مجموعة ماير

في الرياضيات، تُعرف مجموعة ماير أو الشبكة شبه الكاملة بأنها مجموعة كثيفة نسبيًا X من النقاط في المستوى الإقليدي أو في فضاء إقليدي ذي أبعاد أعلى ، بحيث يكون فرق مينكوفسكي بينها وبين نفسها منفصلًا بشكل منتظم . تتميز مجموعات ماير بعدة خصائص مكافئة، وقد سُميت نسبةً إلى إيف ماير الذي قدمها ودرسها في سياق التقريب الديوفانتي. تُعرف مجموعات ماير اليوم بشكل أساسي كنموذج رياضي للبلورات شبه الدورية . مع ذلك، فإن عمل ماير يسبق اكتشاف البلورات شبه الدورية بأكثر من عقد من الزمان، وكان دافعه الأساسي هو مسائل نظرية الأعداد. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

تُسمى المجموعة الجزئية X من فضاء متري كثيفة نسبيًا إذا وُجد عدد r بحيث تقع جميع نقاط X ضمن مسافة r من X ، وتُسمى منفصلة بانتظام إذا وُجد عدد ε بحيث لا تقع أي نقطتين من X ضمن مسافة ε من بعضهما البعض. تُسمى المجموعة التي تتسم بالكثافة النسبية والانفصال المنتظم مجموعة ديلون . عندما تكون X مجموعة جزئية من فضاء متجهي ، فإن فرق مينكوفسكي X − X هو مجموعة { ^x − y | x , y ∈ X } لفروق أزواج عناصر X. [ ^{3 ]}         

بناءً على هذه التعريفات، يمكن تعريف مجموعة ماير بأنها مجموعة كثيفة نسبيًا X يكون فيها X − X منفصلة بانتظام. وبصورة مكافئة، هي مجموعة ديلون يكون فيها X − X مجموعة ديلون، ^{[ 1 ]} أو مجموعة ديلون X التي توجد لها مجموعة منتهية F بحيث يكون X − X ⊂ X + F ^{[ 4 ].}          

تتضمن بعض التوصيفات المكافئة الإضافية المجموعة

${\displaystyle X^{\epsilon }=\{y\mid |x\cdot y-1|\leq \varepsilon {\text{ لجميع }}x\in X\}}$

تُعرَّف هذه المجموعة لمجموعة X معينة و ε معينة ، وهي تُقارب (عندما تقترب ε من الصفر) تعريف الشبكة المقلوبة لشبكة ما . تُعتبر المجموعة X كثيفة نسبيًا مجموعة ماير إذا وفقط إذا

• لكل ε  >  0، تكون X ^ε كثيفة نسبيًا، أو ما يعادلها
• يوجد عدد صحيح موجب ε بحيث يكون 0  < ε < 1/2، ويكون X ^ε كثيفًا نسبيًا. ^{[ 1 ]}   

إنّ خاصية مجموعة جزئية مغلقة جمعيًا من فضاء متجهي هي دالة تُسقط المجموعة على دائرة الوحدة في مستوى الأعداد المركبة ، بحيث يُسقط مجموع أي عنصرين على حاصل ضرب صورتيهما. تُسمى المجموعة X مجموعة متناسقة إذا كان لكل خاصية χ على الإغلاق الجمعي لـ X ولكل ε  >  0، توجد خاصية متصلة على الفضاء بأكمله تُقارب χ بمقدار ε . عندئذٍ، تكون المجموعة X كثيفة نسبيًا ، وتُسمى مجموعة ماير إذا وفقط إذا كانت متناسقة. ^{[ 1 ]}

تتضمن مجموعات ماير

• نقاط أي شبكة
• رؤوس أي تبليط معيني من نوع بنروز ^{[ 5 ]}
• مجموع مينكوفسكي لمجموعة ماير أخرى مع أي مجموعة منتهية غير فارغة ^{[ 4 ]}
• أي مجموعة فرعية كثيفة نسبياً من مجموعة ماير أخرى ^{[ 6 ]}