حلزوني

السطح الحلزوني ، المعروف أيضًا بالسطح الحلزوني ، هو سطح أملس مغمور في الفضاء ثلاثي الأبعاد . وهو السطح الذي يرسمه خط لانهائي يدور ويرتفع في آن واحد حول محور دورانه الثابت . وهو ثالث أصغر سطح معروف، بعد السطح المستوي والسطح السلسلي .

تم وصفه بواسطة أويلر في عام 1774 وجان بابتيست ميوسنييه في عام 1776. ويشتق اسمه من تشابهه مع الحلزون : فلكل نقطة على الحلزون، يوجد حلزون موجود في الحلزون يمر عبر تلك النقطة.

يُعدّ السطح الحلزوني سطحًا مُسطّرًا (ومخروطًا قائمًا )، أي أنه أثر لخط. بمعنى آخر، لكل نقطة على السطح، يوجد خط على السطح يمرّ بها. في الواقع، أثبت كاتالان عام 1842 أن السطح الحلزوني والمستوى هما السطحان المُسطّران الأدنى الوحيدان . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يُعد السطح الحلزوني أيضًا سطحًا انتقاليًا بمعنى الهندسة التفاضلية.

يُعد كل من الحلزوني والقطعي جزءًا من عائلة الأسطح الدنيا الحلزونية-القطعية.

يتخذ الشكل الحلزوني شكل لولب أرخميدس ، ولكنه يمتد بلا حدود في جميع الاتجاهات. ويمكن وصفه بالمعادلات البارامترية التالية في الإحداثيات الديكارتية :

${\displaystyle x=\rho \cos(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle y=\rho \sin(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle z=\theta ,\ }$

حيث تتراوح قيمتا ρ و θ من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية، بينما α ثابت. إذا كانت α موجبة، فإن الحلزون يكون يمينياً كما هو موضح في الشكل؛ وإذا كانت سالبة، فإنه يكون يسارياً.

يتميز الشكل الحلزوني بانحناءات رئيسية${\displaystyle \pm \alpha /(1+\alpha ^{2}\rho ^{2})\ }$. مجموع هذه الكميات يعطي متوسط ​​الانحناء (صفر لأن الحلزون هو سطح أدنى) والناتج يعطي انحناء غاوس .

يكون الشكل الحلزوني متماثلًا مع المستوى${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$لتوضيح ذلك، دع قيمة α تتناقص باستمرار من قيمتها المعطاة إلى الصفر . كل قيمة وسيطة لـ α ستصف شكلاً حلزونياً مختلفاً، حتى يتم الوصول إلى α = 0 ويصبح الشكل الحلزوني مستوىً رأسياً .

وعلى العكس من ذلك، يمكن تحويل المستوى إلى شكل حلزوني عن طريق اختيار خط أو محور على المستوى، ثم تدوير المستوى حول ذلك المحور.

إذا دار سطح حلزوني نصف قطره R بزاوية θ حول محوره أثناء ارتفاعه بمقدار h ، فإن مساحة السطح تعطى بواسطة ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {\theta }{2}}\left[R{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}+c^{2}\ln \left({\frac {R+{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}}{c}}\right)\right],\ c={\frac {h}{\theta }}.}$

السطح الحلزوني والسطح السلسلي هما سطحان متساويان القياس محليًا؛ انظر تحويل السطح السلسلي#السطح الحلزوني .

• حلزوني معمّم
• سطح ديني
• مخروطي قائم
• سطح مُسطّر

• "الحلزوني" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• حلزون ثلاثي الأبعاد تفاعلي قائم على WebGL