مجموعة إيديل

في نظرية الأعداد ، تُعدّ زمرة الأيديلي طريقةً لتجميع العمليات الحسابية الضربية لحقل شامل بجميع اكتمالاته دفعةً واحدة، بحيث تحتوي على معلومات التحليل الفريد بالإضافة إلى البيانات المتعلقة بالوحدات . وبصورة رسمية، فإن زمرة الأيديلي لحقل شامل${\displaystyle K}$المنتج المباشر المقيد${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=\prod _{v}'K_{v}^{\times }}$ من المجموعات الضربية لإتمام${\displaystyle K}$، مأخوذة فيما يتعلق بمجموعات الوحدات${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$في المواضع غير الأرخميدية . أو بعبارة أخرى، هي مجموعة العناصر القابلة للعكس في حلقة أديل.${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$، مزودة بطوبولوجيا أدق من طوبولوجيا الفضاء الفرعي الموروثة من${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$.

الناتج${\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}$هي مجموعة فئات إيديل . تُستخدم الإيديلات ومجموعات فئات إيديل في نظرية حقل الفئات . وقد استغلها جون تيت في أطروحته لصياغة زيتا العالمية و${\displaystyle L}$الدوال ورموز هيك .

يترك${\displaystyle K}$ليكن مجالاً عالمياً ، وليكن${\displaystyle v}$تجري فوق أماكن${\displaystyle K}$لكل مكان${\displaystyle v}$، يترك${\displaystyle K_{v}}$يدل على اكتمال${\displaystyle K}$في${\displaystyle v}$. لو${\displaystyle v}$غير أرخميدس، دع${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$ولتكن حلقة التقييم المقابلة ولتكن${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$لتكن مجموعتها من الوحدات.

مجموعة إيديلي​${\displaystyle K}$، ويشار إليه عادة بـ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$أو${\displaystyle I_{K}}$، هو المنتج المقيد

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=\prod _{v}'K_{v}^{\times }}$

من المجموعات${\displaystyle K_{v}^{\times }}$، مأخوذة فيما يتعلق بالمجموعات الفرعية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$في الأماكن غير الأرخميدية. وهكذا فإنّ idele هي عائلة

${\displaystyle x=(x_{v})_{v},\qquad x_{v}\in K_{v}^{\times },}$

بحيث

${\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$

بالنسبة لجميع الأماكن غير الأرخميدية باستثناء عدد محدود منها${\displaystyle v}$يُعرَّف الضرب على أساس كل عنصر على حدة. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

بصورة مكافئة، فإن مجموعة الأيديل هي مجموعة العناصر القابلة للعكس في حلقة الأديل${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ومع ذلك، فإن بنيتها الطوبولوجية ليست بنية الفضاء الجزئي الموروثة من${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$إنها طوبولوجيا المنتج المقيد، أو ما يعادلها الطوبولوجيا الناتجة عن التضمين.

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }\longrightarrow \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K},\qquad x\mapsto (x,x^{-1}).}$

المجموعة الضربية${\displaystyle K^{\times }}$يتم تضمينها قطريًا في${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$. الناتج

${\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}$

تُسمى مجموعة فئة idele${\displaystyle K}$.

يمكن اعتبار مجموعة المثاليات بمثابة تحسين طوبولوجي لمجموعة المثاليات الكسرية لحقل عددي.${\displaystyle K}$هو حقل عددي يحتوي على حلقة من الأعداد الصحيحة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$لكل مثالي كسري غير صفري تحليل فريد

${\displaystyle {\mathfrak {a}}=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{n_{\mathfrak {p}}},}$

أين${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يستعرض المُثُل الأولية غير الصفرية لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$وجميع الأعداد الصحيحة باستثناء عدد محدود منها${\displaystyle n_{\mathfrak {p}}}$تساوي صفرًا. وبالتالي، فإن مجموعة المُثُل الكسرية تُسجل، لكل مكان محدود من${\displaystyle K}$، تقييم متكامل.

