المؤثر الخطي التكاملي

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 60 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل الرياضي، المؤثر الخطي التكاملي هو مؤثر خطي T يُعطى بالتكامل؛ أي،

(تيو)(x)=∫و(y)ك(x،y)دy{\displaystyle (Tf)(x)=\int f(y)K(x,y)\,dy}

أينك(x،y){\displaystyle K(x,y)}يُطلق عليه اسم نواة التكامل.

وبشكل أعم، فإن الشكل الثنائي الخطي المتكامل هو دالة ثنائية خطية تنتمي إلى الفضاء الثنائي المتصل لـX⊗^ϵY{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}، وهو حاصل الضرب الموتري الحقني للفضاءات المتجهة الطوبولوجية المحدبة محليًا (TVSs) X و Y. المؤثر الخطي التكاملي هو مؤثر خطي مستمر ينشأ بطريقة قانونية من شكل ثنائي خطي تكاملي.

تلعب هذه الخرائط دورًا مهمًا في نظرية الفضاءات النووية والخرائط النووية .

التعريف - الأشكال التكاملية هي ثنائية الضرب الموتري الحقني

ليكن X و Y نظامين متوازيين محدبين محليًا، وليكنX⊗πY{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}يرمز إلى حاصل الضرب الموتري الإسقاطي ،X⊗^πY{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}لنرمز إلى اكتمالها، ولتكنX⊗ϵY{\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}يرمز إلى حاصل الضرب الموتري الأحادي ، وX⊗^ϵY{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}لنفترض أنفي:X⊗ϵY→X⊗^ϵY{\displaystyle \operatorname {In} :X\otimes _{\epsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}يشير إلى تضمين TVS لـX⊗ϵY{\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}إلى إتمامها ودعتفي:(X⊗^ϵY)ب′→(X⊗ϵY)ب′{\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }} ليكن منقوله ، وهو تماثل بين فضاءات متجهة. هذا يُحدد الفضاء الثنائي المتصل لـX⊗ϵY{\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}باعتبارها مطابقة للفضاء الثنائي المتصل لـX⊗^ϵY{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}.

يتركبطاقة تعريف:X⊗πY→X⊗ϵY{\displaystyle \operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\epsilon }Y}تشير إلى خريطة الهوية وتبطاقة تعريف:(X⊗ϵY)ب′→(X⊗πY)ب′{\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }} يمثل منقولها ، وهو دالة حقن متصلة. تذكر أن(X⊗πY)′{\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}يتم تحديدها بشكل أساسي معب(X،Y){\displaystyle B(X,Y)}، فضاء الخرائط الثنائية الخطية المستمرة علىX×Y{\displaystyle X\times Y}وبهذه الطريقة، يصبح الفضاء الثنائي المتصل لـX⊗ϵY{\displaystyle X\otimes _{\epsilon }Y}يمكن تعريفها بشكل أساسي على أنها فضاء متجهي فرعي منب(X،Y){\displaystyle B(X,Y)}، ويرمز إليه بـج(X،Y){\displaystyle J(X,Y)}عناصرج(X،Y){\displaystyle J(X,Y)}تُسمى هذه الأشكال بالصيغ التكاملية (الخطية الثنائية) علىX×Y{\displaystyle X\times Y}تُبرر النظرية التالية استخدام كلمة "تكامل" .

النظرية [ 1 ] [ 2 ] — الثنائي J ( X , Y ) لـX⊗^ϵY{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}يتكون بالضبط من الأشكال الثنائية الخطية المستمرة u علىX×Y{\displaystyle X\times Y}من الشكل

u(x،y)=∫S×تي⟨x،x′⟩⟨y،y′⟩دμ(x′،y′)،{\displaystyle u(x,y)=\int _{S\times T}\langle x,x'\rangle \langle y,y'\rangle \;d\mu \!\left(x',y'\right),}

حيث S و T هما على التوالي مجموعتان جزئيتان مغلقتان ضعيفاً ومتساويتان في الاستمرارية (وبالتالي مضغوطتان ضعيفاً) من المجموعات الثنائية.X′{\displaystyle X^{\prime }}وY′{\displaystyle Y^{\prime }}، وμ{\displaystyle \mu }هي مقياس رادون موجب (محدود بالضرورة) على المجموعة (المتراصة).S×تي{\displaystyle S\times T}.

