سطح غير قابل للانضغاط

في الرياضيات ، السطح غير القابل للانضغاط هو سطح مُضمّن بشكل صحيح في فضاء ثلاثي الأبعاد ، وهو، بتعبير مبسط، سطح "غير تافه" لا يمكن تبسيطه. وبعبارة أخرى، سطح حقيبة السفر قابل للانضغاط، لأنه يمكننا قطع المقبض وتقليصه داخل السطح. أما كرة كونواي (كرة بها أربعة ثقوب) فهي غير قابلة للانضغاط، لوجود أجزاء أساسية من عقدة أو وصلة داخلها وخارجها، فلا سبيل لنقل العقدة أو الوصلة بأكملها إلى جانب واحد من الكرة المثقوبة. التعريف الرياضي هو كما يلي: هناك حالتان يجب أخذهما في الاعتبار. الكرة غير قابلة للانضغاط إذا وُجدت داخلها وخارجها عوائق تمنعها من الانكماش إلى نقطة، وتمنعها أيضًا من التمدد لتشمل الفضاء بأكمله. أي سطح آخر غير الكرة غير قابل للانضغاط إذا امتد أي قرص بحدوده على السطح ليشمل قرصًا آخر داخله. ^{[ 1 ]}

تُستخدم الأسطح غير القابلة للانضغاط لتحليل مشعبات هاكن ، وفي نظرية السطح العادي ، وفي دراسة المجموعات الأساسية للمشعبات ثلاثية الأبعاد.

ليكن S سطحًا مضغوطًا مغمورًا بشكل صحيح في فضاء ثلاثي الأبعاد أملس أو متعدد الشعب PL ، M. القرص المضغوط D هو قرص مغمور في M بحيث

${\displaystyle D\cap S=\partial D}$

والتقاطع عرضي . إذا لم يُحدِّد المنحنى ∂D قرصًا داخل S ، يُسمى D قرصًا مضغوطًا غير تافه . إذا كان S يحتوي على قرص مضغوط غير تافه، فإننا نسمي S سطحًا قابلًا للانضغاط في M.

إذا لم تكن S كرة ثنائية الأبعاد ولا سطحًا قابلًا للانضغاط، فإننا نسمي السطح ( هندسيًا ) غير قابل للانضغاط .

تجدر الإشارة إلى أن الكرات ثنائية الأبعاد مستثناة لعدم وجود أقراص انضغاطية غير تافهة فيها وفقًا لنظرية جوردان-شونفليس ، وأن المشعبات ثلاثية الأبعاد تحتوي على وفرة من الكرات ثنائية الأبعاد المضمنة. أحيانًا يُعاد تعريف الكرة غير القابلة للانضغاط بحيث تكون كرة ثنائية الأبعاد مضمنة في مشعب ثلاثي الأبعاد ولا تحدّ كرة ثلاثية الأبعاد مضمنة . تنشأ هذه الكرات تحديدًا عندما يكون المشعب ثلاثي الأبعاد غير قابل للاختزال . ولأن مفهوم عدم الانضغاط هذا للكرة يختلف تمامًا عن التعريف المذكور أعلاه للأسطح، يُشار غالبًا إلى الكرة غير القابلة للانضغاط باسم الكرة الأساسية أو الكرة المختزلة .

بفرض وجود سطح قابل للانضغاط S مع قرص انضغاط D، والذي يُفترض أنه يقع داخل M ويتقاطع مع S بشكل عرضي، يمكن إجراء عملية جراحية من الدرجة الأولى على S للحصول على سطح ناتج عن انضغاط S على طول D. يوجد جوار أنبوبي لـ D ، وإغلاقه عبارة عن تضمين D × [-1,1]، حيث يُعرَّف D × 0 بأنه D و

${\displaystyle (D\times [-1,1])\cap S=\partial D\times [-1,1].}$

ثم

${\displaystyle (S-\partial D\times (-1,1))\cup (D\times \{-1,1\})}$

هو سطح جديد مضمن بشكل صحيح تم الحصول عليه عن طريق ضغط S على طول D.

مقياس التعقيد غير السالب على الأسطح المدمجة الخالية من مكونات الكرة الثنائية هو _b₀ (S) - χ(S)، حيث b₀(S) هو عدد بيتي الصفري (عدد المكونات المتصلة) وχ(S) هي خاصية أويلر للسطح S. عند ضغط سطح قابل للانضغاط على طول قرص ضغط غير تافه ، تزداد خاصية أويلر _بمقدار اثنين ، بينما قد يبقى b₀ ثابتًا أو يزداد بمقدار واحد _. وبالتالي، يرتبط كل سطح مدمج مضمن بشكل صحيح وخالٍ من مكونات الكرة الثنائية بسطح غير قابل للانضغاط من خلال سلسلة من عمليات الضغط.