يسجل نظام التقييم المحلي بيانات تقييم محلية مماثلة، ولكن مع معلومات محلية إضافية. بالنسبة لنظام التقييم المحلي${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$المكون${\displaystyle x_{\mathfrak {p}}\in K_{\mathfrak {p}}^{\times }}$يحدد مكان محدود عددًا صحيحًا${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x_{\mathfrak {p}})}$. منذ${\displaystyle x_{\mathfrak {p}}}$هي وحدة للجميع ولكن لعدد محدود من الأفراد${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$تحدد هذه الأعداد الصحيحة مثالاً كسرياً

${\displaystyle (x)_{\mathrm {fin} }=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{v_{\mathfrak {p}}(x_{\mathfrak {p}})}.}$

يُعطي هذا تشاكلاً شاملاً من زمرة المثاليات إلى زمرة المثاليات الكسرية. التضمين القطري${\displaystyle K^{\times }\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}^{\times }}$يرسل عنصرًا${\displaystyle a\in K^{\times }}$إلى المثالي الرئيسي الذي يكون مثاليه الكسري المرتبط به هو المثالي الرئيسي${\displaystyle (a)}$وبالتالي، فإن الانتقال إلى القسمة يعطي تطبيقًا شاملاً طبيعيًا.

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }\longrightarrow \operatorname {Cl} (K),}$

من مجموعة فئة المثالية إلى مجموعة فئة المثالية العادية. ^{[ 3 ]}

وبالتالي، فإن زمرة الفئات المثالية تُوسّع زمرة الفئات المثالية. فهي تُوسّع بيانات الأعداد الأولية المنتهية المقاسة بواسطة المُثُل الكسرية، مع وجود زمر الوحدة في المواضع المنتهية والزمر الضربية في المواضع الأرخميدية. هذه المعلومات الطوبولوجية الإضافية مهمة في نظرية حقول الفئات وفي نظرية خصائص هيك، حيث تحل خصائص زمرة الفئات المثالية محل الخصائص المُعرّفة فقط على زمر الفئات المثالية أو زمر فئات الأشعة.

على الرغم من أن مجموعة إيديلي${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$هي مجموعة العناصر القابلة للعكس في حلقة أديل${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$، فهي لا تكون عادةً مزودة بطوبولوجيا الفضاء الفرعي الموروثة من${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$في بنية الفضاء الجزئي، لا يشترط أن يكون الانعكاس متصلاً. بدلاً من ذلك،${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$يتم إعطاء طوبولوجيا المنتج المقيدة

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=\prod _{v}'K_{v}^{\times },}$

حيث يتم أخذ المنتج المقيد بالنسبة للمجموعات الفرعية المفتوحة المدمجة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$في الأماكن غير الأرخميدية. وتُشكّل المنتجات أساسًا للأحياء المفتوحة التي تُشكّل الهوية.

${\displaystyle \prod _{v}U_{v},}$

أين${\displaystyle U_{v}}$هو حي مفتوح${\displaystyle 1}$في${\displaystyle K_{v}^{\times }}$و${\displaystyle U_{v}={\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$بالنسبة لجميع الأماكن غير الأرخميدية باستثناء عدد محدود منها${\displaystyle v}$أو بعبارة أخرى، هذه هي البنية الطوبولوجية الناتجة عن التضمين.

