توزيع t متعدد المتغيرات

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 145 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يُعدّ توزيع t متعدد المتغيرات (أو توزيع Student متعدد المتغيرات ) توزيعًا احتماليًا متعدد المتغيرات . وهو تعميم لتوزيع Student t ، الذي يُستخدم مع المتغيرات العشوائية أحادية المتغير، ليشمل المتجهات العشوائية. وبينما يمكن معالجة حالة المصفوفة العشوائية ضمن هذا الإطار، فإن توزيع t للمصفوفات يختلف عنها ، ويستفيد بشكل خاص من بنية المصفوفة.

تعريف

إحدى الطرق الشائعة لإنشاء توزيع t متعدد المتغيرات ، في حالةص{\displaystyle p}الأبعاد، تستند إلى الملاحظة التي مفادها أنه إذاy{\displaystyle \mathbf {y} }وu{\displaystyle u}مستقلة وموزعة على النحو التالي:شمال(μ،Σ){\displaystyle N({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}وχν2{\displaystyle \chi _{\nu }^{2}}(أي التوزيعات الطبيعية متعددة المتغيرات وتوزيعات كاي تربيع ) على التوالي، المصفوفةΣ{\displaystyle \mathbf {\Sigma } \,}هي مصفوفة من الرتبة p × p ، و  μ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}إذا كان متجهًا ثابتًا، فإن المتغير العشوائيx=y/u/ν+μ{\textstyle {\mathbf {x} }={\mathbf {y} }/{\sqrt {u/\nu }}+{\boldsymbol {\mu }}}لها الكثافة [ 1 ]

Γ[(ν+ص)/2]Γ(ν/2)νص/2πص/2|Σ|1/2[1+1ν(x-μ)تيΣ-1(x-μ)]-(ν+ص)/2{\displaystyle {\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}\left({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }}\right)^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\left({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }}\right)\right]^{-(\nu +p)/2}}

ويُقال إنها موزعة كتوزيع t متعدد المتغيرات بمعاملاتΣ،μ،ν{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\mu }},\nu }. لاحظ أنΣ{\displaystyle \mathbf {\Sigma } }ليست مصفوفة التغاير لأن التغاير يُعطى بواسطةν/(ν-2)Σ{\displaystyle \nu /(\nu -2)\mathbf {\Sigma } }(لν>2{\displaystyle \nu >2}).

يُعد التعريف البنّاء لتوزيع t متعدد المتغيرات بمثابة خوارزمية لأخذ العينات في الوقت نفسه:

  1. يولدu∼χν2{\displaystyle u\sim \chi _{\nu }^{2}}وy∼شمال(0،Σ){\displaystyle \mathbf {y} \sim N(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})}، بشكل مستقل.
  2. الحوسبةx←yν/u+μ{\textstyle \mathbf {x} \gets \mathbf {y} {\sqrt {\nu /u}}+{\boldsymbol {\mu }}}.

تؤدي هذه الصياغة إلى التمثيل الهرمي لتوزيع t متعدد المتغيرات كمزيج مقياس من التوزيعات الطبيعية:u∼جيأ(ν/2،ν/2){\displaystyle u\sim \mathrm {Ga} (\nu /2,\nu /2)}أينجيأ(أ،ب){\displaystyle \mathrm {Ga} (a,b)}يشير إلى توزيع غاما بكثافة تتناسب معxأ-1هـ-بx{\displaystyle x^{a-1}e^{-bx}}، وx|u{\displaystyle \mathbf {x} \mid u}يتبع شرطيًاشمال(μ،u-1Σ){\displaystyle N({\boldsymbol {\mu }},u^{-1}{\boldsymbol {\Sigma }})}.

في الحالة الخاصةν=1{\displaystyle \nu =1}، التوزيع هو توزيع كوشي متعدد المتغيرات .

