الدالة القصوى

تظهر الدوال القصوى بأشكالٍ عديدة في التحليل التوافقي (أحد فروع الرياضيات ). ومن أهمها دالة هاردي-ليتلوود القصوى . وتلعب هذه الدوال دورًا هامًا في فهم خصائص قابلية اشتقاق الدوال، والتكاملات الشاذة، والمعادلات التفاضلية الجزئية، على سبيل المثال. وغالبًا ما توفر هذه الدوال منهجًا أعمق وأبسط لفهم المسائل في هذه المجالات مقارنةً بالأساليب الأخرى.

في ورقتهم البحثية الأصلية، شرح جي إتش هاردي وجيه إي ليتلوود متباينتهما القصوى بلغة متوسطات لعبة الكريكيت . بفرض دالة f معرفة على R ⁿ ، فإن دالة هاردي-ليتلوود القصوى غير المركزية Mf للدالة f تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle (Mf)(x)=\sup _{B\ni x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f|}$

عند كل ^نقطة x في Rⁿ ^. هنا، تُحسب القيمة العليا على الكرات B في Rⁿ التي تحتوي على النقطة x، و| B | تُشير إلى قياس B (في هذه الحالة ، مُضاعف لنصف قطر الكرة مرفوعًا للأس n ). يُمكن أيضًا دراسة دالة القيمة القصوى المركزية، حيث تُحسب القيمة العليا على الكرات B التي مركزها x . عمليًا، لا يوجد فرق يُذكر بين الطريقتين.

تأخذ الدالة القصوى غير المماسية دالة F معرفة على النصف العلوي من المستوى

${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{n+1}:=\left\{(x,t)\$ :\ x\in \mathbf {R} ^{n},t>0\right\}}

وتنتج دالة F* معرفة على R ⁿ عبر التعبير

${\displaystyle F^{*}(x)=\sup _{|xy|<t}|F(y,t)|.}$

لاحظ أنه بالنسبة لقيمة ثابتة لـ x ، فإن المجموعة${\displaystyle \{(y,t)\$ المخروط هو : |xy|<t ${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{n+1}}$برأس عند ( x ,0) ومحور عمودي على حدود R ⁿ . وبالتالي، فإن المؤثر الأقصى غير المماسي يأخذ ببساطة القيمة العليا للدالة F على مخروط رأسه عند حدود R ⁿ .

بالنسبة لدالة قابلة للتكامل محليًا f على R ⁿ ، فإن الدالة القصوى الحادة${\displaystyle f^{\sharp }}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle f^{\sharp }(x)=\sup _{x\in B}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f_{B}|\,dy}$

لكل x في R ⁿ ، حيث يتم أخذ القيمة العليا على جميع الكرات B و${\displaystyle f_{B}}$هو المتوسط ​​التكاملي لـ${\displaystyle f}$فوق الكرة${\displaystyle B}$[ ^{2 ]​}

يمكن استخدام دالة شارب للحصول على متباينة نقطية تتعلق بالتكاملات الشاذة . لنفترض ^أن لدينا مؤثرًا T محدودًا على L² ( Rⁿ ⁾ ، وبالتالي لدينا

${\displaystyle \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},}$

لكل دالة f ملساء وذات دعم مضغوط . لنفترض أيضًا أنه يمكننا تمثيل T على شكل التفاف مع نواة K بمعنى أنه كلما كانت f و g سلسلتين وذات دعم منفصل

${\displaystyle \int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(xy)f(y)\,dy\,dx.}$

وأخيرًا، نفترض شرطًا يتعلق بالحجم والنعومة على النواة K :

${\displaystyle |K(xy)-K(x)|\leq C{\frac {|y|^{\gamma }}{|x|^{n+\gamma }}},}$

متى${\displaystyle |x|\geq 2|y|}$ثم، بالنسبة لقيمة ثابتة لـ r > 1، لدينا

${\displaystyle (T(f))^{\sharp }(x)\leq C(M(|f|^{r}))^{\frac {1}{r}}(x)}$

لكل x في R ⁿ . ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},m)}$ليكن فضاء احتماليًا ، و T  : X → X تشاكلًا داخليًا يحافظ على القياس في X. الدالة القصوى لـ f ∈ L ¹ ( X , m ) هي

${\displaystyle f^{*}(x):=\sup _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n-1}|f(T^{i}(x))|.}$

تحقق الدالة القصوى لـ f حدًا ضعيفًا مشابهًا لمتباينة هاردي-ليتلوود القصوى :

${\displaystyle m\left(\{x\in X\$ :\ f^{*}(x)>\alpha \}\right)\leq {\frac {\|f\|_{1}}{\alpha }},}

هذا إعادة صياغة لنظرية الإرجودية القصوى .

لو${\displaystyle \{f_{n}\}}$إذا كان مارتينجال ، فيمكننا تعريف دالة المارتينجال القصوى كما يلي:${\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{n}|f_{n}(x)|}$. لو${\displaystyle f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)}$توجد العديد من النتائج التي تنطبق في الحالة الكلاسيكية (مثل التقييد في${\displaystyle L^{p},1<p\leq \infty }$والضعفاء${\displaystyle L^{1}}$(عدم المساواة) تنطبق فيما يتعلق بـ${\displaystyle f}$و${\displaystyle f^{*}}$[ ^{3 ]​}

• إل. غرافاكوس، التحليل الكلاسيكي والحديث لفورييه ، بيرسون إديوكيشن، إنك، نيو جيرسي، 2004
• إي إم شتاين ، التحليل التوافقي ، مطبعة جامعة برينستون، 1993
• إي إم شتاين، التكاملات المفردة وخصائص قابلية التفاضل للدوال ، مطبعة جامعة برينستون، 1971
• إي إم شتاين، مواضيع في التحليل التوافقي المتعلقة بنظرية ليتلوود-بالي ، مطبعة جامعة برينستون، 1970