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }\longrightarrow \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K},\qquad x\mapsto (x,x^{-1}).}$

مع هذه البنية الطوبولوجية،${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$هي مجموعة طوبولوجية متراصة محليًا. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

بما أن مجموعة الأيديلي متراصة محليًا، فإن لها مقياس هار ، والذي يُرمز إليه عادةً بـ${\displaystyle d^{\times }x}$يتم الحصول على هذا المقياس كحاصل ضرب مقاييس هار المضاعفة المحلية على المجموعات${\displaystyle K_{v}^{\times }}$في مكان غير أرخميدس${\displaystyle v}$يتم عادةً تطبيع المقياس المحلي بحيث

${\displaystyle \operatorname {vol} ({\mathcal {O}}_{v}^{\times })=1.}$

في المكان الحقيقي، مقياس هار الضربي القياسي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$يكون

${\displaystyle d^{\times }x={\frac {dx}{|x|}},}$

حتى الضرب بثابت موجب؛ وتُستخدم عمليات تطبيع مماثلة في المواضع المركبة. وتتحد هذه الخيارات المحلية لإعطاء مقياس هار ضربي على${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$تُستخدم هذه التدابير في التحليل التوافقي على الألحان المثالية، وخاصة في أطروحة تيت وفي النظرية التحليلية لهيكه.${\displaystyle L}$- الدوال. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

تحمل مجموعة الأيديلي تشاكلاً، يُسمى عادةً معيار الأيديلي أو وحدة القياس، إلى الأعداد الحقيقية الموجبة. اختر القيمة المطلقة المعيارية المُعَيَّرة.${\displaystyle |\cdot |_{v}}$عند كل إنجاز${\displaystyle K_{v}}$: لمكان غير أرخميدس${\displaystyle v}$، يتم تطبيعها بحيث $${\displaystyle |\varpi _{v}|_{v}=q_{v}^{-1},}$$ أين${\displaystyle \varpi _{v}}$هو عامل توحيد و${\displaystyle q_{v}}$يمثل حجم حقل البقايا. في المواضع الأرخميدية، تُستخدم القيم المطلقة المعيارية المعتادة، مع تربيع القيمة المطلقة المركبة. بالنسبة للمثالي${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$، يُعرِّف $${\displaystyle |x|_{\mathbb {A} }=\prod _{v}|x_{v}|_{v}.}$$

هذا المنتج محدود، لأن${\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$بالنسبة لجميع الأماكن غير الأرخميدية باستثناء عدد محدود منها، وبالتالي${\displaystyle |x_{v}|_{v}=1}$بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من الأشخاص${\displaystyle v}$. هكذا $${\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {A} }:\mathbb {A} _{K}^{\times }\to \mathbb {R} _{>0}}$$ هو تماثل زمر مستمر. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

العناصر المثالية ذات المعيار الواحد هي العناصر الموجودة في نواة هذا التشاكل: $${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}=\{x\in \mathbb {A} _{K}^{\times }:|x|_{\mathbb {A} }=1\}.}$$

وفقًا لصيغة المنتج للحقول العالمية، فإن كل عنصر من${\displaystyle K^{\times }}$، مضمنة قطريًا في${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$، له معيار مثالي يساوي واحدًا. وبالتالي

$${\displaystyle K^{\times }\subset \mathbb {A} _{K}^{1}.}$$

الناتج $${\displaystyle C_{K}^{1}=\mathbb {A} _{K}^{1}/K^{\times }}$$ تُسمى هذه المجموعة مجموعة فئات الأديلي ذات المعيار الواحد . وهي مجموعة متراصة. ^{[ 2 ] [ 6 ]}

ينحدر معيار idele إلى تشاكل على مجموعة فئات idele، $${\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {A} }:C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }\to \mathbb {R} _{>0},}$$ نواته هي${\displaystyle C_{K}^{1}}$بالنسبة لحقول الأرقام، فإن هذا يعطي تسلسلًا دقيقًا $${\displaystyle 1\longrightarrow C_{K}^{1}\longrightarrow C_{K}\xrightarrow {|\cdot |_{\mathbb {A} }} \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow 1.}$$

وبالتالي فإن مجموعة فئات idele ليست متراصة في حالة حقل الأعداد، ولكن مجموعتها الفرعية ذات المعيار الواحد modulo${\displaystyle K^{\times }}$هي متراصة. هذا التراص هو أحد الأشكال المثالية لنهائية زمرة الفئات المثالية، إلى جانب نظرية البنية للوحدات. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

