نموذج سداسي صلب

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 18 صور
الموسوعة الحرة

في الميكانيكا الإحصائية ، يعتبر نموذج السداسي الصلب نموذجًا شبكيًا ثنائي الأبعاد للغاز، حيث يُسمح للجسيمات بالتواجد على رؤوس شبكة مثلثية ولكن لا يجوز أن يكون أي جسيمين متجاورين.

تم حل النموذج بواسطة رودني باكستر ( 1980 ) ، الذي وجد أنه مرتبط بهويات روجرز-رامانوجان . 

دالة التقسيم لنموذج السداسي الصلب

يظهر نموذج السداسي الصلب ضمن إطار المجموعة الكبرى الكنسية ، حيث يُسمح للعدد الإجمالي للجسيمات (السداسيات) بالتغير بشكل طبيعي، ويُحدد بواسطة جهد كيميائي . في نموذج السداسي الصلب، جميع الحالات الصالحة لها طاقة صفرية، وبالتالي فإن المتغير الديناميكي الحراري الوحيد المهم هو نسبة الجهد الكيميائي إلى درجة الحرارة μ /( kT ). يُطلق على الأسي لهذه النسبة، z = exp( μ /( kT ))، اسم النشاط ، وتتوافق القيم الأكبر تقريبًا مع التكوينات الأكثر كثافة.

بالنسبة لشبكة مثلثية تحتوي على N موقعًا، فإن دالة التقسيم الكبرى هي

Z(z)=∑نzنز(ن،شمال)=1+شمالz+12شمال(شمال-7)z2+⋯{\displaystyle \displaystyle {\mathcal {Z}}(z)=\sum _{n}z^{n}g(n,N)=1+Nz+{\tfrac {1}{2}}N(N-7)z^{2}+\cdots }

حيث g ( n , N ) هو عدد طرق وضع n جسيمًا على مواقع شبكية مختلفة بحيث لا يكون أي جسيمين متجاورين. تُعرَّف الدالة κ بواسطة

κ(z)=ليمشمال→∞Z(z)1/شمال=1+z-3z2+⋯{\displaystyle \kappa (z)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\mathcal {Z}}(z)^{1/N}=1+z-3z^{2}+\cdots }

بحيث يكون log( κ ) هو الطاقة الحرة لكل وحدة موقع. حل نموذج السداسي الصلب يعني (تقريبًا) إيجاد تعبير دقيق لـ κ كدالة لـ z .

يُعطى متوسط ​​الكثافة ρ لقيم z الصغيرة بالعلاقة التالية :

ρ=zدسجل⁡(κ)دz=z-7z2+58z3-519z4+4856z5+⋯.{\displaystyle \rho =z{\frac {d\log(\kappa )}{dz}}=z-7z^{2}+58z^{3}-519z^{4}+4856z^{5}+\cdots .}

تنقسم رؤوس الشبكة إلى ثلاث فئات مرقمة 1 و2 و3، تمثلها الطرق الثلاث المختلفة لملء الفراغ بسداسيات صلبة. توجد ثلاث كثافات محلية ρ1 و ρ2 و ρ3 ، تُقابل فئات المواقع الثلاث. عندما يكون النشاط كبيرًا ، يقترب النظام من إحدى هذه التعبئة الثلاث، لذا تختلف الكثافات المحلية، ولكن عندما يكون النشاط أقل من نقطة حرجة ، تتساوى الكثافات المحلية الثلاث. النقطة الحرجة التي تفصل الطور المتجانس منخفض النشاط عن الطور المرتب عالي النشاط هيzج=(11+55)/2=ϕ5=11.09017....{\displaystyle z_{c}=(11+5{\sqrt {5}})/2=\phi ^{5}=11.09017....}بنسبة ذهبية φ . فوق النقطة الحرجة، تختلف الكثافات المحلية، وفي المرحلة التي تتواجد فيها معظم الأشكال السداسية في مواقع من النوع 1، يمكن توسيعها على النحو التالي:

ρ1=1-z-1-5z-2-34z-3-267z-4-2037z-5-⋯{\displaystyle \rho _{1}=1-z^{-1}-5z^{-2}-34z^{-3}-267z^{-4}-2037z^{-5}-\cdots }
ρ2=ρ3=z-2+9z-3+80z-4+965z-5-⋯.{\displaystyle \rho _{2}=\rho _{3}=z^{-2}+9z^{-3}+80z^{-4}+965z^{-5}-\cdots .}

