دقة موسعة

قدم جهاز IBM 1130 ، الذي طُرح للبيع عام 1965، ^{[ 2 ]} صيغتين لحساب الفاصلة العائمة: صيغة "الدقة القياسية" ذات 32 بت، وصيغة "الدقة الموسعة" ذات 40 بت. تحتوي صيغة الدقة القياسية على جزء دال مكون من 24 بت بنظام المتمم الثنائي ، بينما تستخدم صيغة الدقة الموسعة جزءًا دالًا مكونًا من 32 بت بنظام المتمم الثنائي. تستفيد الصيغة الأخيرة استفادة كاملة من عمليات الأعداد الصحيحة ذات 32 بت في وحدة المعالجة المركزية. السمة المشتركة في كلتا الصيغتين هي حقل مكون من 8 بت يحتوي على قوة العدد 2 مضروبة في 128. تُنفذ عمليات حساب الفاصلة العائمة بواسطة البرمجيات، ولا تدعم هذه الصيغة الدقة المزدوجة إطلاقًا. تشغل الصيغة الموسعة ثلاث كلمات، كل منها مكونة من 16 بت، ويتم تجاهل المساحة الإضافية ببساطة. ^{[ 3 ]}

يدعم نظام IBM System/360 تنسيق الفاصلة العائمة "القصير" ذو 32 بت، وتنسيق الفاصلة العائمة "الطويل" ذو 64 بت. ^{[ 4 ]} ويضيف نظاما 360/85 و System/370 اللاحقان دعمًا لتنسيق "ممتد" ذو 128 بت. ^{[ 5 ]} ولا تزال هذه التنسيقات مدعومة في التصميم الحالي ، حيث تُعرف الآن باسم تنسيقات " الفاصلة العائمة السداسية عشرية " (HFP).

يدعم منفذ Microsoft BASIC لوحدة المعالجة المركزية 6502 ، كما هو الحال في التعديلات مثل Commodore BASIC و AppleSoft BASIC و KIM-1 BASIC أو MicroTAN BASIC ، إصدارًا موسعًا من تنسيق الفاصلة العائمة Microsoft Binary Format (MBF) منذ عام 1977. ^{[ 6 ]}

يوصي معيار IEEE 754 للفاصلة العائمة بتوفير تنسيقات ذات دقة موسعة. يحدد المعيار الحد الأدنى من متطلبات التنسيق الموسع، ولكنه لا يحدد ترميزًا معينًا. ^{[ 7 ]} ويعود اختيار الترميز إلى المطور. ^{[ 8 ]}

تدعم معالجات IA32 و x86-64 و Itanium ما هو إلى حد بعيد التنسيق الأكثر تأثيرًا على هذا المعيار، وهو تنسيق Intel 80 بت (64 بت ذات دلالة) "الممتد المزدوج"، الموصوف في القسم التالي .

تدعم معالجات الرياضيات المساعدة Motorola 6888x ومعالجات Motorola 68040 و 68060 أيضًا تنسيقًا ذا دقة موسعة للمعامل ذي 64 بت (مشابه لتنسيق Intel، مع  إضافة 16 بت غير مستخدمة بين حقلي الأس والمعامل إلى تنسيق 96 بت، وتُعتبر القيم ذات الأس صفر والبت 63 واحد قيمًا مُعَيَّرة ^{[ 9 ]} ). أما معالجات Coldfire اللاحقة فلا تدعم هذا التنسيق ذي الدقة الموسعة 96 بت. ^{[ 10 ]}

يدعم المعالج المساعد الرياضي FPA10 للمعالجات ARM المبكرة أيضًا تنسيقًا ذا دقة موسعة للمعاملات ذات 64 بت (مشابه لتنسيق Intel على الرغم من أنه مُضاف إليه 16  بتًا صفريًا بين حقل الإشارة وحقل الأس ليصبح تنسيقًا ذا 96 بت)، ولكن بدون تقريب صحيح. ^{[ 11 ]}

تتوافق تنسيقات x87 و Motorola  68881 ذات 80 بت مع متطلبات تنسيق IEEE 754-1985 المزدوج الممتد، ^{[ 12 ]} كما هو الحال مع تنسيق IEEE  754 الثنائي ذي 128 بت .

