صنف فانو

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 5 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الجبرية ، تُعرف متشعبات فانو ، التي قدمها جينو فانو ( فانو 1934 ، 1942 ) ، بأنها متشعب جبري يُعمم بعض جوانب التقاطعات الكاملة للأسطح الجبرية الفائقة التي لا يتجاوز مجموع درجاتها البعد الكلي للفضاء الإسقاطي المحيط . لهذه التقاطعات الكاملة تطبيقات مهمة في الهندسة ونظرية الأعداد ، لأنها عادةً ما تقبل نقاطًا عقلانية ، ومن أبسط الأمثلة على ذلك نظرية شيڤالي-وارنينغ . تُقدم متشعبات فانو تعميمًا مجردًا لهذه الأمثلة الأساسية التي لا تزال مسائل عقلانيتها قابلة للحل في كثير من الأحيان. 

بصورة رسمية، تُعرَّف مُتنوِّع فانو بأنه مُتنوِّع كامل X تكون حزمته المضادة للكانونية K X * وافرة . في هذا التعريف، يُمكن افتراض أن X أملس على حقل، لكن برنامج النموذج الأدنى أدى أيضًا إلى دراسة مُتنوِّعات فانو ذات أنواع مُختلفة من المفردات، مثل المفردات الطرفية أو مفردات klt . مؤخرًا ، طُبِّقت تقنيات في الهندسة التفاضلية لدراسة مُتنوِّعات فانو على الأعداد المركبة ، وقد تحقق نجاح في بناء فضاءات المعاملات لمُتنوِّعات فانو وإثبات وجود مقاييس كاهلر-أينشتاين عليها من خلال دراسة استقرار K لمُتنوِّعات فانو .

أمثلة

  • المثال الأساسي لأصناف فانو هو الفضاءات الإسقاطية : حزمة الخط المضادة للكانونية لـ P n على حقل k هي O ( n +1)، وهي وفيرة للغاية (على الأعداد المركبة، يكون انحناؤها n +1 مرة شكل فوبيني-ستودي التبسيطي).
  • ليكن D صنفًا فرعيًا أملسًا من الرتبة 1 في P n . تنص صيغة الاقتران على أن K D = ( K X + D )| D = (−( n +1) H + deg( D ) H )| D ، حيث H هي فئة المستوى الفائق. وبالتالي، يكون السطح الفائق D من نوع فانو إذا وفقط إذا كانت deg( D ) < n +1.
  • وبشكل عام، يكون التقاطع الكامل السلس للأسطح الفائقة في الفضاء الإسقاطي ذي الأبعاد n هو تقاطع فانو إذا وفقط إذا كان مجموع درجاتها على الأكثر n .
  • الفضاء الإسقاطي الموزون P ( a₀ , ..., an ) هو صنف فانو منفرد ( klt ). وهو المخطط الإسقاطي المرتبط بحلقة متعددة الحدود متدرجة، حيث تكون درجات مولداتها a₀ , ... , an . إذا كان هذا المخطط صحيح التكوين، بمعنى أنه لا يوجد عدد n من الأعداد a له عامل مشترك أكبر من 1، فإن أي تقاطع كامل للأسطح الفائقة بحيث يكون مجموع درجاتها أقل من a₀ + ... + an يُعد صنف فانو.
  • كل تنوع إسقاطي في خاصية الصفر يكون متجانسًا تحت مجموعة جبرية خطية هو فانو.

بعض الخصائص

إن وجود حزمة خطية وافرة على X يكافئ كون X صنفًا إسقاطيًا ، لذا فإن صنف فانو يكون دائمًا إسقاطيًا. بالنسبة لصنف فانو X على الأعداد المركبة، فإن نظرية تلاشي كودايرا تشير إلى أن زمر تماثل الحزمحج(X،ياX){\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})}تختفي حزمة الهيكل لـج>0{\displaystyle j>0}. على وجه الخصوص، جنس تودχ(X،يا)=∑(-1)جحج(X،ياX){\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}})=\sum (-1)^{j}h^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})}يساوي تلقائيًا 1.ج=1،2{\displaystyle j=1,2}تُخبرنا حالات هذا البيان المتلاشي أيضًا أن فئة تشيرن الأولى تُحدث تماثلًاج1:Pأناج(X)→ح2(X،Z){\displaystyle c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}.

