صيغة الكتلة شبه التجريبية

على المدى${\displaystyle a_{\text{V}}A}$ is known as the volume term. The volume of the nucleus is proportional to A, so this term is proportional to the volume, hence the name.

The basis for this term is the strong nuclear force. The strong force affects both protons and neutrons, and as expected, this term is independent of Z. Because the number of pairs that can be taken from A particles is ${\displaystyle A(A-1)/2}$, one might expect a term proportional to ${\displaystyle A^{2}}$. However, the strong force has a very limited range, and a given nucleon may only interact strongly with its nearest neighbors and next nearest neighbors. Therefore, the number of pairs of particles that actually interact is roughly proportional to A, giving the volume term its form.

The coefficient ${\displaystyle a_{\text{V}}}$ is smaller than the binding energy possessed by the nucleons with respect to their neighbors (${\displaystyle E_{\text{b}}}$), which is of order of 40 MeV. This is because the larger the number of nucleons in the nucleus, the larger their kinetic energy is, due to the Pauli exclusion principle. If one treats the nucleus as a Fermi ball of ${\displaystyle A}$nucleons, with equal numbers of protons and neutrons, then the total kinetic energy is ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A\varepsilon _{\text{F}}}$, with ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$ the Fermi energy, which is estimated as 38 MeV. Thus the expected value of ${\displaystyle a_{\text{V}}}$ in this model is ${\displaystyle E_{\text{b}}-{\tfrac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}\sim 17~\mathrm {MeV} ,}$ not far from the measured value.

The term ${\displaystyle a_{\text{S}}A^{2/3}}$ is known as the surface term. This term, also based on the strong force, is a correction to the volume term.

The volume term suggests that each nucleon interacts with a constant number of nucleons, independent of A. While this is very nearly true for nucleons deep within the nucleus, those nucleons on the surface of the nucleus have fewer nearest neighbors, justifying this correction. This can also be thought of as a surface-tension term, and indeed a similar mechanism creates surface tension in liquids.

If the volume of the nucleus is proportional to A, then the radius should be proportional to ${\displaystyle A^{1/3}}$ and the surface area to ${\displaystyle A^{2/3}}$. This explains why the surface term is proportional to ${\displaystyle A^{2/3}}$. It can also be deduced that ${\displaystyle a_{\text{S}}}$ should have a similar order of magnitude to ${\displaystyle a_{\text{V}}}$.

The term ${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}}$ or ${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}}$ is known as the Coulomb or electrostatic term.

The basis for this term is the electrostatic repulsion between protons. To a very rough approximation, the nucleus can be considered a sphere of uniform charge density. The potential energy of such a charge distribution can be shown to be

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}},}$

حيث Q هي الشحنة الكلية، و R هو نصف قطر الكرة. قيمة${\displaystyle a_{\text{C}}}$يمكن حسابها تقريبًا باستخدام هذه المعادلة لحساب طاقة الوضع، باستخدام نصف قطر نووي تجريبي قدره${\displaystyle R\approx r_{0}A^{\frac {1}{3}}}$و Q = Ze . ومع ذلك، ولأن التنافر الكهروستاتيكي لن يوجد إلا لأكثر من بروتون واحد،${\displaystyle Z^{2}}$يصبح${\displaystyle Z(Z-1)}$:

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}}={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(Ze)^{2}}{r_{0}A^{1/3}}}={\frac {3e^{2}Z^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}\approx {\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}=a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}},}$

حيث الآن ثابت كولوم الكهروستاتيكي${\displaystyle a_{\text{C}}}$يكون

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3e^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}.}$

باستخدام ثابت البنية الدقيقة ، يمكننا إعادة كتابة قيمة${\displaystyle a_{\text{C}}}$مثل

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3}{5}}{\frac {\hbar c\alpha }{r_{0}}}={\frac {3}{5}}{\frac {R_{\text{P}}}{r_{0}}}\alpha m_{\text{p}}c^{2},}$

أين${\displaystyle \alpha }$هو ثابت البنية الدقيقة، و${\displaystyle r_{0}A^{1/3}}$يمثل نصف قطر النواة ، مما يعطي${\displaystyle r_{0}}$لتكون حوالي 1.25 فيمتومتر . ${\displaystyle R_{\text{P}}}$هو طول موجة كومبتون المختزلة للبروتون ، و${\displaystyle m_{\text{p}}}$كتلة البروتون. وهذا يعطي${\displaystyle a_{\text{C}}}$قيمة نظرية تقريبية تبلغ 0.691 ميغا إلكترون فولت ، وهي ليست بعيدة عن القيمة المقاسة. 