بالنسبة لحقول الأرقام، يكون معيار idele شاملاً على${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$وينقسم التسلسل الدقيق المذكور أعلاه بعد اختيار مكون أرخميدس موجب. وبالتالي${\displaystyle C_{K}}$هو، بشكل غير قانوني أو بعد هذا الاختيار، نتاج المجموعة المدمجة${\displaystyle C_{K}^{1}}$مع${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$أما بالنسبة لحقول الدوال العامة، فإن صورة معيار الإيديلي هي بدلاً من ذلك مجموعة فرعية منفصلة من${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$وبالتالي فإن الناتج المقابل منفصل ومتماثل مع مجموعة دورية لانهائية. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

يترك${\displaystyle L/K}$ليكن امتدادًا محدودًا للحقول العالمية. لكل مكان${\displaystyle v}$ل${\displaystyle K}$وكل مكان${\displaystyle w}$ل${\displaystyle L}$يقع في الأعلى${\displaystyle v}$، هناك خريطة معيارية محلية

${\displaystyle N_{L_{w}/K_{v}}:L_{w}^{\times }\longrightarrow K_{v}^{\times }.}$

تتحد هذه الخرائط المعيارية المحلية لتشكل تشاكلاً متصلاً على مجموعات الأديلي

${\displaystyle N_{L/K}:\mathbb {A} _{L}^{\times }\longrightarrow \mathbb {A} _{K}^{\times }.}$

لو${\displaystyle y=(y_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}^{\times }}$ثم الـ${\displaystyle v}$-مكون من${\displaystyle N_{L/K}(y)}$يكون

${\displaystyle \left(N_{L/K}(y)\right)_{v}=\prod _{w\mid v}N_{L_{w}/K_{v}}(y_{w}).}$

هذا الناتج محدود لكل قيمة ثابتة${\displaystyle v}$علاوة على ذلك، بالنسبة لجميع الأماكن غير الأرخميدية باستثناء عدد محدود منها${\displaystyle w}$المكون${\displaystyle y_{w}}$يكمن في${\displaystyle {\mathcal {O}}_{w}^{\times }}$وتكمن معاييرها المحلية في${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$. لذلك${\displaystyle N_{L/K}(y)}$وهو مرة أخرى مثال لـ${\displaystyle K}$تنتج الاستمرارية من استمرارية خرائط المعيار المحلي ومن طوبولوجيا المنتج المقيد. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

خريطة المعيار متوافقة مع القيم المثالية الرئيسية. إذا${\displaystyle a\in L^{\times }}$مُضمنة قطريًا في${\displaystyle \mathbb {A} _{L}^{\times }}$، ثم

${\displaystyle N_{L/K}(a)}$

هو الهدف الرئيسي لـ${\displaystyle K}$مرتبط بمعيار المجال${\displaystyle N_{L/K}(a)\in K^{\times }}$وبالتالي، فإن معيار idele ينحدر إلى تشاكل مستمر على مجموعات فئات idele.

${\displaystyle N_{L/K}:C_{L}\longrightarrow C_{K},}$

أين${\displaystyle C_{L}=\mathbb {A} _{L}^{\times }/L^{\times }}$و${\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}$.

تضمين${\displaystyle K}$داخل${\displaystyle L}$كما أنه يعطي تماثلًا طبيعيًا

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }\longrightarrow \mathbb {A} _{L}^{\times }.}$

بشكل صريح، مثالي${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$ل${\displaystyle K}$يتم إرسالها إلى idele الذي يكون مكونه في${\displaystyle w\mid v}$هي صورة${\displaystyle x_{v}}$في${\displaystyle L_{w}^{\times }}$في ظل هذا التضمين،

${\displaystyle N_{L/K}(x)=x^{[L:K]},}$

حيث يتم حساب القدرة على أساس مكوناتها. وهذا يتبع من المتطابقة

${\displaystyle \prod _{w\mid v}N_{L_{w}/K_{v}}(x_{v})=x_{v}^{\sum _{w\mid v}[L_{w}:K_{v}]}=x_{v}^{[L:K]}.}$

