مسار زائدي

المحور شبه الرئيسي (${\displaystyle a\,\!}$لا يمكن رؤية هذه القيمة مباشرةً في المسار الزائدي، ولكن يمكن تحديدها لأنها المسافة من نقطة الحضيض إلى نقطة تقاطع الخطين المقاربين. وعادةً، يكون هذا المقدار سالبًا، للحفاظ على اتساق المعادلات المختلفة مع المدارات الإهليلجية.

يرتبط المحور شبه الرئيسي ارتباطًا مباشرًا بطاقة المدار المحددة (${\displaystyle \epsilon \,}$) أو الطاقة المميزة${\displaystyle C_{3}}$بالنسبة للمدار، وإلى السرعة التي يصل إليها الجسم عندما تقترب المسافة من اللانهاية، السرعة الزائدة القطعية (${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$).

${\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}$ أو${\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}$

أين:${\displaystyle \mu =Gm\,\!}$هو معامل الجاذبية القياسي و${\displaystyle C_{3}}$هي طاقة مميزة، تُستخدم عادةً في تخطيط المهمات بين الكواكب

لاحظ أن الطاقة الكلية موجبة في حالة المسار الزائدي (بينما تكون سالبة بالنسبة للمدار الإهليلجي).

في المسار الزائدي، تكون الانحرافية المدارية أكبر من 1. وترتبط الانحرافية ارتباطًا مباشرًا بالزاوية بين الخطوط المقاربة. وعندما تكون الانحرافية أعلى بقليل من 1، يكون القطع الزائد على شكل حرف "V" حاد.${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$الخطوط المقاربة متعامدة. ${\displaystyle e>2}$تتباعد الخطوط المقاربة بأكثر من 120 درجة، وتكون مسافة الحضيض أكبر من نصف المحور الأكبر. ومع ازدياد الانحراف المركزي، تقترب الحركة من خط مستقيم.

الزاوية بين اتجاه الحضيض وخط التقارب من الجسم المركزي هي الشذوذ الحقيقي عندما تؤول المسافة إلى اللانهاية (${\displaystyle \theta _{\infty }\,}$)، لذا${\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}$هي الزاوية الخارجية بين اتجاهي الاقتراب والمغادرة (بين خطي التقارب).

${\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}$أو${\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}$

معامل التصادم هو المسافة التي يبتعد بها الجسم، إذا استمر في مساره دون اضطراب، عن الجسم المركزي عند أقرب نقطة له . وبالنسبة للأجسام التي تخضع لقوى الجاذبية وتتبع مسارات زائدية، فإن هذا المعامل يساوي نصف المحور الأصغر للقطع الزائد.

في حالة اقتراب مركبة فضائية أو مذنب من كوكب، ستكون معلمة الاصطدام والسرعة الزائدة معروفة بدقة. إذا عُرف الجسم المركزي، يُمكن الآن تحديد المسار، بما في ذلك مدى قرب الجسم المقترب عند نقطة الحضيض. إذا كانت هذه النقطة أقل من نصف قطر الكوكب، فمن المتوقع حدوث اصطدام. تُعطى مسافة أقرب اقتراب، أو مسافة الحضيض، بالمعادلة التالية:

${\displaystyle r_{p}=-a(e-1)={\frac {\mu }{v_{\infty }^{2}}}\left({\sqrt {1+\left(b{\frac {v_{\infty }^{2}}{\mu }}\right)^{2}}}-1\right)}$

لذا، إذا أراد مذنب يقترب من الأرض (نصف قطره الفعال حوالي 6400  كم) بسرعة 12.5  كم/ث (وهي السرعة الدنيا التقريبية لاقتراب جسم قادم من النظام الشمسي الخارجي ) تجنب الاصطدام بالأرض، فسيتعين أن يكون معامل الاصطدام 8600  كم على الأقل، أي ما يزيد بنسبة 34% عن نصف قطر الأرض. أما جسم يقترب من كوكب المشتري (نصف قطره 70000  كم) من النظام الشمسي الخارجي بسرعة 5.5  كم/ث، فسيحتاج إلى أن يكون معامل الاصطدام 770000  كم على الأقل، أي ما يعادل 11 ضعف نصف قطر المشتري، لتجنب الاصطدام.

