دالة فادييفا

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 28 صور
الموسوعة الحرة
دالة فادييفا على المستوى المركب

دالة فادييفا أو دالة كرامب هي دالة خطأ تكميلية معقدة مُقاسة ،

w(z):=هـ-z2erfc⁡(-أناz)=erfcx⁡(-أناz)=هـ-z2(1+2أناπ∫0zهـت2دت).{\displaystyle w(z):=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz)=e^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\right).}

وهي مرتبطة بتكامل فرينل ، وتكامل داوسون ، ودالة فويغت .

تظهر هذه الوظيفة في العديد من المشاكل الفيزيائية، والتي تتعلق عادةً بالاستجابات الكهرومغناطيسية في الوسائط المعقدة.

  • تُعدّ هذه المسألة من المسائل التي تتضمن موجات صغيرة السعة تنتشر عبر بلازما ماكسويلية ، وتظهر بشكل خاص في سماحية البلازما التي تُشتق منها علاقات التشتت ، ولذلك يُشار إليها أحيانًا باسم دالة تشتت البلازما [ 1 ] [ 2 ] (على الرغم من أن هذا الاسم يُستخدم أحيانًا بدلاً من ذلك للدالة المُعاد قياسها).Z(z)=أناπw(z){\displaystyle Z(z)=i{\sqrt {\pi }}w(z)}(كما حددها فريد وكونتي ، 1961 [ 1 ] [ 3 ] ).
  • تتميز دوال السماحية تحت الحمراء لأكاسيد غير متبلورة برنينات (بسبب الفونونات ) يصعب أحيانًا تمثيلها باستخدام مذبذبات توافقية بسيطة. يستخدم نموذج مذبذب بريندل-بورمان تراكبًا لانهائيًا لمذبذبات ذات ترددات مختلفة قليلاً، مع توزيع غاوسي. [ 4 ] يمكن كتابة الاستجابة المتكاملة بدلالة دالة فادييفا.
  • تُستخدم دالة فادييفا أيضًا في تحليل الموجات الكهرومغناطيسية من النوع المستخدم في راديو AM. الموجات الأرضية هي موجات مستقطبة رأسيًا تنتشر فوق أرضية ذات فقد كهربائي ومقاومة ونفاذية محدودتين.
  • تصف دالة فادييفا أيضًا تغيرات المقاطع العرضية للنيوترونات في المواد مع تغير درجة الحرارة. [ 5 ]

ملكيات

الأجزاء الحقيقية والخيالية

عادة ما يُكتب التفكيك إلى أجزاء حقيقية وتخيلية

w(x+أناy)=V(x،y)+أنال(x،y){\displaystyle w(x+iy)=V(x,y)+iL(x,y)}،

حيث تسمى V و L دوال فويغت الحقيقية والخيالية ، لأن V(x,y) هو ملف تعريف فويغت (حتى العوامل المسبقة).

انعكاس الإشارة

بالنسبة للوسائط المعكوسة الإشارة، ينطبق ما يلي:

w(-z)=2هـ-z2-w(z){\displaystyle w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)}

و

w(-z)=w(z*)*{\displaystyle w(-z)=w\left(z^{*}\right)^{*}}

حيث تشير * إلى المرافق المركب.

العلاقة بدالة الخطأ التكميلية

دالة فادييفا المحسوبة على وسائط تخيلية تساوي دالة الخطأ التكميلية المُقاسة (هـروجx{\displaystyle \mathrm {erfcx} }):

w(أناz)=هـروجx(z)=هـz2هـروج(z){\displaystyle w(iz)=\mathrm {erfcx} (z)=e^{z^{2}}\mathrm {erfc} (z)}،

حيث تمثل erfc دالة الخطأ التكميلية . بالنسبة لقيم x الحقيقية الكبيرة :

هـروجx(x)≈1πx{\displaystyle \mathrm {erfcx} (x)\approx {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}x}}}

