ديناميكية سلسة

الديناميكيات السلسة هي فرع من فروع الأنظمة الديناميكية ، وغالبًا ما يتم دراستها باستخدام أدوات من نظرية الإرجودية والديناميكيات الطوبولوجية .

تفترض الديناميكيات السلسة ^{[ 1 ]} بنية تفاضلية على سطح متعدد الشعب M أو بشكل عام على فضاءات باناخ فوق M. يمكن أن تكون هذه البنية تآلفية جزئية (أي ذات مشتقات ثابتة)، أو قابلة للتفاضل (على سبيل المثال${\displaystyle C^{1}(M)}$أو${\displaystyle C^{n}(M)}$أو سلسة​${\displaystyle C^{\infty }(M)}$عادةً ما تتم دراسة الأنظمة الديناميكية حسب ترتيب تعقيدها وباستخدام تقنيات مختلفة، فعلى سبيل المثال، يتطلب الإعداد النموذجي للميكانيكا النيوتونية خرائط تطور زمني.${\displaystyle C^{2}(M)}$، قد يكون الجاذب الكسري أو الحركة البراونية مستمرًا ولكنه غير قابل للتفاضل في عدد قابل للعد من النقاط، ويمكن دراسة الخريطة الأفينية القطعية باستخدام تقنيات الهندسة الجبرية .

ترتبط حالة القطع الزائد، أي وجود اتجاهات للتمدد والانكماش، بنظرية الفوضى ، ولذلك خضعت لدراسة مستفيضة. ومن الفروع الفرعية المهمة: الديناميكا القطعية ، والقطع الزائد غير المنتظم ^{[ 2 ]} ، والقطع الزائد الجزئي ^{[ 3 ] .}

لنفترض وجود مشعب ثنائي الأبعاد، ودالة حقيقية (أو مركبة) ملساء عليه، بعد عملية التقطير (أي بعد تحويل الإحداثيات)، يمكن تقريب الدالة محليًا بدالة خطية للمستوى معطاة بالمصفوفة.

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\mu \end{bmatrix}}}$$

هناك 4 حالات مهمة:

1. في حالة التبديد، حيث 0<λ<μ <1، تتقارب المدارات نحو نقطة مستقرة أو جاذبة.
2. الحالة التي تكون فيها القيمتان الذاتيتان متباعدتين 1<λ<μ وتكون الديناميكيات متباعدة كما هو الحال بالنسبة لنقطة غير مستقرة
3. الحالة التي يكون فيها واحد أو أكثر من القيم الذاتية له معيار 1: إذا كانت جميع القيم الذاتية لها معيار واحد، فإن المصفوفة تكون وحدوية وعادة ما تكون هناك كمية محفوظة.
4. الحالة القطعية حيث تكون القيم الذاتية 0<λ<1<μ وفي اتجاه واحد يكون هناك تقارب وفي الاتجاه الآخر يكون هناك تباعد. 

لإعطاء حدس بصري محلي للحركة، فإن الحالة الوحدوية (3) هي مدار مستقر مثل دائرة، وفي الحالة التبددية (1) يكون المدار حلزونيًا نحو الداخل باتجاه المركز، وفي الحالة المتباعدة يكون حلزونيًا نحو الخارج (2)، أما الحالة الزائدية (4) فهي سيناريو مختلط يعتمد على اتجاه الحركة.

بافتراض وجود متشعب ينقسم إلى جزء مستقر (s) وجزء غير مستقر (u)${\displaystyle T_{\Lambda }M=E^{s}\oplus E^{u}}$وبالنظر إلى أن التماثل التفاضلي ينقسم أيضاً بشكل طبيعي إلى تماثلين داخليين.${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}}$و${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}}$للجميع${\displaystyle x\in \Lambda }$

