مجموعة ماثيو

في نظرية الزمر ، وهي فرع من _فروع الجبر المجرد ، _تُعرف زمر ماثيو بأنها الزمر البسيطة المتفرقة الخمس M₁₁ _، M₁₂ ، _M₂₂ ، M₂₃ ، و M₂₄ التي قدمها إميل ماثيو ( 1861 ، 1873 ) . وهي زمر تبديل متعددة التعدي على 11 أو 12 _أو 22 أو 23 أو 24 عنصرًا. وتُعد هذه الزمر أول الزمر البسيطة المتفرقة التي تم اكتشافها. 

أحيانًا يُستخدم الرمز M₈ _، M₉ ، _M₁₀ ، M₂₀ ، و M₂₁ للدلالة على الزمر المترابطة (التي تؤثر على مجموعات من 8 _{، 9، 10 ، 20 ، و21 نقطة على} التوالي )، أي مُثبِّتات النقاط في الزمر الأكبر. ورغم أنها ليست زمرًا بسيطة متفرقة، إلا أنها زمر جزئية من الزمر الأكبر، ويمكن استخدامها لبناء الزمر الأكبر. _وقد بيّن جون كونواي أنه يمكن أيضًا تمديد هذه المتتالية لأعلى، للحصول على زمرة ماثيو M₁₃ التي تؤثر على 13 نقطة. M₂₁ _زمرة بسيطة، ولكنها ليست زمرة بسيطة متفرقة، إذ إنها متماثلة مع الزمرة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(3,4).

قدّم ماثيو (1861 ، ص 271) المجموعة M12 كجزء من بحثه في مجموعات التبديل المتعدية المتعددة، وذكر بإيجاز (في الصفحة 274) المجموعة M24 _، موضحًا رتبتها. وفي كتابه (1873)، قدّم ماثيو _تفاصيل إضافية، بما في ذلك مجموعات التوليد الصريحة لمجموعاته، ولكن لم يكن من السهل استنتاج أن المجموعات المولدة ليست مجرد مجموعات متناوبة من خلال حججه ، ولعدة سنوات كان وجود مجموعاته موضع جدل. حتى أن ميلر (1898) نشر ورقة بحثية ادّعى فيها خطأً إثبات عدم وجود M24 _{، مع أنه أشار بعد ذلك بوقت قصير} ( ميلر 1900 ) إلى خطأ برهانه، وقدّم برهانًا على أن مجموعات ماثيو بسيطة. قام كارمايكل ( 1931 ) وفي وقت لاحق ويت ( 1938 أ ، 1938 ب ) بإزالة الشكوك حول وجود هذه المجموعات، من خلال بنائها كامتدادات متعدية متتالية لمجموعات التبديل، بالإضافة إلى مجموعات التشاكل الذاتي لأنظمة شتاينر .  

بعد مجموعات ماثيو، لم يتم العثور على أي مجموعات متفرقة جديدة حتى عام 1965، عندما تم اكتشاف المجموعة J _{1 .}

كان ماثيو مهتمًا بإيجاد مجموعات التبديل المتعدية المتعددة ، والتي سيتم تعريفها الآن. بالنسبة لعدد طبيعي k ، تكون مجموعة التبديل G التي تؤثر على n نقطة متعدية _{من الرتبة k إذا، بالنظر إلى مجموعتين من النقاط a₁, ..., aₖ و b₁, ..., bₖ بحيث تكون جميع aᵢ} متميزة وجميع bᵢ _متميزة ، _يوجد عنصر g في G يربط _aᵢ بـ bᵢ لكل i بين 1 و k . تُسمى هذه _{المجموعة متعدية} من الرتبة k بدقة إذا _كان العنصر g وحيدًا ( أي أن التأثير على k -tuples منتظم ، وليس مجرد متعدي).

المجموعة M ₂₄ متعدية من الدرجة 5، والمجموعة M ₁₂ متعدية من الدرجة 5 بشكل حاد، أما مجموعات ماثيو الأخرى (بسيطة كانت أم لا) فهي مجموعات فرعية تُقابل مُثبِّتات النقاط m ، وبالتالي ذات تعدية أقل ( المجموعة M ₂₃ متعدية من الدرجة 4، وهكذا). هاتان المجموعتان هما الوحيدتان المتعديتان من الدرجة 5 اللتان ليستا مجموعات متناظرة ولا مجموعات متبادلة ( كاميرون 1992 ، ص 139) .