المشتق

في بعض التطبيقات، من الضروري معرفة ليس فقط القيم الأصلية لدالة فادييفا، بل أيضًا مشتقتها (على سبيل المثال، في الانحدار غير الخطي للمربعات الصغرى في التحليل الطيفي ). ويُعطى مشتقها بالصيغة التالية: [ 6 ] [ 7 ]

دw(z)دz=2أناπ-2⋅z⋅w(z){\displaystyle {\frac {dw\left(z\right)}{dz}}={\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}-2\cdot z\cdot w\left(z\right)}

يمكن أيضًا تحليل هذا التعبير بشكل أكبر من حيث التغيرات في الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من دالة فادييفا.ℜ(w(z))=ℜw{\displaystyle \Re \left(w\left(z\right)\right)=\Re _{w}}وℑ(w(z))=ℑw{\displaystyle \Im \left(w\left(z\right)\right)=\Im _{w}}يتطلب هذا بشكل أساسي معرفة الجزء الحقيقي والجزء الخيالي من المنتجz⋅w(z){\displaystyle z\cdot w\left(z\right)}باستخدام التعريف أعلاهz=x+أناy{\displaystyle z=x+iy}وبالتالي، يمكن تقسيم المشتق إلى مشتقات جزئية بالنسبة إلىx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}على النحو التالي:

دℜwدx=2⋅(y⋅ℑw-x⋅ℜw)=دℑwدy{\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dx}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Im _{w}}{dy}}}      و      دℜwدy=-2⋅(1π-x⋅ℑw-y⋅ℜw)=-دℑwدx{\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dy}}=-2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Im _{w}}{dx}}}
دℑwدx=2⋅(1π-x⋅ℑw-y⋅ℜw)=-دℜwدy{\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dx}}=2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Re _{w}}{dy}}}      و      دℑwدy=2⋅(y⋅ℑw-x⋅ℜw)=دℜwدx{\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dy}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Re _{w}}{dx}}}

يمكن العثور هنا على مثال عملي لاستخدام هذه المشتقات الجزئية .

التمثيل التكاملي

تحدث وظيفة فادييفا على النحو التالي

w(z)=أناπ∫-∞∞هـ-ت2z-تدت=2أناzπ∫0∞هـ-ت2z2-ت2دت،أنا⁡z>0{\displaystyle w(z)={\frac {i}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z-t}}\,\mathrm {d} t={\frac {2iz}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z^{2}-t^{2}}}\,\mathrm {d} t,\qquad \operatorname {Im} z>0}

بمعنى أنه عبارة عن التفاف لدالة غاوسية ذات قطب بسيط.

تاريخ

تمت جدولة الدالة بواسطة Vera Faddeeva وNN Terentyev في عام 1954. [ 8 ] تظهر كدالة بدون اسم w(z) في Abramowitz and Stegun (1964)، الصيغة 7.1.3. يبدو أن اسم وظيفة Faddeeva قد تم تقديمه بواسطة GPM Poppe وCMJ Wijers في عام 1990؛ [ 9 ] سابقًا، كانت تُعرف باسم دالة كرامب (ربما بعد كريستيان كرامب ). [ 10 ]

استخدمت التطبيقات المبكرة أساليب والتر غاوتشي (1969-1970؛ خوارزمية ACM 363) [ 11 ] أو ج. هومليسيك (1982). [ 12 ] واقترح بوب وويجرز (1990؛ خوارزمية ACM 680) خوارزمية أكثر كفاءة. [ 13 ] واقترح جيه إيه سي وايدمان (1994) خوارزمية قصيرة للغاية لا تتطلب أكثر من ثمانية أسطر من كود MATLAB . [ 14 ] وأشار زغلول وعلي إلى أوجه القصور في الخوارزميات السابقة واقترحا خوارزمية جديدة (2011؛ ​​خوارزمية ACM 916). [ 2 ] واقترح م. أبراروف وبي إم كوين (2011/2012) خوارزمية أخرى. [ 15 ]