الاشتقاق

في الواقع، هناك العديد من المرشحين للتعميم متعدد المتغيرات لتوزيع t للطالب . وقد قدم كوتز وناداراجا (2004) دراسة شاملة لهذا المجال. وتتمثل المسألة الأساسية في تعريف دالة كثافة احتمالية لعدة متغيرات، وهي التعميم المناسب للصيغة المستخدمة في حالة المتغير الواحد. في بُعد واحد (ص=1{\displaystyle p=1})، معت=x-μ{\displaystyle t=x-\mu }وΣ=1{\displaystyle \Sigma =1}لدينا دالة كثافة الاحتمالو(ت)=Γ[(ν+1)/2]νπΓ[ν/2](1+ت2/ν)-(ν+1)/2{\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma [(\nu +1)/2]}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma [\nu /2]}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}} وإحدى الطرق هي استخدام دالة مقابلة لعدة متغيرات. هذه هي الفكرة الأساسية لنظرية التوزيع الإهليلجي ، حيث يتم كتابة دالة مقابلة لـص{\displaystyle p}المتغيراتتأنا{\displaystyle t_{i}}ذلك يحل محلت2{\displaystyle t^{2}}بواسطة دالة تربيعية لجميعتأنا{\displaystyle t_{i}}من الواضح أن هذا لا يكون منطقياً إلا عندما يكون لجميع التوزيعات الهامشية نفس درجات الحريةν{\displaystyle \nu }. معأ=Σ-1{\displaystyle \mathbf {A} ={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}، يكون لدى المرء خيار بسيط لدالة الكثافة متعددة المتغيرات

و(ت)=Γ((ν+ص)/2)|أ|1/2νصπصΓ(ν/2)(1+∑أنا،ج=1ص،صأأناجتأناتج/ν)-(ν+ص)/2{\displaystyle f(\mathbf {t} )={\frac {\Gamma ((\nu +p)/2)\left|\mathbf {A} \right|^{1/2}}{{\sqrt {\nu ^{p}\pi ^{p}\,}}\,\Gamma (\nu /2)}}\left(1+\sum _ {i,j=1}^{p,p}A_{ij}t_{i}t_{j}/\nu \right)^{-(\nu +p)/2}}

وهو المعيار، ولكنه ليس الخيار الوحيد.

يُعد التوزيع t ثنائي المتغيرات القياسي حالة خاصة مهمة، p = 2:

و(ت1،ت2)=|أ|1/22π(1+∑أنا،ج=12،2أأناجتأناتج/ν)-(ν+2)/2{\displaystyle f(t_{1},t_{2})={\frac {\left|\mathbf {A} \right|^{1/2}}{2\pi }}\left(1+\sum _{i,j=1}^{2,2}A_{ij}t_{i}t_{j}/\nu \right)^{-(\nu +2)/2}}

لاحظ أنΓ(ν+22)πνΓ(ν2)=12π{\displaystyle {\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}}{\pi \nu \,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}={\frac {1}{2\pi }}}.

الآن، إذاأ{\displaystyle \mathbf {A} }هي مصفوفة الوحدة، والكثافة هي

و(ت1،ت2)=12π(1+(ت12+ت22)/ν)-(ν+2)/2.{\displaystyle f(t_{1},t_{2})={\frac {1}{2\pi }}\left(1+(t_{1}^{2}+t_{2}^{2})/\nu \right)^{-(\nu +2)/2}.}

تتجلى صعوبة التمثيل القياسي في هذه الصيغة، التي لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب التوزيعات الهامشية أحادية البعد. عندماΣ{\displaystyle \Sigma }إذا كان قطريًا، فيمكن إثبات أن التمثيل القياسي له ارتباط صفري، لكن التوزيعات الهامشية ليست مستقلة إحصائيًا .

من أبرز مظاهر التوزيع الإهليلجي متعدد المتغيرات ظهوره الرياضي الرسمي عند تطبيق طرق المربعات الصغرى على البيانات الطبيعية متعددة المتغيرات، مثل حل ماركويتز الكلاسيكي ذي التباين الأدنى في الاقتصاد القياسي لمحفظات الأصول. [ 2 ]

دالة التوزيع التراكمي

يمكن توسيع تعريف دالة التوزيع التراكمي (cdf) في بُعد واحد ليشمل أبعادًا متعددة من خلال تعريف الاحتمال التالي (هنا)x{\displaystyle \mathbf {x} }(متجه حقيقي):

F(x)=P(X≤x)،أينX∼تν(μ،Σ).{\displaystyle F(\mathbf {x} )=\mathbb {P} (\mathbf {X} \leq \mathbf {x} ),\quad {\textrm {where}}\;\;\mathbf {X} \sim t_{\nu }({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}).} لا توجد صيغة بسيطة لـF(x){\displaystyle F(\mathbf {x} )}لكن يمكن تقريبها عدديًا عبر تكامل مونت كارلو . [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