المجموعات الوحيدة ذات خاصية التعدي من الدرجة 4 هي المجموعات المتناظرة S _k حيث k أكبر من أو يساوي 4، والمجموعات المتناوبة A _k حيث k أكبر من أو يساوي 6، ومجموعات ماثيو M ₂₄ و M ₂₃ و M ₁₂ و M _11. ( كاميرون 1999 ، ص 110) يتطلب البرهان الكامل تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية ، ولكن بعض الحالات الخاصة معروفة منذ فترة أطول بكثير.

من النتائج الكلاسيكية لجوردان أن المجموعات المتناظرة والمتبادلة (من الدرجة k و k + 2 على التوالي)، و M ₁₂ و M ₁₁ هي مجموعات التبديل المتعدية k الحادة الوحيدة لـ k على الأقل 4.   

من الأمثلة المهمة على الزمر المتعدية المتعددة الزمر المتعدية من الدرجة الثانية وزمر زاسنهاوس . وتشمل زمر زاسنهاوس على وجه الخصوص الزمرة الخطية العامة الإسقاطية لخط إسقاطي على حقل منتهٍ، PGL(2, F _q )، وهي زمرة متعدية من الدرجة الثالثة بشكل حاد (انظر النسبة التبادلية ) على${\displaystyle q+1}$عناصر.

يمكن بناء مجموعات ماثيو بطرق مختلفة.

