العدد الفيبيني

في الرياضيات ، الأعداد الفيبينية هي الأعداد التي لا يحتوي تمثيلها الثنائي على رقمين متتاليين. أي أنها عبارة عن مجموع قوى مختلفة وغير متتالية للعدد اثنين . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

أطلق مارك ليبرون اسم الأعداد الفيبوناتية عليها، لأنها تجمع بين خصائص معينة للأعداد الثنائية وأعداد فيبوناتشي : ^{[ 1 ]}

• عدد الأعداد الفيبوناتشية الأقل من أي قوة معينة للعدد اثنين هو عدد فيبوناتشي. على سبيل المثال، هناك 13 عددًا فيبوناتشيًا أقل من 32، وهي الأعداد 0، 1، 2، 4، 5، 8، 9، 10، 16، 17، 18، 20، و21. ^{[ 1 ]}
• إن شرط عدم وجود رقمين متتاليين يساوي 1، المستخدم في النظام الثنائي لتعريف الأعداد الفيبوناتشية، هو نفس الشرط المستخدم في تمثيل زيكندورف لأي عدد كمجموع أعداد فيبوناتشي غير متتالية. ^{[ 1 ]}
• ال${\displaystyle n}$يمكن حساب العدد الفيبيني رقم 1 (مع اعتبار الصفر هو العدد رقم 0) عن طريق التعبير عن${\displaystyle n}$في تمثيل زيكندورف الخاص به، وإعادة تفسير التسلسل الثنائي الناتج كتمثيل ثنائي لعدد. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، تمثيل زيكندورف للعدد 19 هو 101001 (حيث تشير الآحاد إلى مواضع أعداد فيبوناتشي المستخدمة في التوسع 19 = 13 + 5 + 1 )، والتسلسل الثنائي 101001، عند تفسيره كعدد ثنائي، يمثل 41 = 32 + 8 + 1 ، والعدد الثنائي التاسع عشر في فيبوناتشي هو 41.
• ال${\displaystyle n}$يكون العدد الفيبيني رقم 1 (مع احتساب الصفر كرقم صفر) زوجيًا أو فرديًا إذا وفقط إذا${\displaystyle n}$القيمة رقم في متتالية فيبوناتشي هي 0 أو 1 على التوالي. ^{[ 3 ]}

لأن خاصية عدم وجود رقمين متتاليين يساويان واحدًا تحدد لغة منتظمة ، يمكن التعرف على التمثيلات الثنائية للأعداد الفيبينية بواسطة آلة محدودة ، مما يعني أن الأعداد الفيبينية تشكل مجموعة آلية ثنائية . ^{[ 4 ]}

تشمل الأعداد الفيبينية متتالية موسر-دي بروين ، وهي عبارة عن مجموع قوى مختلفة للعدد أربعة. وكما يمكن تكوين الأعداد الفيبينية بإعادة تفسير تمثيلات زيكندورف على أنها ثنائية، يمكن تكوين متتالية موسر-دي بروين بإعادة تفسير التمثيلات الثنائية على أنها رباعية. ^{[ 5 ]}

رقم${\displaystyle n}$يكون العدد فيبيني إذا وفقط إذا كان معامل ذي الحدين${\displaystyle {\tbinom {3n}{n}}}$غريب. ^{[ 1 ]} وفي سياق متصل،${\displaystyle n}$يكون النظام فيبي ثنائيًا إذا وفقط إذا كان عدد ستيرلينغ المركزي من النوع الثاني${\displaystyle \textstyle \left\{{2n \atop n}\right\}}$غريب. ^{[ 6 ]}

كل عدد فيبيني${\displaystyle f_{i}}$يأخذ أحد الشكلين${\displaystyle 2f_{j}}$أو${\displaystyle 4f_{j}+1}$، أين${\displaystyle f_{j}}$هو عدد فيبيني آخر. ^{[ 3 ] [ 7 ]} وبالمثل، فإن متسلسلة القوى التي أسسها أعداد فيبينية، $${\displaystyle B(x)=1+x+x^{2}+x^{4}+x^{5}+x^{8}+\cdots ,}$$ يلتزم بالمعادلة الوظيفية ^{[ 2 ]}$${\displaystyle B(x)=xB(x^{4})+B(x^{2}).}$$

يقدم مادريتش وواغنر (2010) صيغًا تقريبية لعدد التقسيمات الصحيحة التي تكون فيها جميع الأجزاء ثنائية فيبوناتية. ^{[ 7 ]}

إذا كان الرسم البياني مكعبًا فائقًا${\displaystyle Q_{d}}$من الأبعاد${\displaystyle d}$يتم فهرسة البيانات بواسطة أعداد صحيحة من 0 إلى${\displaystyle 2^{d}-1}$، بحيث يكون رأسان متجاورين عندما يكون لمؤشراتهما تمثيلات ثنائية بمسافة هامينغ تساوي واحدًا، فإن المجموعة الفرعية من الرؤوس المفهرسة بالأعداد الثنائية الفيبوناتشية تشكل مكعب فيبوناتشي كرسم بياني فرعي مستحث . ^{[ 8 ]}

لكل عدد مضاعف فيبي ثنائي. على سبيل المثال، العدد 15 ليس فيبي ثنائي، ولكن ضربه في 11 ينتج عنه 165 (10100101 ₂ )، وهو فيبي ثنائي. ^{[ 9 ]}