التطبيقات

نُشر تطبيقان برمجيان، وهما مجانيان للاستخدام غير التجاري فقط، [ 16 ] في مجلة ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS) تحت اسم الخوارزمية 680 (بلغة فورتران ، [ 17 ] والتي تُرجمت لاحقًا إلى لغة C ) [ 18 ] والخوارزمية 916 من قِبل زغلول وعلي (بلغة MATLAB ). [ 19 ]

يتوفر أيضًا تطبيق مجاني ومفتوح المصدر بلغة C أو C++، مشتق من دمج الخوارزميتين 680 و916 (باستخدام خوارزميات مختلفة لقيم z المختلفة)، بموجب ترخيص MIT ، [ 20 ] ويتم صيانته كحزمة مكتبة libcerf . [ 21 ] يتوفر هذا التطبيق أيضًا كإضافة لبرنامج Matlab، [ 20 ] وبرنامج GNU Octave ، [ 20 ] وبلغة Python عبر مكتبة Scipy ( والتي scipy.special.wofzكانت في الأصل كود TOMS 680، ولكن تم استبدالها بسبب مخاوف تتعلق بحقوق النشر [ 22 ] ).

لحساب سريع لدالة تشتت البلازماZ(z){\displaystyle Z(z)}وقد وُجد أن تقريب باديه ذو القطب J مفيد، [ 23 ] أي،

Z(z)=∑ج=1جبجz-جج.{\displaystyle Z(z)=\sum _{j=1}^{J}{\frac {b_{j}}{z-c_{j}}}.}

التقريب المذكور أعلاه صالح للمستوى العلوي، وz{\displaystyle z}قريبة بشكل طفيف من المحور الحقيقي، بحيثأنام(z){\displaystyle Im(z)}لا يبعد كثيراً عن المحور الحقيقي للمستوى السفلي. لحساب دقيق لـ أنام(z)<0{\displaystyle Im(z)<0}يمكن للمرء أن يستخدم

Z(z)=[Z(z*)]*+2أناπخبرة⁡[-z2].{\displaystyle Z(z)=[Z(z^{*})]^{*}+2i{\sqrt {\pi }}\exp[-z^{2}].}