ينبغي التمييز بين معيار امتداد الحقل ومعيار أو وحدة idele${\displaystyle |x|_{\mathbb {A} }}$ومع ذلك، فهي متوافقة: مع القيم المطلقة المعيارية،

${\displaystyle |N_{L/K}(y)|_{\mathbb {A} _{K}}=|y|_{\mathbb {A} _{L}}.}$

بخاصة،${\displaystyle N_{L/K}}$ترسم خريطة مجموعة الأيديل المعيارية الواحدة${\displaystyle \mathbb {A} _{L}^{1}}$داخل${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$ويؤدي إلى تماثل

${\displaystyle C_{L}^{1}\longrightarrow C_{K}^{1}.}$

في نظرية المجال الطبقي العالمي، الصورة${\displaystyle N_{L/K}(C_{L})}$يُطلق عليها اسم المجموعة الفرعية المعيارية لـ${\displaystyle C_{K}}$. بالنسبة لامتداد أبيلي محدود${\displaystyle L/K}$تحدد خريطة التبادلية العالمية لآرتين ناتج القسمة

${\displaystyle C_{K}/N_{L/K}(C_{L})}$

مع مجموعة غالوا${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$، حتى الاتفاق المعتاد فيما يتعلق بفروبينيوس الحسابي أو الهندسي. ^{[ 3 ] [ 6 ] [ 7 ]}

ل${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$، حلقة أديل المنتهية هي

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }=\prod _{p}'\mathbb {Q} _{p},}$

والوحدات التكاملية المحدودة هي

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$

القيم المثالية المحدودة هي

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }^{\times }=\prod _{p}'\mathbb {Q} _{p}^{\times },}$

حيث يتم تناول المنتج المقيد فيما يتعلق بـ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$مجموعة الأيديل من${\displaystyle \mathbb {Q} }$يكون

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }.}$

لكل فئة مثالية ممثل من هذا النوع

${\displaystyle (u,t)\in {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \mathbb {R} _{>0}.}$

في الواقع، يؤدي الضرب في عدد نسبي إلى تغيير القيم المحدودة ويمكن استخدامه لإنشاء جميع المكونات المحدودة${\displaystyle p}$الوحدات -adic؛ يسجل العامل الحقيقي الموجب المتبقي معيار idele. وبالتالي

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \mathbb {R} _{>0}.}$

وبالمثل، فإن فئات المعيار الواحد المثالية هي

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }.}$

وهذا يعكس حقيقة أن${\displaystyle \mathbb {Q} }$يمتلك زمرة فئات مثالية تافهة: الجزء المتبقي المحدود من زمرة الفئات المثالية يأتي من زمر الوحدات المحلية${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$.

تُنتج مجموعة فئات إيديل صياغة لنظرية حقل الفئات . تصف نظرية حقل الفئات العالمية الامتدادات الأبيلية لحقل عالمي.${\displaystyle K}$من حيث النسب الطوبولوجية لـ${\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }.}$

النتيجة الرئيسية هي قانون التبادل العالمي لآرتين . في إحدى الصيغ، لكل امتداد أبيلي محدود${\displaystyle L/K}$يوجد تشاكل تبادلي متعارف عليه $${\displaystyle \theta _{L/K}:C_{K}\longrightarrow \operatorname {Gal} (L/K),}$$ التي نواة هذه المجموعة هي المجموعة الفرعية المعيارية${\displaystyle N_{L/K}(C_{L})\subset C_{K}.}$

يؤدي التشاكل التبادلي إلى تماثل $${\displaystyle C_{K}/N_{L/K}(C_{L})\cong \operatorname {Gal} (L/K),}$$ حتى الاختيار التقليدي للتشاكل الذاتي لفروبينيوس الحسابي أو الهندسي . ^{[ 3 ] [ 6 ] [ 7 ]}

