دالة أويلر

في الرياضيات ، تُعطى دالة أويلر بالصيغة التالية:

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),\quad |q|<1.}$

سميت على اسم ليونارد أويلر ، وهي مثال نموذجي لسلسلة q وتقدم المثال النموذجي للعلاقة بين التوافقية والتحليل المركب .

المعامل​${\displaystyle p(k)}$في توسيع سلسلة القوى الرسمية لـ${\displaystyle 1/\phi (q)}$يُعطي عدد تقسيمات k . أي،

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}}$

أين${\displaystyle p}$هي دالة التقسيم .

متطابقة أويلر ، والمعروفة أيضًا باسم نظرية الأعداد الخماسية ، هي

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.}$

${\displaystyle (3n^{2}-n)/2}$هو عدد خماسي .

ترتبط دالة أويلر بدالة إيتا ديديكيند كما يلي:

${\displaystyle \phi (e^{2\pi i\tau })=e^{-\pi i\tau /12}\eta (\tau ).}$

يمكن التعبير عن دالة أويلر كرمز بوخامر- q :

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }.}$

إن لوغاريتم دالة أويلر هو مجموع اللوغاريتمات في عبارة الضرب، والتي يمكن توسيع كل منها حول q = 0، مما ينتج عنه

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}},}$

وهي متسلسلة لامبرت بمعاملات -1/ n . وبالتالي، يمكن التعبير عن لوغاريتم دالة أويلر على النحو التالي:

${\displaystyle \ln(\phi (q))=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}q^{n}}$

أين${\displaystyle b_{n}=-\sum _{d|n}{\frac {1}{d}}=}$-[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (انظر OEIS A000203 )

بسبب الهوية${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d|n}d=\sum _{d|n}{\frac {n}{d}}}$، أين${\displaystyle \sigma (n)}$هي دالة مجموع القواسم ، ويمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي:

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}\ q^{n}}$.

أيضًا إذا${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$و${\displaystyle ab=\pi ^{2}}$ثم ^{[ 1 ]}

${\displaystyle a^{1/4}e^{-a/12}\phi (e^{-2a})=b^{1/4}e^{-b/12}\phi (e^{-2b}).}$

تأتي الهويات التالية من دفاتر رامانوجان : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \phi (e^{-\pi })={\frac {e^{\pi /24}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-2\pi })={\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-4\pi })={\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-8\pi })={\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{29/16}\pi ^{3/4}}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}}$

باستخدام نظرية العدد الخماسي ، وتبديل المجموع والتكامل ، ثم استدعاء الطرق التحليلية المعقدة، يمكن استنتاج ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (q)\,\mathrm {d} q={\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}}\right)-1}}.}$

• أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001