التوزيع المشروط

طُوِّر هذا بواسطة مويرهيد [ 6 ] وكورنيش [ 7 ]، ولكن تم اشتقاقه لاحقًا باستخدام تمثيل نسبة مربع كاي الأبسط المذكور أعلاه، بواسطة روث [ 1 ] ودينغ [ 8 ] . ليكن المتجهX{\displaystyle X}تتبع توزيع t متعدد المتغيرات وتنقسم إلى متجهين فرعيين منص1،ص2{\displaystyle p_{1},p_{2}}عناصر: Xص=[X1X2]∼تص(μص،Σص×ص،ν){\displaystyle X_{p}={\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\end{bmatrix}}\sim t_{p}\left(\mu _{p},\Sigma _{p\times p},\nu \right)}

أينص1+ص2=ص{\displaystyle p_{1}+p_{2}=p}، متجهات المتوسط ​​المعروفة هيμص=[μ1μ2]{\displaystyle \mu _{p}={\begin{bmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\end{bmatrix}}}ومصفوفة المقياس هيΣص×ص=[Σ11Σ12Σ21Σ22]{\displaystyle \Sigma _{p\times p}={\begin{bmatrix}\Sigma _{11}&\Sigma _{12}\\\Sigma _{21}&\Sigma _{22}\end{bmatrix}}}.

توصل روث ودينغ إلى التوزيع الشرطيص(X1|X2){\displaystyle p(X_{1}|X_{2})}أن يكون توزيعًا جديدًا من نوع t مع معلمات معدلة.

X1|X2∼تص1(μ1|2،ν+د2ν+ص2Σ11|2،ν+ص2){\displaystyle X_{1}|X_{2}\sim t_{p_{1}}\left(\mu _{1|2},\,{\frac {\nu +d_{2}}{\nu +p_{2}}}\Sigma _{11|2},\,\nu +p_{2}\right)}

أما التعبير المكافئ في Kotz et. al. فهو أقل إيجازًا إلى حد ما.

وبالتالي، يمكن تمثيل التوزيع الشرطي بسهولة أكبر كإجراء من خطوتين. أولاً، قم بتكوين التوزيع الوسيط.X1|X2∼تص1(μ1|2،Ψ،ν~){\displaystyle X_{1}|X_{2}\sim t_{p_{1}}\left(\mu _{1|2},\Psi ,{\tilde {\nu }}\right)}وبناءً على ما سبق، وباستخدام المعاملات المذكورة أدناه، يصبح التوزيع الشرطي الصريح كما يلي

و(X1|X2)=Γ(ν~+ص12)Γ(ν~2)(πν~)ص1/2|Ψ|1/2[1+1ν~(X1-μ1|2)تيΨ-1(X1-μ1|2)]-(ν~+ص1)/2{\displaystyle f(X_{1}|X_{2})={\frac {\Gamma {\left({\frac {{\tilde {\nu }}+p_{1}}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {\tilde {\nu }}{2}}\right)}\left(\pi \,{\tilde {\nu }}\right)^{p_{1}/2}\left|{\boldsymbol {\Psi }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\tilde {\nu }}}\left(X_{1}-\mu _{1|2}\right)^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Psi }}^{-1}\left(X_{1}-\mu _{1|2}\right)\right]^{-({\tilde {\nu }}+p_{1})/2}} أين ν~=ν+ص2{\displaystyle {\tilde {\nu }}=\nu +p_{2}}درجات الحرية الفعالة،ν{\displaystyle \nu }ويزداد هذا العدد بمقدار عدد المتغيرات غير المستخدمةص2{\displaystyle p_{2}}. μ1|2=μ1+Σ12Σ22-1(X2-μ2){\displaystyle \mu _{1|2}=\mu _{1}+\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\left(X_{2}-\mu _{2}\right)}هو المتوسط ​​الشرطي لـx1{\displaystyle x_{1}}Σ11|2=Σ11-Σ12Σ22-1Σ21{\displaystyle \Sigma _{11|2}=\Sigma _{11}-\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\Sigma _{21}}مكمل شور لـΣ22 في Σ{\displaystyle \Sigma _{22}{\text{ in }}\Sigma }. د2=(X2-μ2)تيΣ22-1(X2-μ2){\displaystyle d_{2}=(X_{2}-\mu _{2})^{\mathsf {T}}\Sigma _{22}^{-1}(X_{2}-\mu _{2})}هي المسافة التربيعية لمهالانوبيس لـX2{\displaystyle X_{2}}منμ2{\displaystyle \mu _{2}}مع مصفوفة المقياسΣ22{\displaystyle \Sigma _{22}}Ψ=ν+د2ν~Σ11|2{\displaystyle \Psi ={\frac {\nu +d_{2}}{\tilde {\nu }}}\Sigma _{11|2}}هي مصفوفة المقياس الشرطي لـν~>0{\displaystyle {\tilde {\nu }}>0}وΣجov=ν~ν~-2Ψ=ν+د2ν~-2Σ11|2{\displaystyle \Sigma _{cov}={\frac {\tilde {\nu }}{{\tilde {\nu }}-2}}\Psi ={\frac {\nu +d_{2}}{{\tilde {\nu }}-2}}\Sigma _{11|2}}هي مصفوفة التغاير الشرطي لـν~>2{\displaystyle {\tilde {\nu }}>2}.