حل

يُعطى الحل للقيم الصغيرة لـ z  < z c بواسطة 

z=-xح(x)5جي(x)5{\displaystyle \displaystyle z={\frac {-xH(x)^{5}}{G(x)^{5}}}}
κ=ح(x)3سؤال(x5)2جي(x)2∏ن≥1(1-x6ن-4)(1-x6ن-3)2(1-x6ن-2)(1-x6ن-5)(1-x6ن-1)(1-x6ن)2{\displaystyle \kappa ={\frac {H(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{G(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{6n-4})(1-x^{6n-3})^{2}(1-x^{6n-2})}{(1-x^{6n-5})(1-x^{6n-1})(1-x^{6n})^{2}}}}
ρ=ρ1=ρ2=ρ3=-xجي(x)ح(x6)P(x3)P(x){\displaystyle \rho =\rho _{1}=\rho _{2}=\rho _{3}={\frac {-xG(x)H(x^{6})P(x^{3})}{P(x)}}}

أين

جي(x)=∏ن≥11(1-x5ن-4)(1-x5ن-1){\displaystyle G(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-4})(1-x^{5n-1})}}}
ح(x)=∏ن≥11(1-x5ن-3)(1-x5ن-2){\displaystyle H(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-3})(1-x^{5n-2})}}}
P(x)=∏ن≥1(1-x2ن-1)=سؤال(x)/سؤال(x2){\displaystyle P(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{2n-1})=Q(x)/Q(x^{2})}
سؤال(x)=∏ن≥1(1-xن).{\displaystyle Q(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{n}).}

بالنسبة لقيم z  الكبيرة > z c، يُعطى الحل (في المرحلة التي تكون فيها معظم المواقع المشغولة من النوع 1) بواسطة 

z=جي(x)5xح(x)5{\displaystyle \displaystyle z={\frac {G(x)^{5}}{xH(x)^{5}}}}
κ=x-13جي(x)3سؤال(x5)2ح(x)2∏ن≥1(1-x3ن-2)(1-x3ن-1)(1-x3ن)2{\displaystyle \kappa =x^{-{\frac {1}{3}}}{\frac {G(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{H(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{3n-2})(1-x^{3n-1})}{(1-x^{3n})^{2}}}}
ρ1=ح(x)سؤال(x)(جي(x)سؤال(x)+x2ح(x9)سؤال(x9))سؤال(x3)2{\displaystyle \rho _{1}={\frac {H(x)Q(x)(G(x)Q(x)+x^{2}H(x^{9})Q(x^{9}))}{Q(x^{3})^{2}}}}
ρ2=ρ3=x2ح(x)سؤال(x)ح(x9)سؤال(x9)سؤال(x3)2{\displaystyle \rho _{2}=\rho _{3}={\frac {x^{2}H(x)Q(x)H(x^{9})Q(x^{9})}{Q(x^{3})^{2}}}}
R=ρ1-ρ2=سؤال(x)سؤال(x5)سؤال(x3)2.{\displaystyle R=\rho _{1}-\rho _{2}={\frac {Q(x)Q(x^{5})}{Q(x^{3})^{2}}}.}

تظهر الدالتان G و H في متطابقات روجرز-رامانوجان ، والدالة Q هي دالة أويلر ، المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بدالة إيتا لديديكيند . إذا كان x = e ^( 2πiτ ) ، فإن x - 1/60 G ( x )، و x - 1/60 H ( x )، و x - 1/24 P ( x )، و z، و κ، و ρ، و ρ1، و ρ2، و ρ3 هي دوال نمطية لـ τ ، بينما x - 1/24 Q ( x ) هي صيغة نمطية من الوزن 1/2 . بما أن أي دالتين نمطيتين مرتبطتان بعلاقة جبرية، فإن هذا يعني أن الدوال κ ، و z ، و R ، و ρ هي جميعها دوال جبرية لبعضها البعض (من درجة عالية جدًا) ( جويس 1988 ) . على وجه الخصوص، قيمة κ (1)، التي أطلق عليها إريك وايسشتاين اسم ثابت إنتروبيا السداسي الصلب ( وايسشتاين ) ، هي عدد جبري من الدرجة 24 يساوي 1.395485972... ( (المتتالية A085851 في OEIS ) ). 

يمكن تعريف نموذج السداسي الصلب بشكل مماثل على الشبكات المربعة وشبكات قرص العسل. لا يوجد حل دقيق معروف لأي من هذين النموذجين، لكن النقطة الحرجة z c قريبة من3.7962 ± 0.0001 للشبكة المربعة و7.92 ± 0.08 لشبكة قرص العسل؛ κ (1) هو تقريبًا 1.503048082...  ( (التسلسل A085850 في OEIS ) ) لشبكة المربع و 1.546440708... لشبكة قرص العسل ( باكستر 1999 ) .

مراجع