أحيانًا نتجاهل شرط أن يكون السطح S قابلاً للانضغاط. إذا كان القرص D يحيط بقرص داخل S (وهو ما يحدث دائمًا إذا كان S غير قابل للانضغاط، على سبيل المثال)، فإن انضغاط S على طول D سينتج عنه اتحاد منفصل بين كرة وسطح متماثل مع S. قد يكون السطح الناتج بعد حذف الكرة متماثلًا مع S أو لا ، وسيكون كذلك إذا كان S غير قابل للانضغاط و M غير قابل للاختزال.

يوجد أيضًا شكل جبري لعدم الانضغاط. لنفترض${\displaystyle \iota :S\rightarrow M}$إذا كان S تضمينًا صحيحًا لسطح مضغوط في متعدد شعب ثلاثي الأبعاد، فإن S يكون حقنيًا من النوع π _-1 (أو غير قابل للانضغاط جبريًا ) إذا كانت الخريطة المستحثة

${\displaystyle \iota _{\star }:\pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(M)}$

إن خاصية الحقن في المجموعات الأساسية هي خاصية حقنية .

بشكل عام، كل سطح حقني من النوع π ₁ غير قابل للانضغاط، لكن العكس ليس صحيحًا دائمًا. على سبيل المثال، يحتوي فضاء لينس L (4,1) على زجاجة كلاين غير قابلة للانضغاط وليست حقنية من النوع π ₁ .

ومع ذلك، إذا كان S ثنائي الجانب ، فإن نظرية الحلقة تستلزم ليمّة كنيسر، وهي أنه إذا كان S غير قابل للانضغاط، فإنه يكون π ₁ -حقني.

سطح سيفرت S لوصلة موجهة L هو سطح موجه حدوده هي L بنفس التوجيه المستحث. إذا لم يكن S محقنًا من النوع π ₁ في S ³ − N ( L ) ، حيث N ( L ) هي جوار أنبوبي لـ L ، فإن نظرية الحلقة تعطي قرصًا ضاغطًا يمكن استخدامه لضغط S على طوله، مما يوفر سطح سيفرت آخر ذو تعقيد أقل. ومن ثم، توجد أسطح سيفرت غير قابلة للضغط.

ترتبط جميع أسطح سيفرت للوصلات ببعضها البعض من خلال عمليات الضغط، بمعنى أن علاقة التكافؤ الناتجة عن الضغط لها فئة تكافؤ واحدة. ويُطلق على معكوس الضغط أحيانًا اسم جراحة القوس المضمنة (جراحة الصفر المضمنة).

جنس الرابط هو أصغر جنس لجميع أسطح سيفرت الخاصة به. سطح سيفرت ذو أصغر جنس غير قابل للانضغاط. مع ذلك، ليس بالضرورة أن يكون سطح سيفرت غير القابل للانضغاط ذا أصغر جنس، لذا لا يمكن لـ π ₁ وحده أن يُثبت جنس الرابط. وقد أثبت ديفيد غاباي على وجه الخصوص أن سطح سيفرت الذي يُقلل الجنس هو ورقة من توريق مشدود وموجه عرضيًا لمكمل العقدة، والذي يمكن إثباته بتسلسل هرمي متعدد الشعب مشدود ومخيط .

بفرض وجود سطح سيفرت غير قابل للانضغاط S لعقدة K ، فإن المجموعة الأساسية لـ S³ ^- N ( K ) تنقسم كامتداد HNN على π¹ ( S ) ^، وهي مجموعة حرة . والخريطتان من π¹ ( S ) إلى _π¹ ( _S³ - N ( S ))، واللتان تُعطيان بدفع الحلقات من السطح إلى الجانب الموجب أو السالب من N ( S ) _، هما دالتان حقنيتان .

• مشعب هاكن
• تخمين هاكن الافتراضي
• معيار ثورستون
• سطح غير قابل للانضغاط عند الحدود

• دبليو جاكو، محاضرات في طوبولوجيا الفضاء ثلاثي الأبعاد ، المجلد 43 من سلسلة مؤتمرات CBMS الإقليمية في الرياضيات. الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، 1980.
• http://users.monash.edu/~jpurcell/book/08Essential.pdf
• https://homepages.warwick.ac.uk/~masgar/Articles/Lackenby/thrmans3.pdf
• D. Gabai, "التوريق وطوبولوجيا المشعبات ثلاثية الأبعاد." نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات (NS) 8 (1983)، العدد 1، 77-80.