الاقترانات القائمة على اختبار t متعدد المتغيرات

يحظى استخدام هذه التوزيعات باهتمام متجدد بسبب تطبيقاتها في التمويل الرياضي ، وخاصة من خلال استخدام اقتران توزيع الطالب t . [ 9 ]

التمثيل الإهليلجي

تم بناؤها كتوزيع بيضاوي الشكل ، [ 10 ] خذ أبسط حالة مركزية ذات تناظر كروي وبدون قياس،Σ=أنا{\displaystyle \Sigma =\operatorname {I} \,}عندئذٍ، تأخذ دالة كثافة الاحتمال t متعددة المتغيرات الشكل التالي:

وX(X)=ز(XتيX)=Γ(ν+ص2)(νπ)ص/2Γ(ν2)(1+ν-1XتيX)-(ν+ص)/2{\displaystyle f_{X}(X)=g(X^{\mathsf {T}}X)={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +p}{2}}\right)}}{(\nu \pi )^{\,p/2}\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+\nu ^{-1}X^{\mathsf {T}}X\right)^{-(\nu +p)/2}}

أينX=(x1،⋯،xص)تي{\displaystyle X=(x_{1},\cdots ,x_{p})^{\mathsf {T}}}هوص{\displaystyle p}-متجه وν{\displaystyle \nu }هي درجات الحرية كما هو مُعرَّف في مويرهيد [ 6 ] القسم 1.5. تباينX{\displaystyle X}يكون

هـ⁡(XXتي)=∫-∞∞⋯∫-∞∞وX(x1،...،xص)XXتيدx1...دxص=νν-2أنا{\displaystyle \operatorname {E} \left(XX^{\mathsf {T}}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x_{1},\dots ,x_{p})XX^{\mathsf {T}}\,dx_{1}\dots dx_{p}={\frac {\nu }{\nu -2}}\operatorname {I} }

الهدف هو تحويل دالة كثافة الاحتمال الديكارتية إلى دالة كثافة احتمال شعاعية. وقد عرّف كبرياء وجواردر [ 11 ] المقياس الشعاعي.ر2=R2=XتيXص{\displaystyle r_{2}=R^{2}={\frac {X^{\mathsf {T}}X}{p}}}وبملاحظة أن الكثافة تعتمد فقط على r² ، نحصل على

هـ⁡[ر2]=∫-∞∞⋯∫-∞∞وX(x1،...،xص)XتيXصدx1...دxص=νν-2{\displaystyle \operatorname {E} [r_{2}]=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x_{1},\dots ,x_{p}){\frac {X^{\mathsf {T}}X}{p}}\,dx_{1}\dots dx_{p}={\frac {\nu }{\nu -2}}}

وهو ما يعادل تباينص{\displaystyle p}متجه ذو عناصرX{\displaystyle X}يتم التعامل معها كمتتالية عشوائية أحادية المتغير ذات ذيل ثقيل ومتوسط ​​صفري مع عناصر غير مترابطة، ولكنها تعتمد إحصائياً.

التوزيع الشعاعي

ر2=XتيXص{\displaystyle r_{2}={\frac {X^{\mathsf {T}}X}{p}}}يتبع تصميم فيشر-سنديكور أوF{\displaystyle F}توزيع:

ر2∼وF(ص،ν)=ب(ص2،ν2)-1(صν)ص/2ر2ص/2-1(1+صνر2)-(ص+ν)/2{\displaystyle r_{2}\sim f_{F}(p,\nu )=B{\bigg (}{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}^{-1}{\bigg (}{\frac {p}{\nu }}{\bigg )}^{p/2}r_{2}^{p/2-1}{\bigg (}1+{\frac {p}{\nu }}r_{2}{\bigg )}^{-(p+\nu )/2}}

له قيمة متوسطةهـ⁡[ر2]=νν-2{\displaystyle \operatorname {E} [r_{2}]={\frac {\nu }{\nu -2}}}. F{\displaystyle F}تنشأ التوزيعات بشكل طبيعي في اختبارات مجموع مربعات البيانات المأخوذة بعد التطبيع بواسطة الانحراف المعياري للعينة.

عن طريق تغيير المتغير العشوائي إلىy=صνر2=XتيXν{\displaystyle y={\frac {p}{\nu }}r_{2}={\frac {X^{\mathsf {T}}X}{\nu }}}في المعادلة أعلاه، مع الاحتفاظ بـص{\displaystyle p}-متجهX{\displaystyle X}لديناهـ⁡[y]=∫-∞∞⋯∫-∞∞وX(X)XتيXνدx1...دxص=صν-2{\displaystyle \operatorname {E} [y]=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(X){\frac {X^{\mathsf {T}}X}{\nu }}\,dx_{1}\dots dx_{p}={\frac {p}{\nu -2}}}وتوزيع الاحتمالات وY(y|ص،ν)=|صν|-1ب(ص2،ν2)-1(صν)ص/2(صν)-ص/2-1yص/2-1(1+y)-(ص+ν)/2=ب(ص2،ν2)-1yص/2-1(1+y)-(ν+ص)/2{\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y|\,p,\nu )&=\left|{\frac {p}{\nu }}\right|^{-1}B\left({\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)^{-1}\left({\frac {p}{\nu }}\right)^{p/2}\left({\frac {p}{\nu }}\right)^{-p/2-1}y^{\,p/2-1}{\bigl (}1+y{\bigr )}^{-(p+\nu )/2}\\[2ex]&=B\left({\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)^{-1}y^{\,p/2-1}{\bigl (}1+y{\bigr )}^{-(\nu +p)/2}\end{aligned}}}

وهو توزيع بيتا برايم منتظمy∼β′(y؛ص2،ν2){\displaystyle y\sim \beta \,'{\bigg (}y;{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}}له قيمة متوسطة12ص12ν-1=صν-2{\displaystyle {\frac {{\frac {1}{2}}p}{{\frac {1}{2}}\nu -1}}={\frac {p}{\nu -2}}}.

التوزيع الشعاعي التراكمي

بالنظر إلى توزيع بيتا-برايم، فإن دالة التوزيع التراكمي الشعاعي لـy{\displaystyle y}من المعروف: FY(y)∼أنا(y1+y؛ص2،ν2)ب(ص2،ν2)-1{\displaystyle F_{Y}(y)\sim I{\bigg (}{\frac {y}{1+y}};\,{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}\,B{\bigg (}{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}^{-1}}

أينأنا{\displaystyle I}هي دالة بيتا غير مكتملة وتُطبق مع كرويةΣ{\displaystyle \Sigma }افتراض.

في حالة الكمية العددية،ص=1{\displaystyle p=1}، يكون التوزيع مكافئًا لتوزيع Student- t مع التكافؤت2=y2σ-1{\displaystyle t^{2}=y^{2}\sigma ^{-1}}، المتغير t له ذيول مزدوجة الجانب لأغراض دالة التوزيع التراكمي، أي "اختبار t ذو الذيلين".