على المدى${\displaystyle a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}}$يُعرف باسم مصطلح عدم التماثل (أو مصطلح باولي ).

إن التبرير النظري لهذا المصطلح أكثر تعقيدًا. ينص مبدأ استبعاد باولي على أنه لا يمكن لجسيمين متطابقين من الفرميونات أن يشغلا نفس الحالة الكمومية تمامًا في الذرة. عند مستوى طاقة معين، لا يتوفر للجسيمات إلا عدد محدود من الحالات الكمومية. وهذا يعني في النواة أنه مع إضافة المزيد من الجسيمات، يجب أن تشغل هذه الجسيمات مستويات طاقة أعلى، مما يزيد من الطاقة الكلية للنواة (ويقلل من طاقة الربط). تجدر الإشارة إلى أن هذا التأثير لا يعتمد على أي من القوى الأساسية ( الجاذبية ، الكهرومغناطيسية، إلخ)، بل على مبدأ استبعاد باولي فقط.

البروتونات والنيوترونات، باعتبارها جسيمات مختلفة، تشغل حالات كمومية مختلفة. يمكن تصور مجموعتين مختلفتين من الحالات - واحدة للبروتونات والأخرى للنيوترونات. على سبيل المثال، إذا كان عدد النيوترونات في النواة يفوق عدد البروتونات بشكل ملحوظ، فإن بعض النيوترونات ستكون طاقتها أعلى من طاقة الحالات المتاحة في مجموعة البروتونات. إذا استطعنا نقل بعض الجسيمات من مجموعة النيوترونات إلى مجموعة البروتونات، أي تحويل بعض النيوترونات إلى بروتونات، فسنخفض الطاقة بشكل كبير. يؤدي عدم التوازن بين عدد البروتونات والنيوترونات إلى أن تكون الطاقة أعلى من اللازم لعدد معين من النيوكليونات . هذا هو أساس مصطلح عدم التناظر. 

يمكن اشتقاق الشكل الفعلي لمصطلح عدم التناظر مرة أخرى عن طريق نمذجة النواة على أنها كرة فيرمي من البروتونات والنيوترونات. طاقتها الحركية الكلية هي

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}(Z\varepsilon _{\text{F,p}}+N\varepsilon _{\text{F,n}}),}$

أين${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,p}}}$و${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,n}}}$تمثل هذه القيم طاقات فيرمي للبروتونات والنيوترونات. وبما أنها تتناسب مع${\displaystyle Z^{2/3}}$و${\displaystyle N^{2/3}}$وبالتالي، يحصل المرء على

${\displaystyle E_{\text{k}}=C(Z^{5/3}+N^{5/3})}$لبعض الثوابت C.

المصطلحات الرئيسية في التوسع في الفرق${\displaystyle N-Z}$ثم

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {C}{2^{2/3}}}\left(A^{5/3}+{\frac {5}{9}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A^{1/3}}}\right)+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

في الرتبة الصفرية من التوسع، تكون الطاقة الحركية هي طاقة فيرمي الكلية.${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}\equiv \varepsilon _{\text{F,p}}=\varepsilon _{\text{F,n}}}$مضروبًا في${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A}$وهكذا نحصل على

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}A+{\frac {1}{3}}\varepsilon _{\text{F}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

يساهم الحد الأول في حد الحجم في صيغة الكتلة شبه التجريبية، والحد الثاني هو ناقص حد عدم التماثل (تذكر أن الطاقة الحركية تساهم في طاقة الربط الكلية بإشارة سالبة ).

${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$تبلغ طاقتها 38 ميغا إلكترون فولت ، لذا فإن الحساب${\displaystyle a_{\text{A}}}$من المعادلة أعلاه، نحصل على نصف القيمة المقاسة فقط. يُعزى هذا التباين إلى عدم دقة نموذجنا: فالنيوكليونات في الواقع تتفاعل مع بعضها البعض ولا تتوزع بالتساوي في النواة. على سبيل المثال، في نموذج القشرة ، يكون للبروتون والنيوترون ذوي الدوال الموجية المتداخلة تفاعل قوي أكبر بينهما وطاقة ربط أقوى. وهذا يجعل من الأفضل طاقيًا (أي ذو طاقة أقل) أن يكون للبروتونات والنيوترونات نفس الأعداد الكمية (باستثناء التناظر النظائري )، وبالتالي يزيد من تكلفة الطاقة لعدم التناظر بينهما.

