دالة التكامل اللوغاريتمي

في الرياضيات ، تُعدّ دالة التكامل اللوغاريتمي أو اللوغاريتم التكاملي li( x ) دالة خاصة . وهي ذات أهمية في مسائل الفيزياء ولها دلالة في نظرية الأعداد . على وجه الخصوص، ووفقًا لنظرية الأعداد الأولية ، تُعتبر تقريبًا جيدًا جدًا لدالة عدّ الأعداد الأولية ، والتي تُعرَّف بأنها عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي قيمة معينة x .

للتكامل اللوغاريتمي تمثيل تكاملي معرف لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة x  ≠  1 بواسطة التكامل المحدد

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}$

هنا، يرمز ln إلى اللوغاريتم الطبيعي . الدالة 1/(ln t ) لها نقطة شاذة عند t = 1 ، ويتم تفسير التكامل لـ x > 1 على أنه قيمة رئيسية لكوشي .

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).}$

مع ذلك، يمكن اعتبار التكامل اللوغاريتمي دالة ميرومورفية ذات قيم مركبة في المجال المركب. في هذه الحالة، تكون الدالة متعددة القيم ولها نقاط تفرع عند 0 و1، والقيم بين 0 و1 المحددة بالتكامل المذكور أعلاه لا تتوافق مع القيم التي تتجاوز 1. الدالة المركبة موضحة في الشكل أعلاه. القيم على المحور الحقيقي التي تتجاوز 1 هي نفسها المحددة سابقًا، لكن القيم بين 0 و1 مُزاحة بمقدار iπ بحيث تكون القيمة المطلقة عند 0 هي π بدلًا من الصفر. الدالة المركبة مُعرّفة أيضًا (ولكنها متعددة القيم) للأعداد ذات الجزء الحقيقي السالب، ولكن على المحور الحقيقي السالب، لا تكون القيم حقيقية.

يُعرَّف التكامل اللوغاريتمي المُزاح أو التكامل اللوغاريتمي الأويلري على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

وبالتالي، فإن التمثيل التكاملي يتميز بميزة تجنب التفرد في مجال التكامل.

وبعبارة أخرى،

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {Li} (x)+\operatorname {li} (2).}$

للدالة li( x ) صفر موجب واحد؛ ويظهر عند x ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS : A070769  ؛ يُعرف هذا الرقم باسم ثابت رامانوجان-سولدنر .

${\displaystyle \operatorname {li} ({\text{Li}}^{-1}(0))={\text{li}}(2)}$≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... أويس : A069284 

هذا هو${\displaystyle -(\Gamma (0,-\ln 2)+i\,\pi )}$أين${\displaystyle \Gamma (a,x)}$هي دالة غاما غير الكاملة . يجب فهمها على أنها القيمة الرئيسية لكوشي للدالة.

ترتبط الدالة li( x ) بالتكامل الأسي Ei( x ) من خلال المعادلة

${\displaystyle \operatorname {li} (x)={\hbox{Ei}}(\ln x),}$

وهي صالحة لـ x  >  0. توفر هذه المتطابقة تمثيلًا متسلسلًا لـ li( x ) على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\,,}$

حيث γ ≈ 0.57721 56649 01532 ... OEIS : A001620  هو ثابت أويلر-ماسكيروني . أما بالنسبة للدالة المركبة، فالصيغة هي

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln u+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\,,}$

(دون أخذ القيمة المطلقة لـ u). متسلسلة رامانوجان ^{[ 1 ]} ذات التقارب الأسرع هي

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln |\ln x|+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}\right).}$

مرة أخرى، بالنسبة للدالة المركبة الميرومورفية، فإن المصطلح${\displaystyle \ln |\ln u|}$يجب استبدالها بـ${\displaystyle \ln \ln u.}$

السلوك التقاربي لكل من${\displaystyle x\to \infty }$ولـ${\displaystyle x\to 0^{+}}$يكون

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=O\left({\frac {x}{\ln x}}\right).}$

أين${\displaystyle O}$هي رمز Big O. التوسع التقاربي الكامل هو

${\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$

أو

${\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .}$

وهذا يعطي السلوك التقاربي الأكثر دقة التالي:

${\displaystyle \operatorname {li} (x)-{\frac {x}{\ln x}}=O\left({\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\right).}$

باعتبارها متسلسلة تقاربية، فإن هذه المتسلسلة غير متقاربة ؛ فهي تقريب معقول فقط إذا تم اقتطاع المتسلسلة عند عدد محدود من الحدود، واستُخدمت قيم كبيرة فقط لـ x . وتنتج هذه المتسلسلة مباشرةً من المتسلسلة التقاربية للتكامل الأسي .

وهذا يعني على سبيل المثال أنه يمكننا وضع li بين قوسين على النحو التالي:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}}$

للجميع${\displaystyle \ln x\geq 11}$.

يُعد التكامل اللوغاريتمي مهمًا في نظرية الأعداد ، إذ يظهر في تقديرات عدد الأعداد الأولية الأقل من قيمة معينة. على سبيل المثال، تنص نظرية الأعداد الأولية على ما يلي:

${\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {li} (x)}$

أين${\displaystyle \pi (x)}$يشير إلى عدد الأعداد الأولية الأصغر من أو تساوي${\displaystyle x}$.

وبافتراض صحة فرضية ريمان ، نحصل على الفرضية الأقوى: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O({\sqrt {x}}\log x)}$

في الواقع، فإن فرضية ريمان تعادل القول بأن:

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O(x^{1/2+a})}$لأي${\displaystyle a>0}$.

للصغار${\displaystyle x}$،${\displaystyle \operatorname {li} (x)>\pi (x)}$لكن الفرق يغير إشارته عددًا لا نهائيًا من المرات كما${\displaystyle x}$تزداد، ويحدث هذا لأول مرة في مكان ما بين 10 ^و19 و1.4 × 10 ³¹⁶ .

• يورغن بيدرسن غرام
• عدد سكيوز
• قائمة تكاملات الدوال اللوغاريتمية

• أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 5" . دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد  55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛  الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص  228. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
• تيمي، ن.م. (2010)، "التكاملات الأسية واللوغاريتمية والجيبية وجيب التمام" ، في أولفر، فرانك و.ج .؛ لوزير، دانيال م.؛ بويسفيرت، رونالد ف.؛ كلارك، تشارلز و. (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .