طرق الفروق المحدودة لتسعير الخيارات

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 4 صور
الموسوعة الحرة

تُعدّ طرق الفروق المحدودة لتسعير الخيارات أساليب عددية تُستخدم في التمويل الرياضي لتقييم الخيارات . [ 1 ] طُبّقت طرق الفروق المحدودة لأول مرة على تسعير الخيارات بواسطة إدواردو شوارتز عام 1977. [ 2 ] [ 3 ] : 180

تُستخدم طرق الفروق المحدودة عمومًا لتسعير الخيارات عن طريق تقريب المعادلة التفاضلية (المستمرة زمنيًا) التي تصف كيفية تطور سعر الخيار بمرور الوقت، وذلك باستخدام مجموعة من معادلات الفروق (المتقطعة زمنيًا) . ويمكن بعد ذلك حل معادلات الفروق المتقطعة بشكل تكراري لحساب سعر الخيار. [ 4 ] ينشأ هذا النهج من إمكانية نمذجة تطور قيمة الخيار عبر معادلة تفاضلية جزئية ، كدالة ( على الأقل) للوقت وسعر الأصل الأساسي؛ انظر على سبيل المثال معادلة بلاك-شولز التفاضلية الجزئية . وبمجرد الوصول إلى هذه الصيغة، يمكن اشتقاق نموذج الفروق المحدودة، ومن ثم الحصول على التقييم. [ 2 ]

يمكن استخدام هذا النهج لحل مشاكل تسعير المشتقات التي تتمتع، بشكل عام، بنفس مستوى التعقيد الذي تتمتع به تلك المشاكل التي يتم حلها بواسطة أساليب الشجرة . [ 1 ]

طريقة

كما سبق، تُعبّر المعادلة التفاضلية الجزئية بصيغة منفصلة باستخدام الفروق المحدودة ، ثم يُنمذج تطور سعر الخيار باستخدام شبكة ذات أبعاد مقابلة : يمتد الزمن من 0 إلى تاريخ الاستحقاق؛ ويمتد السعر من 0 إلى قيمة "عالية"، بحيث يكون الخيار رابحًا أو خاسرًا بشكل كبير . ويُقيّم الخيار بعد ذلك على النحو التالي: [ 5 ]

  1. تمثل قيم الاستحقاق ببساطة الفرق بين سعر ممارسة الخيار وقيمة الأصل الأساسي عند كل نقطة (على سبيل المثال، خيار الشراء).ج(S،تي)=مأx{S-ك،0}{\displaystyle C(S,T)=max\{SK,0\}}).
  2. يتم تحديد القيم عند الحدود - أي عند كل وقت سابق حيث يكون السعر الفوري في أعلى مستوياته أو صفرًا - بناءً على حدود الربحية أو المراجحة على أسعار الخيارات (بالنسبة لخيار الشراء،ج(0،ت)=0{\displaystyle C(0,t)=0}لكل t وج(S،ت)=S-كهـ-ر(تي-ت){\displaystyle C(S,t)=S-Ke^{-r(Tt)}}مثلS→∞{\displaystyle S\rightarrow \infty }).
  3. يتم حساب القيم عند نقاط الشبكة الأخرى بشكل متكرر (تكراري)، بدءًا من الخطوة الزمنية التي تسبق تاريخ الاستحقاق وانتهاءً بالوقت = 0. هنا، باستخدام تقنية مثل كرانك-نيكلسون أو الطريقة الصريحة :
  • يتم تقسيم المعادلة التفاضلية الجزئية وفقًا للتقنية المختارة، بحيث يتم تحديد القيمة عند كل نقطة شبكية كدالة للقيمة عند النقاط اللاحقة والمجاورة؛ انظر الاستنسل (التحليل العددي) ؛
  • ثم يتم إيجاد القيمة عند كل نقطة باستخدام التقنية المذكورة؛ بالعمل عكسيًا في الوقت من تاريخ الاستحقاق، وداخليًا من أسعار الحدود.
4. يتم بعد ذلك إيجاد قيمة الخيار اليوم، حيث يكون الأصل الأساسي عند سعره الفوري ، (أو عند أي مزيج من الوقت/السعر)، عن طريق الاستيفاء .

طلب

كما ذُكر أعلاه، يمكن لهذه الطرق حل مسائل تسعير المشتقات التي تتسم، عمومًا، بنفس مستوى التعقيد الذي تتسم به المسائل التي تُحل باستخدام أساليب الأشجار ، [ 1 ] ولكن نظرًا لتعقيدها النسبي، لا تُستخدم عادةً إلا عندما تكون الأساليب الأخرى غير مناسبة؛ ومن الأمثلة على ذلك هنا، تغير أسعار الفائدة و/أو سياسة توزيع الأرباح المرتبطة بالوقت . في الوقت نفسه، وكما هو الحال مع الأساليب القائمة على الأشجار، فإن هذا الأسلوب محدود من حيث عدد المتغيرات الأساسية، وبالنسبة للمسائل متعددة الأبعاد ، تُفضل عادةً طرق مونت كارلو لتسعير الخيارات . [ 3 ] : 182 تجدر الإشارة إلى أنه عند تطبيق الافتراضات القياسية، تشمل التقنية الصريحة أساليب الأشجار ذات الحدين والثلاثية . [ 6 ] وبالتالي، فإن الأساليب القائمة على الأشجار، بعد تحديد معاييرها بشكل مناسب، تُعد حالة خاصة من طريقة الفروق المحدودة الصريحة. [ 7 ]

مراجع

  1. 1 2 3 هول، جون سي. (2002). الخيارات والعقود الآجلة والمشتقات الأخرى (  الطبعة الخامسة). برنتيس هول . ISBN 978-0-13-009056-0.
  2. 1 2 شوارتز، إي. (يناير 1977). "تقييم الضمانات: تطبيق نهج جديد" . مجلة الاقتصاد المالي . 4 : 79-94 . doi : 10.1016/0304-405X(77)90037-X .
  3. 1 2 بويل، فيليم ؛ فيدليم بويل (2001). المشتقات: الأدوات التي غيرت التمويل . منشورات ريسك. ISBN 978-1899332885.
  4. ↑ فيل جودارد (دكتوراه في الطب الطبيعي). تسعير الخيارات - طرق الفروق المحدودة
  5. ↑ ويلموت، ب .؛ هاويسون، س.؛ ديوين، ج. (1995). رياضيات المشتقات المالية: مقدمة للطلاب . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-49789-3.
  6. ↑Brennan, M.; Schwartz, E. (September 1978). "Finite Difference Methods and Jump Processes Arising in the Pricing of Contingent Claims: A Synthesis". Journal of Financial and Quantitative Analysis. 13 (3): 461–474. doi:10.2307/2330152. JSTOR 2330152. S2CID 250121477.
  7. ↑Rubinstein, M. (2000). "On the Relation Between Binomial and Trinomial Option Pricing Models". Journal of Derivatives. 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394. doi:10.3905/jod.2000.319149. S2CID 11743572. Archived from the original on June 22, 2007.