يمكن أيضًا فهم مصطلح عدم التناظر بشكل بديهي على النحو التالي: ينبغي أن يعتمد على الفرق المطلق .${\displaystyle |N-Z|}$والشكل${\displaystyle (N-Z)^{2}}$إنها بسيطة وقابلة للتفاضل ، وهو أمر مهم لبعض تطبيقات الصيغة. بالإضافة إلى ذلك، فإن الفروق الصغيرة بين Z و N لا تتطلب تكلفة طاقة عالية. يشير A في المقام إلى حقيقة أن فرقًا معينًا${\displaystyle |N-Z|}$تكون أقل أهمية بالنسبة للقيم الأكبر لـ A.

على المدى${\displaystyle \delta (A,Z)}$يُعرف هذا المصطلح بمصطلح الاقتران (أو ربما يُعرف أيضًا بالتفاعل الثنائي). يجسد هذا المصطلح تأثير اقتران الدوران . وهو مُعطى بالمعادلة ^{[ 7 ].}

${\displaystyle \delta (A,Z)={\begin{cases}+\delta _{0}&{\text{for even }}Z,N~({\text{even }}A),\\0&{\text{for odd }}A,\\-\delta _{0}&{\text{for odd }}Z,N~({\text{even }}A),\end{cases}}}$

أين${\displaystyle \delta _{0}}$وُجد تجريبياً أن قيمة طاقة الاقتران تبلغ حوالي 1000  كيلو إلكترون فولت، وتتناقص تدريجياً مع ازدياد العدد الكتلي A. تميل النوى ذات العدد الكتلي الفردي-الفردي إلى الخضوع لتحلل بيتا إلى نواة مجاورة ذات عدد كتلي زوجي-زوجي عن طريق استبدال نيوترون ببروتون أو العكس. تتداخل الدوال الموجية للأزواج، وتكون متقاربة جداً برابطة أقوى من أي تكوين آخر. ^{[ 7 ]} عند استبدال حد الاقتران في معادلة طاقة الربط، فإنه يُضيف طاقة ربط في حالة Z و N الزوجيين، بينما يُزيلها في حالة Z و N الفرديين . 

يُشار عادةً إلى الاعتماد على العدد الكتلي بالمعاملات التالية:

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{k_{\text{P}}}.}$

تُحدد قيمة الأس k _P من بيانات طاقة الربط التجريبية. في الماضي، كان يُفترض غالبًا أن قيمته  −3/4، لكن البيانات التجريبية الحديثة تشير إلى أن قيمة  −1/2 أقرب إلى القيمة الصحيحة.

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-1/2}}$أو${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-3/4}.}$

بسبب مبدأ استبعاد باولي، ستكون طاقة النواة أقل إذا تساوى عدد البروتونات ذات اللف المغزلي للأعلى مع عدد البروتونات ذات اللف المغزلي للأسفل. وينطبق هذا أيضًا على النيوترونات. فقط عندما يكون كل من العدد الذري (Z) والعدد الذري ( N) زوجيين، يمكن أن يكون للبروتونات والنيوترونات أعداد متساوية من الجسيمات ذات اللف المغزلي للأعلى والأسفل. وهذا تأثير مشابه لتأثير مصطلح عدم التناظر.

العامل${\displaystyle A^{k_{\text{P}}}}$لا يمكن تفسير ذلك بسهولة من الناحية النظرية. ستعطي حسابات كرة فيرمي التي استخدمناها أعلاه، والمبنية على نموذج القطرة السائلة مع إهمال التفاعلات،${\displaystyle A^{-1}}$الاعتماد، كما هو الحال في مصطلح عدم التناظر. هذا يعني أن التأثير الفعلي للأنوية الكبيرة سيكون أكبر مما هو متوقع وفقًا لهذا النموذج. ينبغي تفسير ذلك بالتفاعلات بين النيوكليونات. على سبيل المثال، في نموذج القشرة ، سيكون لبروتونين لهما نفس العدد الكمي (بخلاف اللف المغزلي ) دوال موجية متداخلة تمامًا ، وبالتالي سيكون بينهما تفاعل قوي أكبر وطاقة ربط أقوى. هذا يجعل تكوين أزواج من اللف المغزلي المتعاكس أكثر ملاءمة من الناحية الطاقية (أي طاقة أقل). وينطبق الأمر نفسه على النيوترونات.