الصف الابتدائي

ليكن σ توقيعًا يتألف فقط من رمز دالة أحادية f . تُعدّ الفئة K من هياكل σ التي تكون فيها f أحادية التقابل فئةً أساسيةً أولية. ويشهد على ذلك النظرية T ، التي تتألف فقط من جملة واحدة.

${\displaystyle \forall x\forall y((f(x)=f(y))\to (x=y))}$.

ليكن σ توقيعًا عشوائيًا. الفئة K لجميع هياكل σ اللانهائية هي فئة أولية. ولتوضيح ذلك، انظر إلى الجمل التالية

${\displaystyle \rho _{2}={}}$"${\displaystyle \exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\not =x_{2})}$",

${\displaystyle \rho _{3}={}}$"${\displaystyle \exists x_{1}\exists x_{2}\exists x_{3}((x_{1}\not =x_{2})\land (x_{1}\not =x_{3})\land (x_{2}\not =x_{3}))}$",

وهكذا دواليك. (لذا فإن الجملة${\displaystyle \rho _{n}}$(يقول أن هناك على الأقل n عنصرًا.) إن البنى σ اللانهائية هي نماذج النظرية تحديدًا

${\displaystyle T_{\infty }=\{\rho _{2},\rho _{3},\rho _{4},\dots \}}$.

لكن K ليست فئة ابتدائية أساسية. وإلا لكانت البنى σ اللانهائية هي تحديدًا تلك التي تحقق جملة من الدرجة الأولى τ. ولكن حينها ستكون المجموعة ${\displaystyle \{\neg \tau ,\rho _{2},\rho _{3},\rho _{4},\dots \}}$سيكون ذلك غير متسق. وبحسب نظرية التراص ، بالنسبة لعدد طبيعي ما n، فإن المجموعة${\displaystyle \{\neg \tau ,\rho _{2},\rho _{3},\rho _{4},\dots ,\rho _{n}\}}$سيكون ذلك غير متسق. لكن هذا أمرٌ عبثي، لأن هذه النظرية تتحقق بواسطة أي بنية سيجما محدودة مع${\displaystyle n+1}$أو عناصر أخرى.

ومع ذلك، توجد فئة أساسية أولية K ' في التوقيع σ' = σ${\displaystyle \cup }${ f }، حيث f رمز دالة أحادية، بحيث تتكون K تمامًا من اختزالات σ'-البنى في K ' إلى σ . يتم وضع بديهيات K ' بواسطة الجملة الواحدة${\displaystyle (\forall x\forall y(f(x)=f(y)\rightarrow x=y)\land \exists y\neg \exists x(y=f(x))),}$وهذا يُعبّر عن أن الدالة f أحادية وليست شاملة. لذلك، فإن K أولية، ويمكن تسميتها شبه أولية أساسية، ولكنها ليست أولية أساسية.

أخيرًا، لننظر إلى التوقيع σ الذي يتكون من رمز علاقة أحادي واحد P. تُقسّم كل بنية σ إلى مجموعتين فرعيتين: العناصر التي تتحقق فيها العلاقة P ، وبقية العناصر. ولتكن K فئة جميع بنى σ التي تتساوى فيها هاتان المجموعتان الفرعيتان في العدد ، أي يوجد بينهما تقابل. هذه الفئة ليست أولية، لأن بنية σ التي تكون فيها كل من مجموعة تحققات P ومتممتها لانهائية قابلة للعد، تُحقق نفس الجمل من الدرجة الأولى التي تُحققها بنية σ التي تكون فيها إحدى المجموعتين لانهائية قابلة للعد والأخرى غير قابلة للعد.

والآن لننظر إلى التوقيع${\displaystyle \sigma '}$، والتي تتكون من P بالإضافة إلى رمز دالة أحادية f . ليكن${\displaystyle K'}$كن الأفضل بين الجميع${\displaystyle \sigma '}$-هياكل بحيث يكون f تقابلًا ويكون P صحيحًا لـ x إذا وفقط إذا لم يكن P صحيحًا لـ f(x) .${\displaystyle K'}$من الواضح أنها فئة ابتدائية، وبالتالي فإن K مثال على فئة شبه ابتدائية ليست ابتدائية.

ليكن σ توقيعًا عشوائيًا. إن الفئة K لجميع البنى σ-المنتهية ليست فئة أولية، لأن (كما هو موضح أعلاه) مكملتها أولية ولكنها ليست أولية أساسية. وبما أن هذا ينطبق أيضًا على كل توقيع يمتد من σ، فإن K ليست حتى فئة شبه أولية.

يُبيّن هذا المثال حدود القدرة التعبيرية الكامنة في منطق الرتبة الأولى مقارنةً بمنطق الرتبة الثانية الأكثر تعبيرًا. مع ذلك، يعجز منطق الرتبة الثانية عن الاحتفاظ بالعديد من الخصائص المرغوبة لمنطق الرتبة الأولى، مثل نظريتي الاكتمال والتراص .