يمكن أيضًا اشتقاق التوزيع القطري من خلال تحويل إحداثيات مباشر من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات الكروية. سطح ذو نصف قطر ثابت عندR=(XتيX)1/2{\textstyle R=\left(X^{\mathsf {T}}X\right)^{1/2}}مع ملف PDFصX(X)∝(1+ν-1R2)-(ν+ص)/2{\textstyle p_{X}(X)\propto \left(1+\nu ^{-1}R^{2}\right)^{-(\nu +p)/2}}هو سطح متساوي الكثافة. وبالنظر إلى قيمة الكثافة هذه، فإن كمية الاحتمال على غلاف من مساحة السطحأR{\displaystyle A_{R}}والسماكةدلتاR{\displaystyle \delta R}فيR{\displaystyle R}يكوندلتاP=صX(R)أRدلتاR{\displaystyle \delta P=p_{X}(R)\,A_{R}\delta R}.

المرفقص{\displaystyle p}كرة نصف قطرهاR{\displaystyle R}لها مساحة سطحيةأR=2πص/2Rص-1Γ(ص/2){\displaystyle A_{R}={\frac {2\pi ^{p/2}R^{\,p-1}}{\Gamma (p/2)}}}. الاستبدال فيدلتاP{\displaystyle \delta P}يُظهر ذلك أن للقشرة عنصر احتمالدلتاP=صX(R)2πص/2Rص-1Γ(ص/2)دلتاR{\displaystyle \delta P=p_{X}(R){\frac {2\pi ^{p/2}R^{p-1}}{\Gamma (p/2)}}\delta R}وهو ما يعادل دالة الكثافة الشعاعية وR(R)=Γ(12(ν+ص))νص/2πص/2Γ(12ν)2πص/2Rص-1Γ(ص/2)(1+R2ν)-(ν+ص)/2{\displaystyle f_{R}(R)={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}(\nu +p)\,{\big )}}{\nu ^{\,p/2}\pi ^{\,p/2}\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}}{\frac {2\pi ^{p/2}R^{p-1}}{\Gamma (p/2)}}{\bigg (}1+{\frac {R^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{-(\nu +p)/2}} مما يبسط الأمر أكثر إلىوR(R)=2ν1/2ب(12ص،12ν)(R2ν)(ص-1)/2(1+R2ν)-(ν+ص)/2{\displaystyle f_{R}(R)={\frac {2}{\nu ^{1/2}B{\big (}{\frac {1}{2}}p,{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}}{\bigg (}{\frac {R^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{(p-1)/2}{\bigg (}1+{\frac {R^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{-(\nu +p)/2}}أينب(*،*){\displaystyle B(*,*)}هي دالة بيتا .

تغيير المتغير الشعاعي إلىy=R2/ν{\displaystyle y=R^{2}/\nu }يعيد توزيع بيتا برايم السابق وY(y)=1ب(12ص،12ν)yص/2-1(1+y)-(ν+ص)/2{\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{B{\left({\frac {1}{2}}p,{\frac {1}{2}}\nu \right)}}}y^{\,p/2-1}\left(1+y\right)^{-(\nu +p)/2}}

لضبط مقياس المتغيرات الشعاعية دون تغيير دالة الشكل الشعاعي، قم بتعريف مصفوفة المقياسΣ=αأنا{\displaystyle \Sigma =\alpha \operatorname {I} }مما ينتج عنه دالة كثافة ديكارتية ذات 3 معلمات، أي الاحتماليةΔP{\displaystyle \Delta _{P}}عنصر الحجمدx1...دxص{\displaystyle dx_{1}\dots dx_{p}}يكون

ΔP(وX(X|α،ص،ν))=Γ(12(ν+ص))(νπ)ص/2αص/2Γ(12ν)(1+XتيXαν)-(ν+ص)/2دx1...دxص{\displaystyle \Delta _{P}{\big (}f_{X}(X\,|\alpha ,p,\nu ){\big )}={\frac {\Gamma {\left({\frac {1}{2}}(\nu +p)\,\right)}}{(\nu \pi )^{\,p/2}\alpha ^{\,p/2}\Gamma {\left({\frac {1}{2}}\nu \right)}}}\left(1+{\frac {X^{\mathsf {T}}X}{\alpha \nu }}\right)^{-(\nu +p)/2}\;dx_{1}\dots dx_{p}}

أو، من حيث المتغير الشعاعي القياسيR{\displaystyle R}،

وR(R|α،ص،ν)=2α1/2ν1/2ب(12ص،12ν)(R2αν)(ص-1)/2(1+R2αν)-(ν+ص)/2{\displaystyle f_{R}(R\,|\alpha ,p,\nu )={\frac {2}{\alpha ^{1/2}\;\nu ^{1/2}B{\big (}{\frac {1}{2}}p,{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}}{\bigg (}{\frac {R^{2}}{\alpha \,\nu }}{\bigg )}^{(p-1)/2}{\bigg (}1+{\frac {R^{2}}{\alpha \,\nu }}{\bigg )}^{-(\nu +p)/2}}