يمكن الاطلاع على ترميز لنهج قطب J المذكور أعلاه ومقارنته بدالة تشتت البلازما الدقيقة. [ 24 ] كما تتوفر معاملات شاملة للحساب السريع لدالة تشتت البلازما باستخدام تقريب الأقطاب المتعددة والتقريب النسبي. [ 25 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 ليتينين، نيكولاي ج. (23 أبريل 2010). "دوال الخطأ" (ملف PDF) . صفحة ليتينين الإلكترونية - جامعة ستانفورد . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 1 نوفمبر 2019. تم الاطلاع عليه في 8 أكتوبر 2019 .
  2. 1 2 م. ر. زغلول و أ. ن. علي، معاملات ACM في البرمجيات الرياضية 38(2)15 (2011)
  3. ↑ ريتشارد فيتزباتريك ، دالة تشتت البلازما ، ملاحظات محاضرات فيزياء البلازما ، جامعة تكساس في أوستن (2011/3/31).
  4. ↑ بريندل، ر.؛ بورمان، د. (1992). "نموذج دالة العزل الكهربائي بالأشعة تحت الحمراء للمواد الصلبة غير المتبلورة". مجلة الفيزياء التطبيقية . 71 (1): 1. Bibcode : 1992JAP....71....1B . doi : 10.1063/1.350737 . ISSN 0021-8979 . 
  5. ↑ "OpenMC Windowed Multipole" . 2020-06-01 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2020-12-20 .
  6. ↑ أفيتيسوف، سلافا (1995). تقنية التوفيق باستخدام طريقة المربعات الصغرى للتحليل الطيفي لأشكال الخطوط المباشرة وخطوط تعديل التردد (ملف PDF) (تقرير). قسم الفيزياء، جامعة لوند.
  7. ↑ "دالة فادييفا (أو فادييفا) - 7.10 المشتقات" . المكتبة الرقمية للدوال الرياضية . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا. 2010. تم الاطلاع عليه في 23 يونيو 2022 .
  8. ↑ VN Faddeeva و NN Terent'ev: جداول قيم الوظيفةw(z)=خبرة⁡(-z2)(1+2أنا/π∫0zخبرة⁡(ت2)دت){\displaystyle w(z)=\exp(-z^{2})(1+2i/{\sqrt {\pi }}\textstyle \int _{0}^{z}\exp(t^{2}){\text{d}}t)}للحجة المعقدة. دار النشر الحكومية ، موسكو، 1954؛ الترجمة الإنجليزية، دار بيرغامون للنشر، نيويورك، 1961. اقتباس غير موثق، منقول من بوب وويجرز (1990).
  9. ↑ أقدم نتيجة بحث في جوجل سكولار اعتبارًا من أكتوبر 2012.
  10. ↑ على سبيل المثال في Al'pert، Space Science Reviews 6، 781 (1967)، الصيغة (3.13)، مع الإشارة إلى Faddeeva و Terent'ev.
  11. ^ انظر المراجع 3 و 4 في Poppe and Wijers (1990).
  12. ↑ J. Humlicek, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 27, 437-444 (1982).
  13. ↑ GPM Poppe و CMJ Wijers، معاملات ACM في البرمجيات الرياضية 16، 38-46 (1990).
  14. ^ جاك ويدمان، سيام ج. نومر. شرجي. 31، 1497-1518 (1994).
  15. ↑ SM Abrarov and BM Quine, Appl. Math. Comp. 218, 1894-1902 (2011) and arXiv:1205.1768v1 (2012).
  16. ↑ "إشعار حقوق الطبع والنشر للبرامج" .وبالتالي فهي ليست حرة بالمعنى المقصود في البرمجيات الحرة والمفتوحة المصدر.
  17. ↑ http://www.cs.kent.ac.uk/people/staff/trh/CALGO/680.gz
  18. ↑ "معادلات التصادم" . ناسا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 أبريل 2023 .
  19. ↑ مفرح ر. زغلول وأحمد ن. علي، " الخوارزمية 916: حساب دالتي فادييفا وفويغت "، مجلة ACM للمعاملات في الرياضيات، 38 (2)، 15 (2011). نسخة أولية متاحة على arXiv:1106.0151 .
  20. 1 2 3 حزمة Faddeeva ، تطبيق C++ مجاني/مفتوح المصدر، تم الوصول إليه في 13 أكتوبر 2012.
  21. ↑ "Libcerf [ مجموعة الحوسبة العلمية MLZ ] " .
  22. ↑ "هل كود erf المعقد في SciPy ليس مجانيًا/مفتوح المصدر؟ (Trac #1741) · Issue #2260 · scipy/scipy" . GitHub .
  23. ↑ شي، هوا-شنغ (نوفمبر 2019). "BO: أداة موحدة لتحليل موجات البلازما وعدم استقرارها" . مجلة اتصالات فيزياء الحاسوب . 244 : 343-371 . arXiv : 1901.06902 . Bibcode : 2019CoPhC.244..343X . doi : 10.1016/j.cpc.2019.06.014 . ISSN 0010-4655 . 
  24. ^ شي، هوا شنغ (14 أبريل 2024)، hsxie / gpdf ، استرجاعها 2024/04/15
  25. ↑ شي، هواشنغ (2024-07-01). "الحساب السريع لدالة تشتت البلازما: التقريب العقلاني ومتعدد الأقطاب، وتحسين الدقة" . مجلة AIP Advances . 14 (7). arXiv : 2404.18719 . Bibcode : 2024AIPA...14g5007X . doi : 10.1063/5.0216433 . ISSN 2158-3226 .