب القيم الذاتية: نظرة عامة رياضية. المجلة الدولية للكيمياء الكمية ، 21(1)، 3-25.
  • كراندال، إم جي، ورابينوفيتز، بي إتش (1973). التشعب، واضطراب القيم الذاتية البسيطة، والاستقرار الخطي. أرشيف الميكانيكا والتحليل العقلاني، 52(2)، 161-180.
  • ستيوارت، جي دبليو (1973). حدود الخطأ والاضطراب للفضاءات الجزئية المرتبطة ببعض مسائل القيم الذاتية. مراجعة SIAM، 15(4)، 727-764.
  • لودين، ب.و. (1962). دراسات في نظرية الاضطراب. الجزء الرابع: حل مسألة القيم الذاتية باستخدام صيغة عامل الإسقاط. مجلة الفيزياء الرياضية ، 3(5)، 969-982.