تُقدَّم هذه الأمثلة بتمثيل البتات ، بالنظام الست عشري ، لقيمة الفاصلة العائمة. ويشمل ذلك الإشارة، والأس (المتحيز)، والجزء الكسري.

0000 0000 0000 0000 0001 16 = 2 −16382 × 2 −63 = 2 −16445 ≈ 3.64519953188247460252841 × 10 −4951 (أصغر عدد موجب دون المستوى الطبيعي)

0000 7ffff ffff ffff ffff 16 = 2 −16382 × (1 − 2 −63 ) ≈ 3.36210314311209350589816 × 10 −4932 (أكبر عدد دون الطبيعي)

0001 8000 0000 0000 0000 16 = 2 −16382 ≈ 3.36210314311209350626268 × 10 −4932 (أصغر عدد طبيعي موجب)

7ffe ffff ffff ffff ffff 16 = 2 16384 × (1 − 2 −64 ) ≈ 1.18973149535723176502126 × 10 4932 (أكبر عدد طبيعي)

3ffe ffff ffff ffff ffff 16 = 1 − 2 −64 ≈ 0.99999999999999999994579 (أكبر عدد أقل من واحد)

3fff 8000 0000 0000 0000 16 = 1 (واحد)

3fff 8000 0000 0000 0001 16 = 1 + 2 −63 ≈ 1.0000000000000000010842 (أصغر عدد أكبر من واحد)

4000 8000 0000 0000 0000 16 = 2 c000 8000 0000 0000 0000 16 = −2

0000 0000 0000 0000 0000 16 = 0 8000 0000 0000 0000 0000 16 = −0

3فد آآآآآآآآآآب 16 ≈ 0.33333333333333333334237 (أقرب تقريب إلى ⅓ )

4000 adf8 5458 a2bb 4a9b 16 ≈ 2.71828182845904523542817 (أقرب قيمة تقريبية لـ e)

4000 c90f daa2 2168 c235 16 ≈ 3.14159265358979323851281 (أقرب تقريب لـ π)

أصبح تنسيق الفاصلة العائمة 80 بت متاحًا على نطاق واسع بحلول عام 1984، ^{[ 25 ]} بعد تطوير لغات البرمجة C وFortran وما شابهها، والتي كانت في البداية توفر فقط أحجام الفاصلة العائمة الشائعة 32 و64 بت. في تصميم x86، تدعم معظم مترجمات لغة C الآن دقة 80 بت الموسعة عبر نوع البيانات long double ، وقد تم تحديد ذلك في معايير C99 / C11 (IEC  60559 حسابات الفاصلة العائمة (الملحق  F)). غالبًا ما تدعم المترجمات على x86 للغات الأخرى الدقة الموسعة أيضًا، أحيانًا عبر امتدادات غير قياسية: على سبيل المثال، يوفر Turbo Pascalextended نوعًا معينًا، ولدى العديد من مترجمات FortranREAL*10 نوع آخر (مماثل لـ REAL*4و REAL*8). تتضمن هذه المترجمات عادةً إجراءات فرعية رياضية ذات دقة موسعة ، مثل الجذر التربيعي والدوال المثلثية ، في مكتباتها القياسية .

