فئات متعددة

في الرياضيات (وخاصةً نظرية الفئات )، تُعدّ الفئة المتعددة تعميمًا لمفهوم الفئة يسمح بوجود تشاكلات متعددة الرتبة . إذا نُظر إلى التشاكلات في فئة ما على أنها مماثلة للدوال ، فإن التشاكلات في الفئة المتعددة تُشابه الدوال ذات المتغيرات المتعددة. تُسمى الفئات المتعددة أحيانًا أيضًا بالمؤثرات ، أو المؤثرات الملونة.

تتكون الفئة المتعددة (غير المتناظرة) من

• مجموعة (غالباً ما تكون فئة مناسبة ) من الكائنات ؛
• لكل متتالية منتهية${\displaystyle (X_{i})_{i\in [n]}}$من الكائنات (${\displaystyle [n]=\{0,1,2,...,n\}}$) وكل كائن Y ، مجموعة من التشكلات من${\displaystyle (X_{i})_{i\in n}}$إلى Y ؛ و
• لكل كائن X ، يوجد شكل تطابق خاص (مع n = 1) من X إلى X.

بالإضافة إلى ذلك، توجد عمليات التركيب: بالنظر إلى سلسلة من التسلسلات${\displaystyle ((X_{ij})_{i\in n_{j}})_{j\in m}}$من الأشياء، تسلسل${\displaystyle (Y_{j})_{j\in m}}$من الأشياء، وشيء Z : إذا

• لكل${\displaystyle j\in m}$، f _j هو تشاكل من${\displaystyle (X_{ij})_{i\in n_{j}}}$إلى Y _j ؛ و
• g هو تشاكل من${\displaystyle (Y_{j})_{j\in m}}$إلى Z :

ثم يوجد تشاكل مركب${\displaystyle g(f_{j})_{j\in m}}$من${\displaystyle (X_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}}$إلى Z. يجب أن يفي هذا ببعض البديهيات:

• إذا كان m = 1، Z = Y ₀ ، و g هو التشكل المتطابق لـ Y ₀ ، فإن g ( f ₀ ) = f ₀ ؛
• إذا كان لكل${\displaystyle j\in m}$، n _j = 1،${\displaystyle X_{0j}=Y_{j}}$وإذا كان f _j هو التشكل المحايد لـ Y _j ، فإن${\displaystyle g(f_{j})_{j\in m}=g}$؛ و
• شرط التجميع : إذا كان لكل${\displaystyle j\in m}$و${\displaystyle i\in n_{j}}$،${\displaystyle e_{ij}}$هو تشاكل من${\displaystyle (W_{hij})_{h\in o_{ij}}}$ل${\displaystyle X_{ij}}$، ثم${\displaystyle g\left(f_{j}(e_{ij})_{i\in n_{j}}\right)_{j\in m}=g(f_{j})_{j\in m}(e_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}}$هي تماثلات متطابقة من${\displaystyle (W_{hij})_{h\in o_{ij},i\in n_{j},j\in m}}$إلى Z.​

الفئة المشتركة (الفئة المتعددة المشتركة) هي مجموعة مرتبة كليًا O من الكائنات، ومجموعة A من الأسهم المتعددة ذات دالتين

${\displaystyle \mathrm {head} :A\rightarrow O,}$

${\displaystyle \mathrm {ground} :A\rightarrow O^{\%},}$

حيث O هي مجموعة جميع المتتاليات المرتبة المنتهية لعناصر O. ويمكن تلخيص الصورة الثنائية لسهم متعدد f على النحو التالي ^:

${\displaystyle f:\mathrm {head} (f)\Leftarrow \mathrm {ground} (f).}$

تحتوي الفئة المركبة C أيضًا على عملية ضرب متعددة ذات خصائص عملية التركيب المعتادة. ويُقال إن C ترابطية إذا تحققت بديهية الضرب المتعدد فيما يتعلق بهذه العملية.

يمكن تحويل أي تصنيف متعدد الفئات، متماثل أو غير متماثل، بالإضافة إلى الترتيب الكلي لمجموعة الكائنات، إلى تصنيف مشترك مكافئ.

الرتبة المتعددة هي فئة مشتركة تحقق الشروط التالية.

• يوجد سهم متعدد واحد على الأكثر برأس وأرضية محددين.
• كل عنصر x له سهم متعدد الوحدات.
• تُعتبر وحدة الأسهم المتعددة وحدةً إذا كان لأرضيتها مدخل واحد.

