متعدد الحدود العام

في الرياضيات ، يُشير مصطلح "كثير الحدود العام" عادةً إلى كثير الحدود الذي تكون معاملاته غير محددة . على سبيل المثال، إذا كانت a و b و c معاملات غير محددة، فإن كثير الحدود العام من الدرجة الثانية في x هو${\displaystyle ax^{2}+bx+c.}$

مع ذلك، في نظرية غالوا ، وهي فرع من فروع الجبر ، وفي هذه المقالة، يحمل مصطلح " متعدد الحدود العام " معنىً مختلفًا، وإن كان ذا صلة: متعدد الحدود العام لمجموعة منتهية G وحقل F هو متعدد حدود أحادي P بمعاملات في حقل الدوال الكسرية L = F ( t ₁ , ..., t _n ) في n متغيرًا على F ، بحيث يكون حقل التقسيم M لـ P هو مجموعة غالوا G على L ، وبحيث يمكن الحصول على أي امتداد K / F بمجموعة غالوا G كحقل تقسيم لمتعدد حدود هو تخصيص لـ P ناتج عن تعيين n متغيرًا إلى n عنصرًا من F. يُطلق على هذا أحيانًا اسم F-عام أو نسبي للحقل F ؛ أما متعدد الحدود Q- عام ، وهو عام بالنسبة للأعداد الكسرية، فيُطلق عليه ببساطة عام.

إن وجود، وخاصة بناء، متعددة حدود عامة لمجموعة غالوا معينة يوفر حلاً كاملاً لمسألة غالوا العكسية لتلك المجموعة. مع ذلك، لا تمتلك جميع مجموعات غالوا متعددات حدود عامة، ومن الأمثلة المضادة على ذلك المجموعة الدورية من الرتبة ثمانية.

• المجموعة المتناظرة S _n . هذا أمر بديهي، كما

${\displaystyle x^{n}+t_{1}x^{n-1}+\cdots +t_{n}}$

هي متعددة حدود عامة لـ S _n .

• المجموعات الدورية C _n ، حيث n لا يقبل القسمة على ثمانية. أظهر لينسترا أن المجموعة الدورية لا تمتلك متعددة حدود عامة إذا كان n يقبل القسمة على ثمانية، وقام جي دبليو سميث بإنشاء متعددة حدود كهذه بشكل صريح في حالة عدم قابلية n للقسمة على ثمانية.
• يؤدي بناء المجموعة الدورية إلى فئات أخرى من كثيرات الحدود العامة؛ على وجه الخصوص، تحتوي المجموعة ثنائية السطوح D _n على كثير حدود عام إذا وفقط إذا كان n غير قابل للقسمة على ثمانية.
• مجموعة الكواترنيون Q ₈ .
• مجموعات هايزنبرغ${\displaystyle H_{p^{3}}}$لأي عدد أولي فردي p .
• المجموعة المتناوبة A ₄ .
• المجموعة المتناوبة A ₅ .
• مجموعات الانعكاس المعرفة على Q ، بما في ذلك على وجه الخصوص مجموعات أنظمة الجذر لـ E ₆ و E ₇ و E ₈ .
• أي مجموعة هي ناتج مباشر لمجموعتين لكل منهما كثيرات حدود عامة.
• أي مجموعة هي عبارة عن حاصل ضرب إكليل لمجموعتين لكل منهما كثيرات حدود عامة.

مجموعة	كثير الحدود العام
ج 2	${\displaystyle x^{2}-t}$
ج 3	${\displaystyle x^{3}-tx^{2}+(t-3)x+1}$
S 3	${\displaystyle x^{3}-t(x+1)}$
V	${\displaystyle (x^{2}-s)(x^{2}-t)}$
ج 4	${\displaystyle x^{4}-2s(t^{2}+1)x^{2}+s^{2}t^{2}(t^{2}+1)}$
د 4	${\displaystyle x^{4}-2stx^{2}+s^{2}t(t-1)}$
S 4	${\displaystyle x^{4}+sx^{2}-t(x+1)}$
د 5	${\displaystyle x^{5}+(t-3)x^{4}+(s-t+3)x^{3}+(t^{2}-t-2s-1)x^{2}+sx+t}$
S 5	${\displaystyle x^{5}+sx^{3}-t(x+1)}$

تُعرف كثيرات الحدود العامة لجميع المجموعات المتعدية من الدرجة 5 أو أقل.

البعد العام لمجموعة منتهية G على حقل F ، ويرمز له بـ${\displaystyle gd_{F}G}$يُعرَّف بأنه الحد الأدنى لعدد المعاملات في كثير الحدود العام لـ G على F ، أو${\displaystyle \infty }$إذا لم تكن هناك متعددة حدود عامة.

أمثلة:

• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }A_{3}=1}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }S_{3}=1}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }D_{4}=2}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }S_{4}=2}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }D_{5}=2}$
• ${\displaystyle gd_{\mathbb {Q} }S_{5}=2}$

• جنسن، كريستيان يو، ليديت، آرني، ويوي، نوريكو، كثيرات الحدود العامة ، مطبعة جامعة كامبريدج، 2002