السطح الجانبي

المساحة الجانبية للمنشور هي مجموع مساحات أوجهه الجانبية (الأوجه التي ليست قواعد). ^{[ 1 ]} بالنسبة للمنشور القائم - الذي تكون حوافه الجانبية عمودية على قواعده - فإن المساحة الجانبية تساوي محيط القاعدة مضروبًا في ارتفاع المنشور: ^{[ 3 ]}

A _جانبي = P ⋅ h

حيث P هو محيط القاعدة و h هو الارتفاع (المسافة العمودية بين القاعدتين).

كحالة خاصة، بالنسبة لمكعب طول ضلعه a ، تتكون مساحة السطح الجانبي من أربعة أوجه مربعة: A _{الجانبي} = 4 a ² .

بالنسبة لمنشور مستطيل (متوازي مستطيلات) بأبعاد قاعدة l و w وارتفاع h ، فإن مساحة السطح الجانبي هي:

A _{الجانبي} = 2( الطول + العرض ) ⋅ الارتفاع

بالنسبة لأسطوانة دائرية قائمة نصف قطرها r وارتفاعها h ، فإن السطح الجانبي هو السطح المنحني الذي يربط بين القاعدتين الدائريتين. عندما يُفرد هذا السطح (أي يُحوّل إلى مستوى)، فإنه يُشكّل مستطيلاً عرضه يساوي محيط القاعدة ( 2πr ) وارتفاعه h . ^{[ 2 ]} وبالتالي:

A _جانبي = 2π rh

يتم الحصول على المساحة السطحية الكلية للأسطوانة عن طريق جمع مساحتي القاعدتين الدائريتين:

المجموع _الكلي = 2π rh + 2π r² = 2π r ( ^h + r )

بالنسبة للهرم ، فإن مساحة السطح الجانبي هي مجموع مساحات جميع الأوجه الجانبية المثلثة، باستثناء القاعدة. ^{[ 1 ]}

بالنسبة للهرم المنتظم - الذي تكون قاعدته مضلعًا منتظمًا وتقع قمته مباشرة فوق مركز القاعدة - فإن أوجهه الجانبية عبارة عن مثلثات متساوية الساقين متطابقة . في هذه الحالة، تكون مساحة السطح الجانبي: ^{[ 2 ]}

A _جانبي = 1 / 2 P ⋅ l​​

حيث P هو محيط القاعدة و l هو الارتفاع المائل (المسافة من القمة إلى منتصف حافة القاعدة، مقاسة على طول وجه جانبي).

بالنسبة للمخروط الدائري القائم بنصف قطر القاعدة r وارتفاع مائل l ، فإن مساحة السطح الجانبي هي: ^{[ 2 ]}

A _lateral = π rl

يمكن إيجاد الارتفاع المائل من نصف القطر والارتفاع (الرأسي) h للمخروط باستخدام نظرية فيثاغورس :

ل = √ ر² + ح²^​​

يمكن فهم هذه الصيغة عن طريق قطع السطح الجانبي للمخروط على طول خط مائل من القمة إلى القاعدة وفردها إلى قطاع مسطح من دائرة نصف قطرها l وطول قوسها 2πr . ^{[ 2 ]}

المخروط الناقص هو جزء من المخروط أو الهرم يقع بين مستويين متوازيين يقطعانه. بالنسبة لمخروط ناقص دائري قائم بنصف قطر علوي r1 _ونصف قطر سفلي r2 وارتفاع مائل _l ، فإن مساحة السطح الجانبي هي: ^{[ 2 ]}

أ _{الجانبي} = π( ص ₁ + ص ₂ ) ⋅ ل

حيث يتم تحديد الارتفاع المائل بواسطة:

l = √ ( r ₂ − r ₁ ) ² + h ²

هذا يعمم صيغة المخروط (بوضع r ₁ = 0 ) ويمكن أيضًا اعتباره الفرق بين المساحات الجانبية لمخروطين متداخلين.