التمدد

في المنطق ، يشير مفهوم الامتدادية ، أو المساواة الامتدادية ، إلى المبادئ التي تحكم على تساوي الأشياء إذا كانت لها نفس الخصائص الخارجية. وهو يختلف عن مفهوم القصدية، الذي يهتم بما إذا كانت التعريفات الداخلية للأشياء متطابقة.

يُستخدم تعريف الامتداد لمساواة الدوال، الذي نوقش أعلاه، بشكل شائع في الرياضيات. ويُستخدم تعريف امتداد مماثل عادةً للعلاقات : يُقال إن علاقتين متساويتان إذا كانت لهما نفس الامتدادات .

في نظرية المجموعات ، تنص بديهية الامتداد على أن مجموعتين متساويتان إذا وفقط إذا احتوت كل منهما على العناصر نفسها. وفي الرياضيات المُصاغة في نظرية المجموعات، من الشائع تعريف العلاقات - والأهم من ذلك، الدوال - بامتدادها كما ذُكر أعلاه، بحيث يستحيل التمييز بين علاقتين أو دالتين لهما الامتداد نفسه.

كما يتم بناء الكائنات الرياضية الأخرى بطريقة تتفق فيها الفكرة البديهية لـ "المساواة" مع المساواة الممتدة على مستوى المجموعة؛ وبالتالي، فإن الأزواج المرتبة المتساوية لها عناصر متساوية، وعناصر المجموعة المرتبطة بعلاقة تكافؤ تنتمي إلى نفس فئة التكافؤ .

إن الأسس النظرية للأنواع في الرياضيات ليست امتدادية بشكل عام بهذا المعنى، ويتم استخدام المجموعات بشكل شائع للحفاظ على الفرق بين المساواة المقصودة وعلاقة التكافؤ الأكثر عمومية (والتي عادة ما يكون لها خصائص بناء أو قابلية تقرير ضعيفة).

توجد مبادئ امتداد متنوعة في الرياضيات.

• امتداد القضايا للمسندات${\displaystyle P,Q}$: لو${\displaystyle P\iff Q}$ثم${\displaystyle P=Q}$
• امتداد الوظائف الوظيفي${\displaystyle f,g}$: لو${\displaystyle \forall x,fx=gx}$ثم${\displaystyle f=g}$
• تكافؤ الأنواع${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$: ^{[ 1 ] : 2.10} إذا ${\displaystyle A\simeq B}$ثم${\displaystyle A=B}$، أين${\displaystyle \simeq }$يشير إلى التكافؤ التماثلي.

بحسب الأساس المختار، قد تستلزم بعض مبادئ الامتداد مبادئ أخرى. على سبيل المثال، من المعروف أنه في الأسس أحادية التكافؤ ، تستلزم بديهية أحادية التكافؤ كلاً من الامتداد الافتراضي والامتداد الوظيفي. تُفترض مبادئ الامتداد عادةً كبديهيات، لا سيما في نظريات الأنواع حيث يجب الحفاظ على المحتوى الحسابي. مع ذلك، في نظرية المجموعات وغيرها من الأسس الامتدادية، يمكن إثبات صحة الامتداد الوظيفي افتراضياً.

لنفترض وجود دالتين f و g تربطان الأعداد الطبيعية من وإلى ، كما هو موضح أدناه:

• لإيجاد f ( n )، قم أولاً بإضافة 5 إلى n ، ثم اضرب في 2.
• لإيجاد g ( n )، اضرب n أولاً في 2، ثم أضف 10.

هذه الدوال متساوية من حيث الامتداد؛ فعند إعطاء نفس المدخلات، تُنتج كلتا الدالتين القيمة نفسها دائمًا. لكن تعريفات الدوال ليست متساوية، وبهذا المعنى المقصود، فإن الدوال ليست متطابقة.

وبالمثل، في اللغة الطبيعية، توجد العديد من المسندات (العلاقات) التي تختلف في دلالتها ولكنها متطابقة في مدلولها. على سبيل المثال، لنفترض أن قرية ما لا يوجد بها سوى شخص واحد يُدعى جو، وهو أيضًا أكبر شخص في القرية. عندئذٍ، فإن المسندين "يُدعى جو" و"أكبر شخص" مختلفان في دلالتهما، ولكنهما متساويان في مدلولهما بالنسبة لسكان هذه القرية (الحالي).

• هوية غير القابلين للتمييز
• مساواة كلين
• نظرية الأنواع
• مسلمة التكافؤ الأحادي

• ماركوس، روث باركان (يناير 1960). "الامتدادية" . العقل . 69 (273): 55-62 . doi : 10.1093/mind/LXIX.273.55 . ISSN 0026-4423 . JSTOR 2251588 .  
• ساجي، جيل (29 مايو 2017). "الامتدادية والمنطقية" . سينثيز . 198 (5): 1095-1119 . doi : 10.1007/s11229-017-1447-3 . ISSN 1573-0964 . مؤرشف من الأصل في 6 ديسمبر 2017. 
• كارناب، رودولف (1943). صياغة المنطق . دراسات في علم الدلالة. المجلد  الثاني. مطبعة جامعة هارفارد .
• المنطق القصدي (موسوعة ستانفورد للفلسفة)
• المساواة في مختبر nLab