بحسب حل ياو لتخمين كالابي ، فإن أي تنوع عقدي أملس يقبل مقاييس كاهلر ذات انحناء ريتشي موجب إذا وفقط إذا كان فانو. وبالتالي، تنص نظرية مايرز على أن الغطاء الشامل لمتشعب فانو متراص، وبالتالي لا يمكن أن يكون إلا غطاءً منتهيًا. مع ذلك، فقد رأينا للتو أن جنس تود لمتشعب فانو يجب أن يساوي 1. وبما أن هذا ينطبق أيضًا على الغطاء الشامل للمتشعب، وبما أن جنس تود ضربي تحت الأغطية المنتهية، فإنه يترتب على ذلك أن أي متشعب فانو بسيط الاتصال .

والحقيقة الأسهل بكثير هي أن كل نوع من أنواع فانو له بُعد كودايرا −∞.

أثبت كامبانا وكولار - مياوكا - موري أن تنوع فانو الأملس على حقل مغلق جبريًا متصل بسلسلة منطقية ؛ أي أن أي نقطتين مغلقتين يمكن ربطهما بسلسلة من المنحنيات المنطقية . [ 1 ] كما أثبت كولار-مياوكا-موري أن تنوعات فانو الأملسة ذات بُعد معين على حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفرية تُشكل عائلة محدودة، بمعنى أنها تُصنف حسب نقاط عدد محدود من التنوعات الجبرية. [ 2 ] وعلى وجه الخصوص، يوجد عدد محدود فقط من فئات التشوه لتنوعات فانو لكل بُعد. وبهذا المعنى، تُعد تنوعات فانو أكثر تميزًا من فئات التنوعات الأخرى، مثل التنوعات من النوع العام .

التصنيف في أبعاد صغيرة

يتناول النقاش التالي أصناف فانو الملساء على الأعداد المركبة.

منحنى فانو متماثل مع الخط الإسقاطي .

يُطلق على سطح فانو أيضًا اسم سطح ديل بيزو . كل سطح ديل بيزو متماثل إما مع P1 × P1 أو مع المستوى الإسقاطي الموسع في ثماني نقاط على الأكثر، والتي يجب أن تكون في وضع عام. ونتيجة لذلك، فإن جميعها أسطح نسبية .

في البُعد الثالث، توجد أصناف فانو المركبة الملساء غير العقلانية، مثل الأصناف المكعبة ثلاثية الأبعاد في P⁴ (حسب تصنيف كليمنس - غريفيث ) والأصناف الرباعية ثلاثية الأبعاد في P⁴ (حسب تصنيف إسكوفسكيخ - مانين ). صنف إسكوفسكيخ ( 1977 ، 1978 ، 1979 ) أصناف فانو ثلاثية الأبعاد الملساء ذات عدد بيتي الثاني 1 إلى 17 فئة، بينما صنف موري وموكاي (1981) الأصناف الملساء ذات عدد بيتي الثاني 2 على الأقل، ووجدا 88 فئة تشوه. يُقدم إسكوفسكيخ وبروكوروف (1999) ملخصًا تفصيليًا لتصنيف أصناف فانو ثلاثية الأبعاد الملساء . 

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ ج. كولار. المنحنيات العقلانية على المتنوعات الجبرية. النظرية V.2.13.
  2. ↑ ج. كولار. المنحنيات العقلانية على المتنوعات الجبرية. النتيجة V.2.15.
  • فانوغرافيا - أداة لدراسة تصنيف أنواع فانو ثلاثية الأبعاد بصريًا.

مراجع