يتراوح نطاق تنسيق الفاصلة العائمة ذي 80 بت (بما في ذلك القيم غير الطبيعية ) من حوالي 3.65 × 10⁻⁴⁹⁵ ^إلى 1.18 × 10⁻⁴⁹⁵⁺⁴⁹³² .على الرغم من أن لوغاريتم ₁₀ ( ²⁶⁴ ) ≈ 19.266 ،هذا التنسيق يُوصف عادةً بأنه يُعطي دقة تصل إلى ثمانية عشر رقمًا معنويًا تقريبًا (الجزء الصحيح من لوغاريتم ₁₀ ( ²⁶³ ) ،وهو الحد الأدنى المضمون للدقة). يُعد استخدام النظام العشري عند الحديث عن النظام الثنائي غير مناسب، لأن معظم الكسور العشرية تُمثل متواليات دورية في النظام الثنائي، تمامًا كما هو الحال مع⅔في النظام العشري. وبالتالي، فإن قيمة مثل 10.15 تُمثل في النظام الثنائي بما يُعادل 10.1499996185، وهكذا في النظام العشري،REAL*4بينما تُمثل 10.15000000000000035527، وهكذا فيREAL*8النظام الثنائي. سيتضمن التحويل بين النظامين تقريبًا، باستثناء تلك الكسور العشرية القليلة التي تُمثل قيمة ثنائية دقيقة، مثل 0.625 . بالنسبة لـREAL*10، يكون التسلسل العشري هو 10.1499999999999999996530553 وهكذا. الرقم التاسع الأخير هو الرقم الكسري الثامن عشر، وبالتالي الرقم العشرون ذو الدلالة في التسلسل. يمكن تحديد حدود التحويل بين النظام العشري والثنائي لتنسيق 80 بت كما يلي: إذا تم تقريب سلسلة عشرية تحتوي على 18 رقمًا ذا دلالة على الأكثر بشكل صحيح إلى قيمة ثنائية عائمة IEEE 754 ذات 80 بت (كما في الإدخال)، ثم تم تحويلها مرة أخرى إلى نفس عدد الأرقام العشرية ذات الدلالة (كما في الإخراج)، فإن السلسلة النهائية ستطابق السلسلة الأصلية تمامًا؛ بينما، على العكس من ذلك، إذا تم تحويل قيمة ثنائية عائمة IEEE 754 ذات 80 بت بشكل صحيح وتقريبها (أقرب) إلى سلسلة عشرية تحتوي على 21 رقمًا عشريًا ذا دلالة على الأقل، ثم تم تحويلها مرة أخرى إلى التنسيق الثنائي، فإنها ستطابق السلسلة الأصلية تمامًا. ^{[ 12 ]} هذه التقريبات إشكالية بشكل خاص عند تحديد أفضل قيمة للثوابت في الصيغ بدقة عالية، كما يمكن حسابها عن طريقالحساب ذي الدقة التعسفية.

من الأمثلة البارزة على ضرورة وجود حد أدنى  من الدقة يبلغ 64 بت في الجزء الدال من تنسيق الدقة الموسعة، الحاجة إلى تجنب فقدان الدقة عند إجراء عملية الرفع إلى الأس على قيم ذات دقة مضاعفة . ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ ج ]} لا توفر وحدات الفاصلة العائمة x86 تعليمة تُجري عملية الرفع إلى الأس مباشرةً ، بل توفر مجموعة من التعليمات التي يمكن للبرنامج استخدامها بالتسلسل لإجراء هذه العملية باستخدام المعادلة التالية:

${\displaystyle x^{y}=2^{\ y\ \cdot \ \log _{2}(x)}}$

لتجنب فقدان الدقة، يجب حساب النتائج الوسيطة " log ₂ ( x ) " و " y ·log ₂ ( x ) " بدقة أعلى بكثير، لأنه يجب أن يتسع حقل الأس وحقل المعامل لـ x في حقل المعامل للنتيجة الوسيطة. وبالتالي، يُقسّم حقل المعامل للنتيجة الوسيطة بين حقل الأس وحقل المعامل للنتيجة النهائية عند حساب ^{نتيجتين وسيطتين} . ويشرح النقاش التالي هذا الشرط بمزيد من التفصيل.

بعد فك بعض التعقيدات، يمكن تمثيل قيمة IEEE 754 ذات الدقة المزدوجة على النحو التالي:

${\displaystyle 2^{(-1)^{s}\ \cdot \ E}\ \cdot \ M\ }$

حيث s هي إشارة الأس (إما 0 أو 1)، وE هو الأس غير المتحيز، وهو عدد صحيح يتراوح بين 0 و1023، و M هو الجزء الكسري، وهو قيمة مكونة من 53 بت تقع ضمن النطاق 1 ≤ M < 2. يمكن تجاهل الأعداد السالبة والصفر لأن لوغاريتم هذه القيم غير مُعرَّف. لأغراض هذه المناقشة، لا يمتلك M دقة 53 بت لأنه مُقيد بأن يكون أكبر من أو يساوي واحدًا، أي أن البت المخفي لا يُحتسب ضمن الدقة (لاحظ أنه في الحالات التي يكون فيها M أقل من 1، تكون القيمة في الواقع غير طبيعية، وبالتالي قد تكون قد فقدت بعضًا من دقتها. هذه الحالة خارج نطاق هذه المقالة). 

