خاتم ممتاز

• خاتم${\displaystyle R}$يحتوي على حقل${\displaystyle k}$يُطلق عليها اسم منتظمة هندسيًا على${\displaystyle k}$إذا كان لأي امتداد محدود${\displaystyle K}$ل${\displaystyle k}$الخاتم${\displaystyle R\otimes _{k}K}$منتظم .​
• تماثل الحلقات من${\displaystyle R\to S}$يُطلق عليه اسم منتظم إذا كان مسطحًا ولكل${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)}$الألياف${\displaystyle S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})}$منتظم هندسيًا على حقل البقايا${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})}$ل${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.
• خاتم${\displaystyle R}$تُسمى حلقة G ^{[ 1 ]} (أو حلقة غروتينديك ) إذا كانت نوثرية وأليافها الشكلية منتظمة هندسيًا؛ وهذا يعني أنه لأي${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)}$الخريطة من الحلقة المحلية${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\to {\hat {R_{\mathfrak {p}}}}}$إن إتمامها منتظم بالمعنى المذكور أعلاه.
• وأخيراً، خاتم${\displaystyle R}$J-2 إذا كان أي نوع محدود${\displaystyle R}$-الجبر${\displaystyle S}$J -1 ، أي المخطط الفرعي العادي${\displaystyle {\text{Reg}}({\text{Spec}}(S))\subset {\text{Spec}}(S)}$مفتوح. ^{[ 2 ]}

خاتم${\displaystyle R}$يُطلق عليه اسم شبه ممتاز إذا كان حلقة G وحلقة J-2. ويُطلق عليه اسم ممتاز ^{[ 3 ] صفحة 214} إذا كان شبه ممتاز وسلسلة حلقية شاملة .

يُطلق على المخطط اسم ممتاز أو شبه ممتاز إذا كان له غطاء بواسطة مخططات فرعية مفتوحة ذات خاصية مماثلة، مما يعني أن كل مخطط فرعي مفتوح له هذه الخاصية.

في ظل خطة ممتازة${\displaystyle X}$وتشكل من النوع المحدود محليًا${\displaystyle f:X'\to X}$، ثم${\displaystyle X'}$ممتاز ^{[ 3 ] صفحة 217} .

أي خاتم شبه ممتاز هو خاتم ناجاتا .

أي حلقة محلية مختزلة شبه ممتازة تكون مختزلة تحليليًا .

أي حلقة محلية طبيعية شبه ممتازة تكون طبيعية تحليليًا .

معظم الحلقات التبادلية التي تظهر بشكل طبيعي في نظرية الأعداد أو الهندسة الجبرية ممتازة. على وجه الخصوص:

• جميع الحلقات المحلية الكاملة من نوع نوثر، على سبيل المثال جميع الحقول وحلقة Z _p للأعداد الصحيحة p -adic ، ممتازة.
• جميع مجالات ديديكيند ذات الخاصية صفر ممتازة. وعلى وجه الخصوص، فإن حلقة الأعداد الصحيحة Z ممتازة . أما مجالات ديديكيند على الحقول ذات الخاصية الأكبر من صفر فليست بالضرورة ممتازة.
• تُعد حلقات متسلسلات القوى المتقاربة في عدد محدود من المتغيرات على R أو C ممتازة.
• أي تحديد لموقع حلقة ممتازة هو أمر ممتاز.
• أي جبر مولد نهائيًا على حلقة ممتازة هو جبر ممتاز. وهذا يشمل جميع جبر كثيرات الحدود${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{k})}$مع${\displaystyle R}$ممتاز. هذا يعني أن معظم الحلقات التي يتم النظر فيها في الهندسة الجبرية ممتازة.

فيما يلي مثال على حلقة تقييم منفصلة A ذات بُعد 1 وخاصية p > 0 ، وهي J-2 ولكنها ليست حلقة G، وبالتالي فهي ليست شبه ممتازة. إذا كان k أي حقل ذي خاصية p حيث [ k  : kp ^] = ∞ و A هي حلقة متسلسلات القوى Σ a_{_i} ^xi بحيث [ kp ( ^a _₀ , a₁, ...) : kp] منتهية ، فإن _{الألياف} الشكلية لـ A ^ليست  جميعها منتظمة هندسيًا، لذا فإن A ليست حلقة G. إنها حلقة J-2 لأن جميع الحلقات المحلية النويثرية ذات البُعد 1 على الأكثر هي حلقات J-2 . وهي أيضًا حلقة سلسلة شاملة لأنها مجال ديديكيند. هنا، ^kp تُشير إلى صورة k تحت تشاكل فروبينيوس a → ap ^.

إليك مثال على حلقة هي حلقة G ولكنها ليست حلقة J-2، وبالتالي فهي ليست شبه ممتازة. إذا كانت _{R هي الحلقة الفرعية من حلقة كثيرات الحدود k[x₁} , x₂ , ... ] في عدد لا نهائي _من المولدات الناتجة عن مربعات ومكعبات جميع المولدات، و S مُشتقة من R بإضافة معكوسات إلى جميع العناصر غير الموجودة في أي من المُثُل المُولدة بواسطة xₙ _، فإن S هي مجال نوثري أحادي البعد، وهي ليست حلقة J-1 لأن S لها نقطة شاذة عند كل نقطة مغلقة ، لذا فإن مجموعة النقاط الشاذة ليست مغلقة، على الرغم من أنها حلقة G. هذه الحلقة أيضًا سلسلة شاملة، لأن موضعها عند كل مُثُل أولية هو خارج قسمة حلقة منتظمة.

يُعد مثال ناجاتا لحلقة محلية نوثرية ثنائية الأبعاد، ذات بنية سلسلة ولكنها ليست سلسلة شاملة، حلقة G، وهي أيضًا حلقة J-2، إذ أن أي حلقة G محلية هي حلقة J-2 ( ماتسومورا 1980 ، ص 88، 260) . لذا فهي حلقة محلية شبه ممتازة ذات بنية سلسلة، وليست ممتازة.