وبالتالي، فإن الامتدادات الأبيلية المحدودة لـ${\displaystyle K}$تتوافق مع الزمر الفرعية المفتوحة ذات الدليل المحدود في زمرة فئة idele. في ظل هذا التوافق، يكون الامتداد${\displaystyle L/K}$يرتبط بالمجموعة الفرعية${\displaystyle N_{L/K}(C_{L})}$يستبدل هذا الصياغة القديمة لنظرية حقل الفئات من حيث مجموعات الفئات المثالية، ومجموعات فئات الأشعة، وشروط التطابق، ببيان طوبولوجي حول خارج قسمة${\displaystyle C_{K}}$[ ^{3 ] [ 7 ]​}

يتضمن الصياغة المثالية أيضًا خرائط التبادلية المحلية لنظرية حقل الفئة المحلية : لكل مكان${\displaystyle v}$ل${\displaystyle K}$ترتبط نظرية المجال الطبقي المحلي${\displaystyle K_{v}^{\times }}$إلى مجموعة غالوا المتغيرة أبيلية من${\displaystyle K_{v}}$تتوافق خريطة التبادلية العالمية مع هذه الخرائط المحلية من خلال تضمين كل مجموعة ضربية محلية في مجموعة الأيديل. عند موضع محدود غير متفرع، تُحوَّل دالة التوحيد إلى عنصر فروبينيوس، ويعتمد معكوسها الدقيق على الاصطلاح المستخدم في خريطة آرتين. ^{[ 3 ] [ 7 ]}

تُعدّ نظرية حقول الفئات الكلاسيكية القائمة على نظرية المُثُل حالةً خاصةً. إذ تُعيد خارج قسمة زمرة فئات المُثُل على بعض الزمر الجزئية زمر فئات الأشعة، وتُمثّل الامتدادات الأبيلية المُقابلة حقول فئات الأشعة. وعلى وجه الخصوص، يُستنتج حقل فئات هيلبرت من خارج القسمة المرتبط بزمرة فئات المُثُل العادية، مُجسّدًا العلاقة بين المُثُل، والمُثُل الكسرية، وفئات المُثُل. ^{[ 3 ] [ 6 ]}

للحصول على أقصى امتداد أبيلي${\displaystyle K^{\mathrm {ab} }}$تكون خرائط التبادلية ذات المستوى المحدود متوافقة كما${\displaystyle L}$يختلف على امتدادات أبيلية محدودة لـ${\displaystyle K}$تتحد هذه العناصر في خريطة تبادلية عالمية من مجموعة فئة idele إلى${\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\mathrm {ab} }/K)}$وبالتالي فإن مجموعة غالوا المطلقة المبدلة لـ${\displaystyle K}$يتم وصفها بواسطة نظام الكسور المنتهية لمجموعة فئة idele. ^{[ 3 ] [ 7 ]}

سمة هيكه لحقل عالمي${\displaystyle K}$يمكن وصفها بأنها تشاكل مستمر

$${\displaystyle \chi$$ :\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times },}

أو بصورة مكافئة كخاصية متصلة لمجموعة الأيديل${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$هذا أمر تافه على المجموعة الفرعية المضمنة قطريًا${\displaystyle K^{\times }}$هذه الصفات هي الصفات الذاتية لـ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(\mathbb {A} _{K})}$.

كتابة مثال مثالي كـ${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$، يتحلل حرف هيك إلى أحرف محلية

$${\displaystyle \chi _{v}:K_{v}^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times },}$$

مع

$${\displaystyle \chi (x)=\prod _{v}\chi _{v}(x_{v}).}$$

بالنسبة لجميع الأماكن غير الأرخميدية باستثناء عدد محدود منها${\displaystyle v}$الشخصية المحلية${\displaystyle \chi _{v}}$غير متفرع، مما يعني أنه أمر تافه${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$في مثل هذا المكان، تتحدد قيمته بواسطة${\displaystyle \chi _{v}(\varpi _{v})}$، أين${\displaystyle \varpi _{v}}$هو عامل توحيد لـ${\displaystyle K_{v}}$.