إذا كانت كتلة الجسم المركزي غير معروفة، فيمكن تحديد معامل جاذبيته القياسي، وبالتالي كتلته، من خلال انحراف الجسم الأصغر بالإضافة إلى معامل الاصطدام وسرعة الاقتراب. ولأن جميع هذه المتغيرات يمكن تحديدها بدقة عادةً، فإن تحليق مركبة فضائية بالقرب من الجسم يوفر تقديرًا جيدًا لكتلته.

${\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}$أين${\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }$هي الزاوية التي ينحرف بها الجسم الأصغر عن الخط المستقيم في مساره.

في مسار زائدي، الشذوذ الحقيقي${\displaystyle \theta }$يرتبط ذلك بالمسافة بين الأجسام المدارية (${\displaystyle r\,}$) بواسطة معادلة المدار :

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

العلاقة بين الشذوذ الحقيقي θ والشذوذ اللامركزي E (أو الشذوذ الزائدي H ) هي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \cosh {E}={{\cos {\theta }+e} \over {1+e\cdot \cos {\theta }}}}$  أو  ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}}$  أو ${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}={\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}\cdot \tan {\frac {\theta }{2}}}$

يرتبط الشذوذ اللامركزي E بالشذوذ المتوسط ​​M من خلال معادلة كبلر :

${\displaystyle M=e\sinh E-E}$

الشذوذ المتوسط ​​يتناسب مع الزمن

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{-a^{3}}}}.(t-\tau ),}$حيث μ هو معامل الجاذبية و a هو المحور شبه الرئيسي للمدار.

زاوية مسار الطيران (φ) هي الزاوية بين اتجاه السرعة والعمودي على الاتجاه القطري، لذا فهي تساوي صفرًا عند نقطة الحضيض وتميل إلى 90 درجة عند اللانهاية.

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {e\cdot \sin \theta }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

في ظل الافتراضات القياسية، تكون السرعة المدارية (${\displaystyle v\,}$يمكن حساب سرعة الجسم المتحرك على طول مسار زائدي من معادلة vis-viva على النحو التالي:

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+{1 \over {a}}\right)}}}$^{[ 3 ]}

أين:

• ${\displaystyle \mu \,}$هو معامل الجاذبية القياسي ،
• ${\displaystyle r\,}$هي المسافة الشعاعية للجسم المداري من الجسم المركزي ،
• ${\displaystyle a\,\!}$هي القيمة المطلقة (المسافة) للمحور شبه الرئيسي .

في ظل الافتراضات القياسية، عند أي موضع في المدار، تسري العلاقة التالية على السرعة المدارية (${\displaystyle v\,}$), سرعة الإفلات المحلية (${\displaystyle {v_{esc}}\,}$) وسرعة فائضة زائدة (${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$):

${\displaystyle v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}}$

لاحظ أن هذا يعني أن زيادة طفيفة نسبيًا في السرعة (دلتا- v) فوق السرعة اللازمة للوصول إلى سرعة الإفلات تُنتج سرعة كبيرة نسبيًا عند اللانهاية. على سبيل المثال، في مكان تبلغ فيه سرعة الإفلات 11.2  كم/ث، فإن إضافة 0.4  كم/ث تُنتج سرعة زائدة زائدة مقدارها 3.02  كم/ث.

${\displaystyle {\sqrt {11.6^{2}-11.2^{2}}}=3.02}$

هذا مثال على تأثير أوبرث . والعكس صحيح أيضاً - لا يحتاج الجسم إلى أن يتباطأ كثيراً مقارنة بسرعته الزائدة (مثلاً بسبب مقاومة الهواء بالقرب من نقطة الحضيض) حتى تنخفض سرعته إلى ما دون سرعة الإفلات، وبالتالي حتى يتم التقاطه.