يوجد أيضًا صياغة وثيقة الصلة [ 3 ] للنظرية المذكورة أعلاه يمكن استخدامها أيضًا لشرح مصطلح الشكل الثنائي الخطي التكاملي : شكل ثنائي خطي متصلu{\displaystyle u}على المنتجX×Y{\displaystyle X\times Y}تكون قيمة الفضاءات المحدبة محليًا صحيحة إذا وفقط إذا كان هناك فضاء طوبولوجي مضغوطΩأوميغامزود بمقياس رادون إيجابي (محدود بالضرورة)μ{\displaystyle \mu }والخرائط الخطية المتصلةα{\displaystyle \alpha }وβ{\displaystyle \beta }منX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إلى فضاء باناشل∞(Ω،μ){\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu )}بحيث

u(x،y)=⟨α(x)،β(y)⟩=∫Ωα(x)β(y)دμ{\displaystyle u(x,y)=\langle \alpha (x),\beta (y)\rangle =\int _{\Omega }\alpha (x)\beta (y)\;d\mu }،

أي، النموذجu{\displaystyle u}يمكن تحقيق ذلك عن طريق دمج الدوال (المحدودة أساسًا) على فضاء مضغوط.

الخرائط الخطية التكاملية

خريطة خطية متصلةκ:X→Y′{\displaystyle \kappa :X\to Y'}يُطلق على الصيغة اسم الصيغة التكاملية إذا كانت صيغتها الثنائية الخطية المرتبطة بها صيغة ثنائية خطية تكاملية، حيث تُعرَّف هذه الصيغة بواسطة(x،y)∈X×Y↦(κx)(y){\displaystyle (x,y)\in X\times Y\mapsto (\kappa x)(y)}[ 4 ] ويترتب على ذلك أن التطبيق التكامليκ:X→Y′{\displaystyle \kappa :X\to Y'}وهو على الشكل التالي: [ 4 ]

x∈X↦κ(x)=∫S×تي⟨x′،x⟩y′دμ(x′،y′){\displaystyle x\in X\mapsto \kappa (x)=\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle y'\mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}

بالنسبة للمجموعات الجزئية المناسبة المغلقة بشكل ضعيف والمتساوية الاستمرارية S و T منX′{\displaystyle X'}وY′{\displaystyle Y'}، على التوالي، وبعض قياسات الرادون الإيجابيةμ{\displaystyle \mu }كتلة إجمالية ≤ 1. التكامل أعلاه هو التكامل الضعيف ، لذا فإن المساواة تتحقق إذا وفقط إذا كان لكلy∈Y{\displaystyle y\in Y}،⟨κ(x)،y⟩=∫S×تي⟨x′،x⟩⟨y′،y⟩دμ(x′،y′){\textstyle \left\langle \kappa (x),y\right\rangle =\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y',y\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}.

بالنظر إلى خريطة خطيةΛ:X→Y{\displaystyle \Lambda :X\to Y}، يمكن تعريف شكل ثنائي خطي متعارف عليهبΛ∈بأنا(X،Y′){\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y'\right)}، والتي تسمى الشكل الثنائي الخطي المرتبطX×Y′{\displaystyle X\times Y'}، بواسطةبΛ(x،y′):=(y′∘Λ)(x){\displaystyle B_{\Lambda }\left(x,y'\right):=\left(y'\circ \Lambda \right)\left(x\right)}خريطة متصلةΛ:X→Y{\displaystyle \Lambda :X\to Y}يُطلق عليه اسم التكامل إذا كان شكله الثنائي الخطي المرتبط به شكلاً ثنائياً خطياً تكاملياً. [ 5 ] دالة تكامليةΛ:X→Y{\displaystyle \Lambda :X\to Y}وهو على شكل، لكلx∈X{\displaystyle x\in X}وy′∈Y′{\displaystyle y'\in Y'}:

⟨y′،Λ(x)⟩=∫أ′×ب"⟨x′،x⟩⟨y"،y′⟩دμ(x′،y"){\displaystyle \left\langle y',\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A'\times B''}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y'',y'\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y''\right)}

للمجموعات الجزئية المناسبة المغلقة بشكل ضعيف والمتساوية الاستمراريةأ′{\displaystyle A'}وب"{\displaystyle B''}لX′{\displaystyle X'}وY"{\displaystyle Y''}، على التوالي، وبعض قياسات الرادون الإيجابيةμ{\displaystyle \mu }من الكتلة الكلية≤1{\displaystyle \leq 1}.