القطع الزائد المنتظم مقابل القطع الزائد غير المنتظم مقابل القطع الزائد الجزئي

*	مشعب ثابت وأمام	مشعب غير مستقر وعكسي	الشرط على القيم الذاتية
زائدية منتظمة [ 1 ]	${\displaystyle \|Df^{n}(v)\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$،${\displaystyle \forall v\in E^{s}}$و${\displaystyle n>0}$	$\displaystyle \|Df^{-n}(v)\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$،${\displaystyle \forall v\in E^{u}}$و${\displaystyle n>0}$	${\displaystyle \lambda <1<\mu }$
زائدية غير منتظمة [ 2 ]	$\displaystyle \|Df_{x}^{n}(v)\|\leq C(x)e^{(\lambda _{s}+\epsilon )n}\|v\|,\forall v\in E_{x}^{s}}$و${\displaystyle n\geq 0}$	${\displaystyle \|Df_{x}^{-n}(v)\|\leq C(x)e^{(-\lambda _{u}+\epsilon )n}\|v\|,\forall v\in E_{x}^{u}}$و${\displaystyle n\geq 0}$	${\displaystyle \lambda _{s}<0<\lambda _{u}}$
القطع الزائد الجزئي [ 3 ]	${\displaystyle \|Df^{n}(v)\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$${\displaystyle \forall v\in E^{s}}$و${\displaystyle n>0}$	$\displaystyle \|Df^{-n}(v)\|\leq c\mu ^{n}\|v\|}$،${\displaystyle \forall v\in E^{u}}$و${\displaystyle n>0}$	${\displaystyle \lambda \neq \mu }$

تُعدّ حالة القطع الزائد المنتظم حالةً من حالات تحويلات أنوسوف التفاضلية والمجموعات القطعية ، ويستند تعريفها إلى محدودية التحويل التفاضلي، وتُظهر هذه الحالة جميع الخصائص المشتركة للديناميكيات القطعية. أما الحالة غير المنتظمة، فتُعمّم هذه الحالة مُظهرةً التباعد الأسي للمدارات المتقاربة واعتماد شرط المحدودية على الموضع. وتعتمد حالة القطع الزائد الجزئي أيضًا على المحدودية، ولكنها تُعمّم بدلاً من ذلك لتشمل القيم الذاتية العامة. وتُعدّ هاتان الحالتان الأخيرتان مهمتين للتطبيقات.

كان الهدف الأولي لدراسة الأنظمة الفوضوية هو توضيح العلاقة بين الإنتروبيا والفوضى . كانت الفكرة البديهية وراء إنتروبيا كولموغوروف-سيناي هي وجود فئتين من الأنظمة: أنظمة احتمالية ذات إنتروبيا غير صفرية ، وأنظمة حتمية ذات إنتروبيا صفرية. لكن هذا غير صحيح، إذ ترتبط الإنتروبيا بالزيادة. ويؤدي هذا أيضًا إلى نظرية الفوضى الحتمية، التي تتميز ببنية "صلبة" ولكنها لا تزال غير قابلة للتنبؤ. ^{[ 4 ]}

كان الهدف الثاني لمدرسة سميل هو تحديد الأنظمة الفوضوية المقاومة للاضطرابات، والعلاقات بين الفوضى وديناميكيات البلياردو التي تتسم عمومًا بالعلاقات القطعية. وقد أدى ذلك إلى ظهور مفهوم الأنظمة المستقرة بنيويًا . وقد ثبت أن تحويلات أنوسوف التفاضلية مستقرة بنيويًا ، أي أن ديناميكياتها مقاومة للاضطرابات، وذلك بموجب نظرية أنوسوف.

كان الهدف الثالث هو فهم العلاقات بين المزج والقيم الذاتية والانتقالات الطورية، وقد أدى ذلك إلى ظهور "الصيغة الديناميكية الحرارية" لرويل ^{[ 5 ]} ، حيث يُعرَّف الإنتروبيا الطوبولوجية رسميًا انطلاقًا من نظرية القياس . وقد سمح هذا بفهم علاقاتها مع إنتروبيا المعلومات من خلال مبدأ التباين. وقد وسّع روفوس بوين عمل روويل وسيناء على أنظمة أنوسوف ^{[ 6 ]} ، وإنتروبياها، وإدخال مقاييس سيناء-رويل-بوين ، مما أدى في النهاية إلى أورنشتاين (1970) الذي أثبت أن إزاحات برنولي ذات الإنتروبيا نفسها متماثلة ^{[ 7 ]} .

• كاتوك هاسلبلات: مقدمة في الأنظمة الديناميكية