الترتيبات المتعددة هي تعميم للترتيبات الجزئية (المجموعات الجزئية المرتبة)، وقد تم تقديمها لأول مرة (بشكل عابر) بواسطة توم لينستر . ^{[ 1 ]}

هناك فئة متعددة تكون كائناتها عبارة عن مجموعات (صغيرة) ، حيث يكون التشكل من المجموعات X ₁ ، X ₂ ، ... ، و X _n إلى المجموعة Y دالة n -ary ، أي دالة من حاصل الضرب الديكارتي X ₁ × X ₂ × ... × X _n إلى Y.

هناك فئة متعددة تكون كائناتها عبارة عن فضاءات متجهة (على الأعداد النسبية ، على سبيل المثال)، حيث يكون التشكل من الفضاءات المتجهة X ₁ ، X ₂ ، ... ، و X _n إلى الفضاء المتجه Y هو عامل متعدد الخطية ، أي تحويل خطي من حاصل الضرب الموتري X ₁ ⊗ X ₂ ⊗ ... ⊗ X _n إلى Y.

بشكل عام، بالنظر إلى أي فئة أحادية C ، توجد فئة متعددة تكون كائناتها كائنات من C ، حيث يكون التشكل من كائنات C X ₁ ، X ₂ ، ... ، و X _n إلى كائن C Y هو تشكل C من حاصل الضرب الأحادي لـ X ₁ ، X ₂ ، ... ، و X _n إلى Y.

الـ operad هو فئة متعددة تحتوي على كائن فريد واحد؛ باستثناء الحالات المنحلة، فإن هذه الفئة المتعددة لا تأتي من فئة أحادية.

تشمل أمثلة الترتيبات المتعددة المجموعات المتعددة المدببة (المتتالية A262671 في OEIS ) ، والتقسيمات الصحيحة (المتتالية A063834 في OEIS ) ، والفواصل التوافقية (المتتالية A269134 في OEIS ) . تُعدّ المثلثات (أو التركيبات) لأي ترتيب متعدد تشاكلات لفئة (ليست بالضرورة ترابطية) من الانكماشات وفئة مشتركة من التفكيكات . تُعتبر فئة الانكماش للترتيب المتعدد لتقسيمات متعددة الحد الأدنى (المتتالية A255397 في OEIS ) أبسط فئة معروفة من المجموعات المتعددة. ^{[ 2 ]}

كثيراً ما يُنظر إلى الفئات المتعددة، خطأً، على أنها تنتمي إلى نظرية الفئات العليا ، إذ كان تطبيقها الأصلي هو ملاحظة أن المؤثرات والهويات التي تحققها الفئات العليا هي كائنات وأسهم متعددة لفئة متعددة. وقد استُلهمت دراسة الفئات من الرتبة n بدورها من تطبيقاتها في الطوبولوجيا الجبرية ومحاولات وصف نظرية التماثل للمشعبات متعددة الأبعاد .

يُتيح التوافق بين انكماشات وتفكيكات المثلثات في رتبة متعددة بناء جبر ترابطي يُسمى جبر وقوعها . أي عنصر غير صفري على جميع أسهم الوحدة له معكوس تركيبي، وتُعرَّف دالة موبيوس لرتبة متعددة بأنها المعكوس التركيبي لدالة زيتا (ثابتة-واحد) في جبر وقوعها.

طُرح مصطلح "الفئات المتعددة" لأول مرة بهذا الاسم من قِبل جيم لامبيك في كتابه "الأنظمة الاستنتاجية والفئات II" (1969). ^{[ 3 ]} ويذكر (ص  108) أنه "أُخبر بأن الفئات المتعددة قد دُرست أيضًا من قِبل [جان] بن عبو و [بيير] كارتييه "، بل ويرى لينستر أن "الفكرة ربما خطرت ببال أي شخص يعرف ما هي الفئة وما هي الخريطة متعددة الخطوط". ^{[ 1 ] : 63}

• فئة الموتر الزائف

• غارنر، ريتشارد (2008). "التصنيفات المتعددة عبر قوانين التوزيع الزائف" . التقدم في الرياضيات . 218 (3): 781-827 . arXiv : math/0606735 . doi : 10.1016/j.aim.2008.02.001 . S2CID 17057235 .