العلاقة بفضاءات هيلبرت

تُظهر النتيجة التالية أن الخرائط التكاملية "تمر عبر" فضاءات هيلبرت.

الفرضية: [ 6 ] لنفترض أنu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}هي دالة تكاملية بين فضاءات TVS المحدبة محليًا ذات Y هاوسدورف وكاملة. يوجد فضاء هيلبرت H ودالتان خطيتان متصلتانα:X→ح{\displaystyle \alpha :X\to H}وβ:ح→Y{\displaystyle \beta :H\to Y}بحيثu=β∘α{\displaystyle u=\beta \circ \alpha }.

علاوة على ذلك، فإن كل مؤثر تكاملي بين فضاءين من فضاءات هيلبرت هو مؤثر نووي . [ 6 ] وبالتالي فإن المؤثر الخطي المتصل بين فضاءين من فضاءات هيلبرت يكون نوويًا إذا وفقط إذا كان تكامليًا.

شروط كافية

كل تطبيق نووي هو تطبيق تكاملي. [ 5 ] ومن النتائج العكسية الجزئية المهمة أن كل مؤثر تكاملي بين فضاءين من فضاءات هيلبرت هو مؤثر نووي . [ 6 ]

لنفترض أن A و B و C و D هي أنظمة فروق متغيرة محدبة محليًا من نوع هاوسدورف، وأنα:أ→ب{\displaystyle \alpha :A\to B}،β:ب→ج{\displaystyle \beta :B\to C}، وγ:ج→د{\displaystyle \gamma :C\to D}جميعها مؤثرات خطية متصلة. إذاβ:ب→ج{\displaystyle \beta :B\to C}إذا كان عاملًا تكامليًا، فإن التركيب كذلكγ∘β∘α:أ→د{\displaystyle \gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D}[ 6 ]​

لوu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}إذا كان مؤثرًا خطيًا متصلًا بين فضاءين معياريين،u:X→Y{\displaystyle u:X\to Y} يكون متكاملاً إذا وفقط إذاتu:Y′→X′{\displaystyle {}^{t}u:Y'\to X'}هو جزء لا يتجزأ. [ 7 ]

لنفترض أنu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}هي دالة خطية متصلة بين أنظمة TVS المحدبة محليًا. إذاu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}إذا كان عدد صحيحًا، فإن منقوله يكون كذلك.تu:Yب′→Xب′{\displaystyle {}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }}[ 5 ] الآن لنفترض أن المنقول تu:Yب′→Xب′{\displaystyle {}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }}الخريطة الخطية المتصلةu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}هو جزء لا يتجزأ. ثمu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}يُعد جزءًا لا يتجزأ من الحقن المتعارف عليهافيX:X→X"{\displaystyle \operatorname {In} _{X}:X\to X''}(محدد بواسطةx↦{\displaystyle x\mapsto }القيمة عند x ) وفيY:Y→Y"{\displaystyle \operatorname {In} _{Y}:Y\to Y''}هي تضمينات TVS (والتي تحدث إذا، على سبيل المثال،X{\displaystyle X}وYب′{\displaystyle Y_{b}^{\prime }}(مُعبأة في براميل أو قابلة للقياس). [ 5 ]

ملكيات

لنفترض أن A و B و C و D هي أنظمة فضاء متغيرة محدبة محليًا من نوع هاوسدورف، حيث B و D كاملتان . إذاα:أ→ب{\displaystyle \alpha :A\to B}،β:ب→ج{\displaystyle \beta :B\to C}، وγ:ج→د{\displaystyle \gamma :C\to D}إذا كانت جميعها تحويلات خطية متكاملة، فإن تركيبهاγ∘β∘α:أ→د{\displaystyle \gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D}هو نووي . [ 6 ] وبالتالي، على وجه الخصوص، إذا كان X فضاء فريشيه لا نهائي الأبعاد، فإن تطبيقًا خطيًا متصلًاu:X→X{\displaystyle u:X\to X}لا يمكن أن يكون عاملًا متكاملًا.

انظر أيضاً

مراجع

فهرس