يؤدي أخذ اللوغاريتم لهذا التمثيل لعدد ذي دقة مزدوجة وتبسيطه إلى النتائج التالية:

${\displaystyle \log _{2}(2^{(-1)^{s}\ \cdot \ E}\ \cdot \,M)=(-1)^{s}\ \cdot \ E\ \cdot \ \log _{2}(2)\ +\ \log _{2}(M)=\pm \ E\ +\ \log _{2}(M)\ }$

توضح هذه النتيجة أنه عند أخذ  اللوغاريتم ذي الأساس 2 لعدد ما، تصبح إشارة أس القيمة الأصلية هي إشارة اللوغاريتم، ويصبح أس القيمة الأصلية هو الجزء الصحيح من الجزء الكسري للوغاريتم، ويتحول الجزء الكسري للقيمة الأصلية إلى الجزء الكسري من الجزء الكسري للوغاريتم.

بما أن E عدد صحيح يقع ضمن النطاق من 0 إلى 1023، فإنه يلزم ما يصل إلى 10 بتات على  يسار الفاصلة العشرية لتمثيل الجزء الصحيح من اللوغاريتم. ولأن M يقع ضمن النطاق 1 ≤ M < 2 ، فإن قيمة log₂M تقع ضمن النطاق 0 ≤ log₂M _< 1 ، _لذا يلزم 52 بتًا على الأقل على يمين الفاصلة العشرية لتمثيل الجزء الكسري من اللوغاريتم. وبدمج 10 بتات على يسار الفاصلة العشرية مع 52 بتًا على يمينها ، يجب حساب الجزء الدال من اللوغاريتم بدقة لا تقل عن 62 بتًا. عمليًا، تكون قيم M أقل من    ${\displaystyle \ {\sqrt {2\ }}\ }$يتطلب الأمر 53  بتًا على يمين الفاصلة العشرية وقيم M أقل من${\displaystyle \ {\sqrt[{4}]{2\ }}\ }$يتطلب الأمر 54  بتًا على يمين الفاصلة العشرية لتجنب فقدان الدقة. ولتحقيق التوازن مع هذا الشرط المتعلق بزيادة الدقة على يمين الفاصلة العشرية، فإن الأسس الأقل من 512 تتطلب 9  بتات فقط على يسار الفاصلة العشرية، والأسس الأقل من 256 تتطلب 8  بتات فقط على يسار الفاصلة العشرية.

الجزء الأخير من عملية حساب الأس هو حساب ^{نتيجتين وسيطتين} . تتكون "النتيجة الوسيطة" من جزء صحيح " I " مضافًا إليه جزء كسري " F ". إذا كانت النتيجة الوسيطة سالبة، فسيلزم إجراء تعديل طفيف للحصول على جزء كسري موجب لأن كلاً من " I " و" F " عددان سالبان.

للحصول على نتائج وسيطة إيجابية:

${\displaystyle \ 2^{\mathsf {intermediate\ result}}=2^{I+F}=2^{I}\ 2^{F}\ }$

بالنسبة للنتائج الوسيطة السلبية:

${\displaystyle \ 2^{\mathrm {intermediate\ result} }=2^{I+F}=2^{I\ +\ (1-1)\ +\ F}=2^{(I-1)\ +\ (F+1)}=2^{I-1}\ 2^{F+1}\ }$

وبالتالي، يصبح الجزء الصحيح من النتيجة الوسيطة (" I " أو " I - 1 ") مضافًا ^إليه قيمة الانحياز هو أس النتيجة النهائية، ويصبح الجزء الكسري الموجب المُحوَّل من النتيجة الوسيطة: ^2F أو 2F + ¹ هو الجزء الدال في النتيجة النهائية. ولتوفير دقة 52 بت للنتيجة النهائية، يجب الحفاظ على الجزء الكسري الموجب عند 52 بت على الأقل.  

في الختام، يعتمد العدد الدقيق للبتات اللازمة للدقة في الجزء المهم من النتيجة الوسيطة إلى حد ما على البيانات، ولكن 64  بتًا كافية لتجنب فقدان الدقة في الغالبية العظمى من عمليات حساب الأس التي تتضمن أرقامًا ذات دقة مزدوجة .

