تحويل الانعكاس

في الفيزياء الرياضية ، تُعدّ تحويلات الانعكاس امتدادًا طبيعيًا لتحويلات بوانكاريه لتشمل جميع التحويلات المطابقة ، أحادية التناظر، على فضاء-زمن الإحداثيات . ^{[ 1 ] [ 2 ]} وهي أقل دراسة في الفيزياء لأنه، على عكس الدوران والانتقال في تناظر بوانكاريه، لا يمكن تحويل جسم ما فيزيائيًا بواسطة تناظر الانعكاس. بعض النظريات الفيزيائية ثابتة تحت هذا التناظر، وفي هذه الحالات يُعرف باسم "التناظر الخفي". تشمل التناظرات الخفية الأخرى في الفيزياء تناظر القياس والتغاير العام .

في عام ١٨٣١، بدأ عالم الرياضيات لودفيج إيمانويل ماغنوس بنشر أبحاثه حول تحويلات المستوى الناتجة عن الانعكاس في دائرة نصف قطرها R. وقد أدى عمله إلى ظهور مجموعة كبيرة من المنشورات، تُعرف الآن باسم الهندسة الانعكاسية . وأصبح أوغست فرديناند موبيوس أشهر علماء الرياضيات الذين ساهموا في هذا المجال، وذلك بعد أن اختزل التحويلات المستوية إلى حساب الأعداد المركبة . وكان من بين أوائل الفيزيائيين الذين استخدموا تحويل الانعكاس اللورد كلفن ، ولذا سُمّي هذا التحويل بتحويل كلفن .

فيما يلي سنستخدم الزمن التخيلي (${\displaystyle t'=it}$بحيث يكون الزمكان إقليديًا وتكون المعادلات أبسط. تُعطى تحويلات بوانكاريه بتحويل الإحداثيات على الزمكان المُعطى بواسطة المتجهات الرباعية V 

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\mu }\,}$

أين${\displaystyle O}$هي مصفوفة متعامدة و${\displaystyle P}$هو متجه رباعي الأبعاد. تطبيق هذا التحويل مرتين على متجه رباعي الأبعاد يُعطي تحويلاً ثالثاً من نفس الشكل. الثابت الأساسي تحت هذا التحويل هو طول الزمكان المُعطى بالمسافة بين نقطتين في الزمكان مُعطىتين بالمتجهين الرباعيين x و y . 

${\displaystyle r=|x-y|.\,}$

تُعدّ هذه التحويلات مجموعات فرعية من التحويلات المطابقة العامة أحادية التناظر على الزمكان. ومن الممكن توسيع نطاق هذه التحويلات لتشمل جميع التحويلات المطابقة أحادية التناظر على الزمكان.

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(A_{\tau }^{\nu }V_{\nu }+B_{\tau }\right)\left(C_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }+D_{\tau \mu }\right)^{-1}.}$

يجب أن يكون لدينا أيضًا شرط مكافئ لشرط التعامد لتحويلات بوانكاريه:

${\displaystyle AA^{T}+BC=DD^{T}+CB\,}$

لأنه يمكن تقسيم الجزء العلوي والسفلي من التحويل بواسطة${\displaystyle D,}$لا نفقد أي عمومية من خلال وضع${\displaystyle D}$إلى مصفوفة الوحدة. ينتهي بنا الأمر بـ

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\tau }\right)\left(\delta _{\tau \mu }+Q_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }\right)^{-1}.\,}$

بتطبيق هذا التحويل مرتين على متجه رباعي الأبعاد، نحصل على تحويل من نفس الشكل. ويُعطى التناظر الجديد لـ "الانعكاس" بواسطة الموتر ثلاثي الأبعاد.${\displaystyle Q.}$يصبح هذا التناظر تناظر بوانكاريه إذا وضعنا${\displaystyle Q=0.}$متى${\displaystyle Q=0}$الشرط الثاني يتطلب أن${\displaystyle O}$هي مصفوفة متعامدة. هذا التحويل هو تحويل أحادي، مما يعني أن كل نقطة تُسقط على نقطة فريدة فقط إذا أخذنا في الاعتبار نظرياً النقاط الموجودة في اللانهاية.

لا تزال الثوابت الخاصة بهذا التناظر في أربعة أبعاد غير معروفة، إلا أنه من المعروف أن الثابت يتطلب أربع نقاط على الأقل في الزمكان. أما في بُعد واحد، فالثابت هو النسبة التبادلية المعروفة من تحويلات موبيوس .

${\displaystyle {\frac {(x-X)(y-Y)}{(x-Y)(y-X)}}.}$

لأن الثوابت الوحيدة في ظل هذا التناظر تتضمن أربع نقاط على الأقل، فلا يمكن أن يكون هذا التناظر تناظرًا لنظرية الجسيمات النقطية. تعتمد نظرية الجسيمات النقطية على معرفة أطوال مسارات الجسيمات عبر الزمكان (على سبيل المثال، من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$يمكن أن يكون التناظر تناظرًا لنظرية الأوتار حيث تُحدد الأوتار بشكل فريد من خلال نقاط نهايتها. ويكون مُوَصِّل هذه النظرية لوتر يبدأ من نقاط النهاية...${\displaystyle (x,X)}$وينتهي عند نقاط النهاية${\displaystyle (y,Y)}$هي دالة توافقية للثابت رباعي الأبعاد. حقل الأوتار في نظرية الأوتار الطرفية هو دالة على النقاط الطرفية.

${\displaystyle \phi (x,X).\,}$

على الرغم من أن تعميم تحويلات بوانكاريه بهدف اكتشاف التناظرات الخفية في الفيزياء، وبالتالي تضييق نطاق النظريات المحتملة لفيزياء الطاقة العالية ، أمرٌ طبيعي، إلا أنه من الصعب دراسة هذا التناظر تجريبيًا، إذ يستحيل تحويل جسمٍ ما تحت تأثيره. ويُستدل على وجود هذا التناظر بشكل غير مباشر من خلال دقة تنبؤات النظريات الفيزيائية الأساسية الثابتة تحت تأثيره. ومن الأدلة غير المباشرة الأخرى ما إذا كانت النظريات الثابتة تحت تأثيره تؤدي إلى تناقضات، كإعطاء احتمالات أكبر من 1. وحتى الآن، لم يُعثر على دليل مباشر يُثبت أن المكونات الأساسية للكون هي الأوتار. وقد يكون هذا التناظر أيضًا تناظرًا مكسورًا، بمعنى أنه على الرغم من كونه تناظرًا فيزيائيًا، إلا أن الكون قد "تجمد" في اتجاهٍ مُحدد، ما يجعل هذا التناظر غير واضح.

• مجموعة الدوران SO(3)
• دوران الإحداثيات والانعكاسات
• تناظرات الزمكان
• تناظر CPT
• المجال (الفيزياء)
• أوتار فائقة