شجرة ثلاثية الحدود

شجرة ثلاثية الحدود هي نموذج حسابي قائم على الشبكة يُستخدم في الرياضيات المالية لتسعير خيارات الأسهم . طُوِّرت هذه الشجرة على يد فيليم بويل عام ١٩٨٦. وهي امتداد لنموذج تسعير الخيارات الثنائية ، وتتشابه معه من حيث المفهوم. كما يمكن إثبات أن هذا النهج يُكافئ طريقة الفروق المحدودة الصريحة لتسعير الخيارات . ^{[ ١ ]}

يتم أيضًا استخدام الأشجار الثلاثية ^{[ 2 ]} للدخل الثابت ومشتقات أسعار الفائدة ؛ انظر تحت نموذج الشبكة (التمويل) .

في طريقة الثلاثية الحدود، يُنمذج سعر السهم الأساسي كشجرة إعادة تركيب، حيث يمتلك السعر عند كل عقدة ثلاثة مسارات محتملة: صعود، هبوط، واستقرار أو مسار متوسط. ^{[ 3 ]} تُحسب هذه القيم بضرب القيمة عند العقدة الحالية بالمعامل المناسب.${\displaystyle u\,}$،${\displaystyle d\,}$أو${\displaystyle m\,}$أين

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}={\frac {1}{u}}\,}$(تتشكل البنية من جديد)

${\displaystyle m=1\,}$

والاحتمالات المقابلة هي:

${\displaystyle p_{u}=\left({\frac {e^{(rq)\Delta t/2}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,}$

${\displaystyle p_{d}=\left({\frac {e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{(rq)\Delta t/2}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,}$

${\displaystyle p_{m}=1-(p_{u}+p_{d})\,}$.

في الصيغ أعلاه:${\displaystyle \Delta t\,}$يمثل طول الوقت لكل خطوة في الشجرة وهو ببساطة الوقت اللازم للنضج مقسومًا على عدد الخطوات الزمنية؛${\displaystyle r\,}$هو معدل الفائدة الخالي من المخاطر على مدى هذه المدة؛${\displaystyle \sigma \,}$يمثل التقلب المقابل للأصل الأساسي ؛${\displaystyle q\,}$وهو عائد توزيعات الأرباح المقابل له . ^{[ 4 ]}

كما هو الحال مع النموذج ذي الحدين، يتم تحديد هذه العوامل والاحتمالات لضمان تطور سعر الأصل الأساسي كمارتينجال ، بينما تتم مطابقة العزوم - مع مراعاة تباعد العقد والاحتمالات - مع تلك الخاصة بالتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ^{[ 5 ]} (وبدقة متزايدة مع الخطوات الزمنية الأصغر). لاحظ أنه بالنسبة لـ  ${\displaystyle p_{u}}$،${\displaystyle p_{d}}$، و${\displaystyle p_{m}}$أن يكون في الفترة${\displaystyle (0,1)}$الشرط التالي على${\displaystyle \Delta t}$يجب استيفاء${\displaystyle \Delta t<2{\frac {\sigma ^{2}}{(rq)^{2}}}}$.

بعد حساب شجرة الأسعار، يتم إيجاد سعر الخيار عند كل عقدة، كما هو الحال في النموذج ذي الحدين ، وذلك بالعمل عكسياً من العقد الأخيرة إلى العقدة الحالية.${\displaystyle t_{0}}$(يكمن الاختلاف في أن قيمة الخيار عند كل عقدة غير نهائية تُحدد بناءً على العقد الثلاث اللاحقة - بدلاً من العقدتين - واحتمالاتها المقابلة. ^{[ 6 ]}  

إذا كان طول الخطوات الزمنية${\displaystyle \Delta t}$إذا اعتُبرت قيمة متغيرًا عشوائيًا يتبع التوزيع الأسي، وفُسِّرت على أنها الفترة الزمنية الفاصلة بين حركتين متتاليتين لسعر السهم، فإن العملية العشوائية الناتجة هي عملية ولادة-وفاة . النموذج الناتج قابل للحل، وتوجد صيغ تحليلية للتسعير والتحوط لمختلف الخيارات.

يُعتبر النموذج الثلاثي الحدود ^{[ 7 ]} أكثر دقة من النموذج الثنائي الحدودي عند نمذجة عدد أقل من الخطوات الزمنية، ولذلك يُستخدم عندما تكون سرعة الحساب أو الموارد محدودة. بالنسبة للخيارات الأساسية ، مع ازدياد عدد الخطوات، تتقارب النتائج بسرعة، ويُفضّل حينها النموذج الثنائي الحدودي لسهولة تطبيقه. أما بالنسبة للخيارات غير التقليدية ، فقد يكون النموذج الثلاثي الحدودي (أو التعديلات عليه ^{[ 8 ]} ) أكثر استقرارًا ودقة في بعض الأحيان، بغض النظر عن حجم الخطوة.

• نموذج تسعير الخيارات الثنائية
• تقييم الخيارات
• الخيار: تنفيذ النموذج
• نموذج كورن-كريير-لينسن
• شجرة ثلاثية الحدود الضمنية
• نموذج الشبكة (التمويل) §  مشتقات أسعار الفائدة

• فيليم بويل ، 1986. "تقييم الخيارات باستخدام عملية القفز الثلاثية"، مجلة الخيارات الدولية 3، 7-12.
• روبنشتاين، م. (2000). "حول العلاقة بين نماذج تسعير الخيارات ذات الحدين والثلاثية" . مجلة المشتقات . 8 (2): 47-50 . CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . doi : 10.3905/jod.2000.319149 . مؤرشف من الأصل في 22 يونيو 2007. 
• بول كليفورد وآخرون، 2010. خيارات التسعير باستخدام الأشجار الثلاثية ، جامعة وارويك
• تيرو هتلا، 2010. "إعادة دمج الشجرة الثلاثية لتقييم الخيارات الحقيقية مع تغير التقلبات" ، جامعة آلتو ، سلسلة أوراق العمل.
• رالف كورن، ماركوس كريير ومارك لينسن، 1998. "تسعير الخيارات الأوروبية عندما يتبع سعر السهم الأساسي عملية ولادة-وفاة خطية"، النماذج العشوائية، المجلد 14 (3)، الصفحات 647-662
• بيتر هودلي. حاسبة خيارات الشجرة الثلاثية (مع عرض الشجرة)