يُحدد عدد البتات اللازمة لحساب أسّ العدد ذي الدقة الموسّعة بناءً على شرط عدم تجاوز حاصل ضرب عددين من نوع الدقة المزدوجة للحدود المسموح بها عند حسابهما باستخدام هذا النوع من الأعداد. أكبر أسّ ممكن لقيمة من نوع الدقة المزدوجة هو 1023، لذا فإنّ أسّ أكبر حاصل ضرب ممكن لعددين من نوع الدقة المزدوجة هو 2047 (قيمة من 11 بت). إضافة قيمة انحياز لمراعاة الأسس السالبة يعني أن حقل الأسّ يجب أن يكون  عرضه 12 بت على الأقل.

بدمج هذه المتطلبات:  بت واحد للإشارة، و12  بت للأس المتحيز، و64  بت للجزء الكسري، فإن تنسيق الدقة الموسعة يحتاج إلى 77  بت على الأقل. وقد أدت الاعتبارات الهندسية إلى التعريف النهائي لتنسيق 80 بت (على وجه الخصوص،  يشترط معيار IEEE 754 أن يتطابق نطاق الأس في تنسيق الدقة الموسعة مع نطاق الأس في تنسيق الدقة الرباعي الأكبر التالي، والذي يبلغ 15  بت). ^{[ 27 ]}

ومن الأمثلة الأخرى على الحسابات التي تستفيد من الحسابات ذات الدقة الموسعة، مخططات التحسين التكرارية ، المستخدمة لتنظيف الأخطاء المتراكمة في الحل المباشر بشكل غير مباشر أثناء العدد الكبير جدًا من الحسابات التي تُجرى عادةً في الجبر الخطي العددي. ^{[ 30 ]}

• تستخدم بعض تطبيقات لغة C / C++ (مثل مجموعة مترجمات GNU (GCC) و Clang و Intel C++ ) long doubleأرقام الفاصلة العائمة ذات 80 بت على أنظمة x86. مع ذلك، يُعد هذا سلوكًا خاصًا بالتطبيق، وليس إلزاميًا، ولكنه مسموح به وفقًا للمعيار، كما هو محدد  لأجهزة IEEE 754 في معيار C99 "الملحق  F IEC  60559 للحسابات ذات الفاصلة العائمة". يوفر GCC أيضًا أنواعًا __float80أخرى __float128. ^{[ 31 ]}
• بعض تطبيقات Common Lisp (مثل CMU Common Lisp و Embeddable Common Lisp ) long-floatتستخدم أرقام الفاصلة العائمة 80 بت على أنظمة x86.
• تستخدم لغة البرمجة Dreal أكبر حجم للفاصلة العائمة مُتاح في الأجهزة، على سبيل المثال 80  بت لمعالجات x86 . أما في الأجهزة الأخرى، فسيكون هذا هو أوسع نوع للفاصلة العائمة يدعمه المعالج أصلاً، أو دقة مزدوجة 64 بت، أيهما أوسع.
• يحتوي Turbo Pascal (و Object Pascal أو Delphi ) على extendedنوع 80 بت متاح بالإضافة إلى real/ single(32  بت) و double(64  بت)، إما بشكل أصلي (عند وجود معالج مساعد 80x87) أو محاكى (من خلال مكتبة Turbo87)؛ هذا extendedالنوع متاح على منصات 16 و32 و64 بت، وربما مع إضافة حشو . ^{[ 32 ]}
• يوفر نظام وقت تشغيل Racket نوع البيانات extflonum ذو ​​80 بت على أنظمة x86.
• توفر مكتبة Swift القياسية Float80نوع البيانات.
• يوفر مُترجم PowerBASIC BASIC نوع بيانات الفاصلة العائمة ذات الدقة الموسعة 10 بايت EXT.EXTENDED
• تدعم بعض إصدارات BBC BASIC ، ولا سيما BBC BASIC لنظام التشغيل Windows و BBC BASIC لـ SDL 2.0 ، الأعداد العشرية ذات الدقة الموسعة 10 بايت عند التشغيل على وحدة معالجة مركزية x86.
• يوفر برنامج Zig نوع f80 منذ الإصدار 0.10.0.