موجة حب

في ميكانيكا المواد الصلبة ، تُعرف موجات لوف ، نسبةً إلى أوغسطس إدوارد هوف لوف ، بأنها موجات سطحية مستقطبة أفقيًا . وتنتج موجة لوف عن تداخل العديد من موجات القص ( موجات S ) الموجهة بواسطة طبقة مرنة، ملحومة بنصف فضاء مرن من جهة ، بينما تحدها فراغ من الجهة الأخرى. في علم الزلازل ، تُعد موجات لوف (المعروفة أيضًا بموجات Q ، وتعني حرفيًا "جانبي" بالألمانية) موجات زلزالية سطحية تُسبب إزاحة أفقية للأرض أثناء الزلزال . وقد تنبأ أوغسطس إدوارد هوف لوف بوجود موجات لوف رياضيًا عام 1911. وهي تُشكل فئة مميزة، تختلف عن أنواع الموجات الزلزالية الأخرى ، مثل موجات P وموجات S (وكلاهما موجات داخلية )، أو موجات رايلي (نوع آخر من الموجات السطحية). تنتقل موجات لوف بسرعة أقل من موجات P أو S، ولكنها أسرع من موجات رايلي. لا تُلاحظ هذه الموجات إلا عندما تكون هناك طبقة منخفضة السرعة تعلو طبقة/طبقات فرعية عالية السرعة.

تشكّل حركة جسيمات موجة لوف خطًا أفقيًا، عموديًا على اتجاه الانتشار (أي أنها موجات مستعرضة ). عند التعمق في المادة، قد تتضاءل الحركة لتصل إلى "عقدة"، ثم تتناوب بين الزيادة والنقصان عند فحص طبقات الجسيمات الأعمق. غالبًا ما يتناقص اتساع الموجة ، أو أقصى حركة للجسيمات، بسرعة مع العمق.

بما أن موجات لوف تنتقل على سطح الأرض، فإن قوة (أو سعة) هذه الموجات تتناقص بشكل أُسّي مع عمق الزلزال. ومع ذلك، ونظرًا لانحصارها على السطح، فإن سعتها تتلاشى فقط مع${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$، أين${\displaystyle r}$يمثل هذا المسافة التي قطعتها الموجة من الزلزال. ولذلك، تتلاشى الموجات السطحية ببطء أكبر مع المسافة مقارنةً بالموجات الداخلية التي تنتشر في ثلاثة أبعاد. وقد تُولّد الزلازل الكبيرة موجات لوف التي تدور حول الأرض عدة مرات قبل أن تتلاشى.

نظراً لبطء اضمحلالها، تُعدّ موجات الحب الأكثر تدميراً خارج المنطقة المباشرة لبؤرة الزلزال أو مركزه . وهي ما يشعر به معظم الناس بشكل مباشر أثناء الزلزال.

في الماضي، كان يُعتقد غالباً أن الحيوانات مثل القطط والكلاب قادرة على التنبؤ بالزلازل قبل وقوعها. إلا أنها ببساطة أكثر حساسية للاهتزازات الأرضية من البشر، وقادرة على رصد الموجات الجسمية الدقيقة التي تسبق موجات لوف، مثل الموجات الأولية (P) والموجات الثانوية (S). ^{[ 1 ]}

يمكن كتابة قانون حفظ الزخم الخطي لمادة مرنة خطية على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )=\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}}$

أين${\displaystyle \mathbf {u} }$هو متجه الإزاحة و${\displaystyle {\mathsf {C}}}$هو موتر الصلابة . موجات الحب هي حل خاص (${\displaystyle \mathbf {u} }$) التي تحقق نظام المعادلات هذا. نستخدم عادةً نظام إحداثيات ديكارتية (${\displaystyle x,y,z}$) لوصف موجات الحب.

لنفترض وسطًا مرنًا خطيًا متجانس الخواص، حيث تكون الخصائص المرنة دوالًا لـ${\displaystyle z}$يمكن التعبير عن الإحداثيات، أي معاملات لاميه وكثافة الكتلة، على النحو التالي:${\displaystyle \lambda (z),\mu (z),\rho (z)}$الإزاحات${\displaystyle (u,v,w)}$تنتج موجات الحب كدالة للزمن (${\displaystyle t}$) لها الشكل

${\displaystyle u(x,y,z,t)=0~,~~v(x,y,z,t)={\hat {v}}(x,z,t)~,~~w(x,y,z,t)=0\,.}$

وبالتالي، فإن هذه موجات قص مضادة للمستوى عمودية على${\displaystyle (x,z)}$الطائرة. الوظيفة${\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)}$يمكن التعبير عنها على أنها تراكب لموجات توافقية ذات أعداد موجية متغيرة (${\displaystyle k}$) والترددات (${\displaystyle \omega }$لنفترض وجود موجة توافقية واحدة، أي

${\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)=V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

أين${\displaystyle i}$هي الوحدة التخيلية ، أي${\displaystyle i^{2}=-1}$الإجهادات الناتجة عن هذه الإزاحات هي

${\displaystyle \sigma _{xx}=0~,~~\sigma _{yy}=0~,~~\sigma _{zz}=0~,~~\tau _{zx}=0~,~~\tau _{yz}=\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\,\exp[i(kx-\omega t)]~,~~\tau _{xy}=ik\mu (ض)V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]\,.}$

إذا استبدلنا الإزاحات المفترضة في معادلات حفظ الزخم، فسنحصل على معادلة مبسطة

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\right]=[k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)]\,V(k,z,\omega )\,.}$

تتمثل الشروط الحدية لموجة لوف في أن قوى الشد السطحية عند السطح الحر${\displaystyle (z=0)}$يجب أن يكون صفرًا. ومن المتطلبات الأخرى أن يكون عنصر الإجهاد${\displaystyle \tau _{yz}}$في الوسط الطبقي، يجب أن يكون الوسط متصلاً عند أسطح التماس بين الطبقات. لتحويل المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية إلى${\displaystyle V}$في معادلتين من الدرجة الأولى، نعبر عن مكون الإجهاد هذا بالشكل التالي

${\displaystyle \tau _{yz}=T(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

للحصول على معادلات حفظ الزخم من الدرجة الأولى

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1/\mu (z)\\k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}\,.}$

تصف المعادلات أعلاه مسألة القيم الذاتية التي يمكن إيجاد دوالها الذاتية باستخدام عدد من الطرق العددية . ومن الطرق الشائعة والفعالة الأخرى طريقة مصفوفة الانتشار (وتسمى أيضًا طريقة المصفوفة ).

• الموجة الطولية
• القص المضاد للمستوى

• AEH Love، "بعض مشاكل الديناميكا الأرضية"، نُشر لأول مرة عام 1911 من قبل مطبعة جامعة كامبريدج، وأعيد نشره عام 1967 من قبل دار نشر دوفر، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية. (الفصل 11: نظرية انتشار الموجات الزلزالية)