يرتبط بشخصية هيك عالم${\displaystyle L}$- دالة، مُعرَّفة لـ مناسب${\displaystyle s}$بواسطة منتج أويلر

$${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{v}L_{v}(s,\chi _{v}).}$$

في مكان غير متفرع وغير أرخميدسي${\displaystyle v}$، يكون للعامل المحلي الشكل التالي

$${\displaystyle L_{v}(s,\chi _{v})=\left(1-\chi _{v}(\varpi _{v})q_{v}^{-s}\right)^{-1},}$$

أين${\displaystyle q_{v}}$يمثل حجم حقل البقايا. تعطي المواضع المحدودة المتبقية عوامل محلية متفرعة ، وتساهم المواضع الأرخميدية بعوامل غاما . تتحد هذه العوامل المحلية لتشكيل هيك المكتمل.${\displaystyle L}$- دالة. ^{[ 4 ] [ 8 ]}

تظهر خصائص ديريشليه الكلاسيكية وخصائص الفئة المثالية كحالات خاصة. على سبيل المثال، على${\displaystyle \mathbb {Q} }$يمكن تفسير خصائص ديريشليه على أنها خصائص هيك ذات رتبة محدودة مع موصلات محدودة محددة . وبشكل أعم، يمكن تمثيل خصائص فئة الأشعة لحقل عددي على أنها خصائص ذات رتبة محدودة لحواصل قسمة مجموعة فئة إيديل.

هيك${\displaystyle L}$تُعد الدوال من بين الأمثلة الأساسية للدوال الذاتية الشكل.${\displaystyle L}$الدوال. في أطروحة تيت ، الاستمرار التحليلي والمعادلة الوظيفية لهذه الدوال${\displaystyle L}$يتم الحصول على الدوال من خلال التحليل التوافقي على حلقة الأديل ومجموعة الإيديل. يستعيد هذا النهج النظرية التحليلية لـ Dirichlet${\displaystyle L}$-الوظائف وأصل هيك${\displaystyle L}$^{[ 4 ] [ 9 ]}​

لحقل رقمي${\displaystyle K}$، تعمل مجموعة idele على تحسين الحساب النظري المثالي العادي لـ${\displaystyle K}$. يترك${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$لتكن حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle K}$، يترك${\displaystyle J_{K}}$لتكن مجموعة المُثُل الكسرية غير الصفرية لـ${\displaystyle K}$ودع

${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{K}=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}}$

أن يكون الإتمام النهائي لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$، أين${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يستعرض المُثُل الأولية غير الصفرية لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. مجموعتها من الوحدات هي

${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}^{\times }.}$

يترك${\displaystyle I_{K,\mathrm {fin} }}$يرمز إلى مجموعة الأيديل المنتهية،

${\displaystyle I_{K,\mathrm {fin} }=\prod _{\mathfrak {p}}'K_{\mathfrak {p}}^{\times }.}$

يوجد تماثل شامل طبيعي

${\displaystyle I_{K,\mathrm {fin} }\longrightarrow J_{K}}$

محدد بواسطة

${\displaystyle x=(x_{\mathfrak {p}})_{\mathfrak {p}}\longmapsto \prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{v_{\mathfrak {p}}(x_{\mathfrak {p}})},}$

أين${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$هو التقييم الإضافي المعياري عند${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$الناتج محدود لأن${\displaystyle x_{\mathfrak {p}}\in {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}^{\times }}$بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من الأشخاص${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$نواة هذا التشاكل هي بالضبط${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }}$. لذلك

${\displaystyle I_{K,\mathrm {fin} }/{\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }\cong J_{K}.}$

يُعرّف هذا مجموعة المُثُل الكسرية بأنها ناتج قسمة مجموعة المُثُل المنتهية التي تم الحصول عليها عن طريق نسيان مُكوّنات الوحدة المحلية. ^{[ 1 ] [ 6 ]}

التضمين القطري${\displaystyle K^{\times }\hookrightarrow I_{K,\mathrm {fin} }}$يتوافق مع المُثُل العليا. إذا${\displaystyle a\in K^{\times }}$ثم يكون الهدف النهائي هو الذي تكون جميع مكوناته متساوية.${\displaystyle a}$الخرائط إلى المثالي الكسري الرئيسي${\displaystyle (a)}$لذلك، فإن التشاكل السابق ينحدر إلى دالة قسمة من فئات مثالية منتهية إلى فئات مثالية. على وجه الخصوص،

${\displaystyle \operatorname {Cl} (K)\cong I_{K,\mathrm {fin} }/K^{\times }{\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }.}$

وباستخدام مجموعة الأيديل الكاملة،

${\displaystyle \operatorname {Cl} (K)\cong \mathbb {A} _{K}^{\times }{\big /}K^{\times }\left({\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }\times \prod _{v\mid \infty }K_{v}^{\times }\right).}$

وهكذا يتم الحصول على مجموعة الفئة المثالية العادية من مجموعة الفئة المثالية عن طريق قسمة مجموعات الوحدات المحلية المحدودة وعوامل الضرب الأرخميدية.

يُتيح هذا التركيب نفسه طريقةً مفيدةً لفهم سبب احتواء الأفكار المثالية على معلومات أكثر من الأفكار المُثُل. الانتقال من فكرة مثالية${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$لا تُسجل التقييمات إلا في سجلات المثالية الجزئية المرتبطة بها${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x_{\mathfrak {p}})}$في الأماكن المحدودة. يتجاهل المكونات الوحدوية في${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}^{\times }}$كما أنها تتجاهل المكونات الأرخميدية. هذه البيانات المحلية والطوبولوجية الإضافية هي تحديدًا ما يجعل زمرة الفئات المثالية مناسبة لنظرية حقل الفئات ونظرية خصائص هيك.

فيما يلي ملخص للبرهان. لكل عدد أولي منتهٍ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$اختر جهاز توحيد الإضاءة${\displaystyle \varpi _{\mathfrak {p}}}$ل${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$كل عنصر من${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}^{\times }}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle \varpi _{\mathfrak {p}}^{n}u}$، مع${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$و${\displaystyle u\in {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}^{\times }}$وبالتالي، تسجل خريطة التقييم بدقة أسّ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$بما أن المثالي هو وحدة في جميع المواضع المحدودة تقريبًا، فإن عددًا محدودًا فقط من الأسس يكون غير صفري، لذا فإن الصيغة أعلاه تُعرّف مثاليًا كسريًا. تتكون النواة تحديدًا من تلك المثاليات المحدودة التي تكون جميع قيمها صفرًا، وهي:${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }}$وتترتب خاصية الشمولية على ذلك لأن أي مثالي كسري${\displaystyle \prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{n_{\mathfrak {p}}}}$يتم تمثيلها بواسطة النموذج المثالي المحدود الذي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$المكون هو${\displaystyle \varpi _{\mathfrak {p}}^{n_{\mathfrak {p}}}}$بالنسبة للأعداد الأولية المحدودة التي تظهر في الناتج، وهي${\displaystyle 1}$في مكان آخر. وأخيرًا، القسمة على الصورة القطرية لـ${\displaystyle K^{\times }}$يحدد المثاليات الكسرية الرئيسية مع المثاليات الرئيسية، مما يعطي مجموعة فئة المثاليات.

تقدم الحقائق الهيكلية القياسية التالية أوصافًا مكافئة لطوبولوجيا الأيديل، والمجموعات الفرعية ذات الصلة، وبعض نتائج التراص والتفكيك المستخدمة في النظرية الحسابية للأيديل.