• كاميرون، بيتر ج. (1992)، الفضاءات الإسقاطية والقطبية (ملف PDF) ، جامعة لندن، كلية كوين ماري وويستفيلد، رقم ISBN 978-0-902-48012-4، S2CID 115302359 
• كاميرون، بيتر ج. (1999)، مجموعات التبديل ، نصوص طلاب الجمعية الرياضية بلندن، المجلد  45، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-65378-7
• كارمايكل، روبرت (1931)، "التشكيلات التكتيكية للرتبة الثانية"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 53 (1): 217-240 ، doi : 10.2307/2370885 ، JSTOR 2370885 
• كارمايكل، روبرت د. (1956) [1937]، مقدمة في نظرية الزمر ذات الرتبة المنتهية ، نيويورك: منشورات دوفر ، ISBN 978-0-486-60300-1، MR 0075938 {{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• تشوي، سي. (مايو 1972أ)، "حول الزمر الجزئية من M _24. الجزء الأول: مثبتات المجموعات الجزئية"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 167 : 1-27 ، doi : 10.2307/1996123 ، JSTOR 1996123 
• تشوي، سي. (مايو 1972ب). "حول الزمر الجزئية من M _24. الجزء الثاني: الزمر الجزئية القصوى من M ₂₄ ". معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 167 : 29-47 . doi : 10.2307/1996124 . JSTOR 1996124 . 
• كونواي، جون هورتون (1971)، "ثلاث محاضرات حول الزمر الاستثنائية" ، في باول، إم بي؛ هيغمان، غراهام (محرران)، الزمر البسيطة المنتهية ، وقائع مؤتمر تعليمي نظمته جمعية لندن الرياضية (معهد دراسات متقدمة تابع لحلف الناتو)، أكسفورد، سبتمبر 1969، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس ، ص 215-247 ، ISBN  978-0-12-563850-0، MR 0338152 أعيد طبعه في كونواي وسلون (1999 ، 267-298)
• كونواي، جون هورتون ؛ باركر، ريتشارد أ .؛ نورتون، سيمون ب.؛ كورتيس، آر تي؛ ويلسون، روبرت أ. (1985)، أطلس المجموعات المنتهية ، مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 978-0-19-853199-9، MR 0827219 
• كونواي, جون هورتون ; سلون ، نيل جيه إيه (1999)، عبوات المجال والشبكات والمجموعات ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، المجلد.  290 (  الطبعة الثالثة)، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، دوى : 10.1007 / 978-1-4757-2016-7 ، ISBN 978-0-387-98585-5، MR 0920369 
• كورتيس، آر تي (1976)، "مقاربة توافقية جديدة لـ M ₂₄ "، وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج ، 79 (1): 25-42 ، رمز Bibcode : 1976MPCPS..79...25C ، doi : 10.1017/S0305004100052075 ، ISSN 0305-0041 ، MR 0399247  
• كورتيس، آر تي (1977)، "المجموعات الفرعية القصوى لـ M ₂₄ "، وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج ، 81 (2): 185-192 ، رمز Bibcode : 1977MPCPS..81..185C ، doi : 10.1017/S0305004100053251 ، ISSN 0305-0041 ، MR 0439926  
• كورتيس، آر تي (1984)، "نظام شتاينر S(5, 6, 12)، ومجموعة ماثيو M ₁₂ و"القطة الصغيرة"" ، في أتكينسون، مايكل د. (محرر)، نظرية الزمر الحاسوبية. وقائع ندوة جمعية لندن الرياضية التي عُقدت في دورهام، 30 يوليو - 9 أغسطس 1982. ، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس ، الصفحات 353-358 ، ISBN  978-0-12-066270-8، MR 0760669 
• كويبرز، هانز، مجموعات ماثيو وهندستها (ملف PDF)
• ديكسون، جون د.؛ مورتيمر، برايان (1996)، مجموعات التبديل ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  163، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-0731-3 ، ISBN 978-0-387-94599-6MR 1409812​ 
• فروبينيوس، فرديناند جورج (1904)، Über die Charaktere der mehrfach Transitiven Gruppen ، Berline Berichte، Mouton De Gruyter، pp. 558– 571، ISBN  978-3-11-109790-9{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• جيل، نيك؛ هيوز، سام (2019)، "جدول خصائص مجموعة فرعية متعدية من الدرجة 5 حادة من المجموعة المتناوبة من الدرجة 12"، المجلة الدولية لنظرية المجموعات ، doi : 10.22108/IJGT.2019.115366.1531 ، S2CID 119151614 
• جريس ، روبرت إل جونيور (1998)، اثنتا عشرة مجموعة متفرقة ، دراسات سبرينغر في الرياضيات، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، دوى : 10.1007 / 978-3-662-03516-0 ، ISBN 978-3-540-62778-4MR 1707296​ 
• هيوز، سام (2018)، نظرية التمثيل والخصائص لمجموعات ماثيو الصغيرة (PDF)
• Mathieu, Émile (1861)، “Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités، sur la manière de les Previous et sur les substitutions qui les laissent invariables” ، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées ، 6 : 241–323
• Mathieu, Émile (1873)، “Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités” ، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (بالفرنسية)، 18 : 25– 46، JFM 05.0088.01 
• ميلر، جي إيه ( 1898)، "حول الدالة المتعدية الخماسية المفترضة لـ 24 عنصرًا و 19!/48 قيمة." ، رسول الرياضيات ، 27 : 187-190
• ميلر، جورجيا (1900)، “Sur plusieurs groupes simples” ، Bulletin de la Société Mathématique de France ، 28 : 266–267 ، دوى : 10.24033/bsmf.635
• رونان، مارك (2006)، التناظر والوحش ، أكسفورد، ISBN 978-0-19-280722-9(مقدمة للقارئ العادي، تصف مجموعات ماثيو في سياق تاريخي)
• تومسون، توماس م. (1983)، من رموز تصحيح الأخطاء مرورًا بتعبئة الكرات وصولًا إلى المجموعات البسيطة ، سلسلة كاروس للدراسات الرياضية، المجلد  21، الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-88385-023-7، MR 0749038 
• ويت ، إرنست (1938 أ)، “über Steinersche Systeme”، Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität هامبورغ ، 12 : 265–275 ، دوى : 10.1007 / BF02948948 ، ISSN 0025-5858 ، S2CID 123106337  
• ويت، إرنست (1938 ب)، “Die 5-fach Transitiven Gruppen von Mathieu”، Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität هامبورغ ، 12 : 256–264 ، دوى : 10.1007 / BF02948947 ، S2CID 123658601 

• أطلس: مجموعة ماثيو M ₁₀
• أطلس: مجموعة ماثيو M ₁₁
• أطلس: مجموعة ماثيو M ₁₂
• أطلس: مجموعة ماثيو M ₂₀
• أطلس: مجموعة ماثيو M ₂₁
• أطلس: مجموعة ماثيو M ₂₂
• أطلس: مجموعة ماثيو M ₂₃
• أطلس: مجموعة ماثيو M ₂₄
• لو بروين، ليفين (2007)، السيد ماتيو ، أرشفة من النسخة الأصلية في 2010-05-01
• ريختر، ديفيد أ.، كيفية صنع مجموعة ماثيو M ₂₄ ، مؤرشف من الأصل في 16 يناير 2010 ، تم استرجاعه في 15 أبريل 2010
• مجموعة ماثيو M ₉ على أسماء المجموعات
• مجلة ساينتفك أمريكان: مجموعة من الألغاز مبنية على رياضيات مجموعات ماثيو
• تطبيق Sporadic M12 لأجهزة iPhone يُنفذ ألغازًا تعتمد على M12 ، ويتم تقديمها على شكل تبديل "دوران" واحد وتبديل "تبديل" قابل للتحديد _.