العزوم الشعاعية

يمكن اشتقاق عزوم جميع المتغيرات القطرية، بافتراض التوزيع الكروي، من توزيع بيتا برايم. إذاZ∼β′(أ،ب){\displaystyle Z\sim \beta '(a,b)}ثمهـ⁡(Zم)=ب(أ+م،ب-م)ب(أ،ب){\displaystyle \operatorname {E} (Z^{m})={\frac {B(a+m,b-m)}{B(a,b)}}}، وهي نتيجة معروفة. وبالتالي، بالنسبة للمتغيرy=صνR2{\displaystyle y={\frac {p}{\nu }}R^{2}}لدينا هـ⁡(yم)=ب(12ص+م،12ν-م)ب(12ص،12ν)=Γ(12ص+م)Γ(12ν-م)Γ(12ص)Γ(12ν)،ν/2>م{\displaystyle \operatorname {E} (y^{m})={\frac {B({\frac {1}{2}}p+m,{\frac {1}{2}}\nu -m)}{B({\frac {1}{2}}p,{\frac {1}{2}}\nu )}}={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}p+m{\big )}\;\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}\nu -m{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}p{\big )}\;\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}},\;\nu /2>m} لحظاتر2=νy{\displaystyle r_{2}=\nu \,y}نكون هـ⁡(ر2م)=νمهـ⁡(yم){\displaystyle \operatorname {E} (r_{2}^{m})=\nu ^{m}\operatorname {E} (y^{m})} أثناء تقديم مصفوفة المقياسαأنا{\displaystyle \alpha \operatorname {I} }العائد هـ⁡(ر2م|α)=αمνمهـ⁡(yم){\displaystyle \operatorname {E} (r_{2}^{m}|\alpha )=\alpha ^{m}\nu ^{m}\operatorname {E} (y^{m})} اللحظات المتعلقة بالمتغير الشعاعيR{\displaystyle R}يتم العثور عليها عن طريق التعيينR=(ανy)1/2{\displaystyle R=(\alpha \nu y)^{1/2}}وم=2م{\displaystyle M=2m}وعليه هـ⁡(Rم)=هـ((ανy)1/2)2م=(αν)م/2هـ⁡(yم/2)=(αν)م/2ب(12(ص+م)،12(ν-م))ب(ص2،ν2){\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (R^{M})&=\operatorname {E} \!\left((\alpha \nu y)^{1/2}\right)^{2m}=(\alpha \nu )^{M/2}\operatorname {E} (y^{M/2})\\[1ex]&=(\alpha \nu )^{M/2}{\frac {B{\big (}{\frac {1}{2}}(p+M),{\frac {1}{2}}(\nu -M){\big )}}{B{\left({\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}}\end{aligned}}}

التركيبات الخطية والتحويلات الأفينية

التحول الكامل للرتبة

يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا بطريقة التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات، وقد وُصف في أعمال كوتز وناداراجا، وكيبريا وجواردر، وروث، وكورنيش. انطلاقًا من نسخة مبسطة نوعًا ما من دالة كثافة الاحتمال المركزية للتوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات:وX(X)=ك|Σ|1/2(1+ν-1XتيΣ-1X)-(ν+ص)/2{\displaystyle f_{X}(X)={\frac {\mathrm {K} }{\left|\Sigma \right|^{1/2}}}\left(1+\nu ^{-1}X^{\mathsf {T}}\Sigma ^{-1}X\right)^{-\left(\nu +p\right)/2}}، أينك{\displaystyle \mathrm {K} }ثابت وν{\displaystyle \nu }هي قيمة اعتباطية ولكنها ثابتة، فلندعΘ∈Rص×ص{\displaystyle \Theta \in \mathbb {R} ^{p\times p}}لتكن مصفوفة كاملة الرتبة ومتجهًا شكليًاY=ΘX{\displaystyle Y=\Theta X}ثم، من خلال تغيير بسيط للمتغيرات

وY(Y)=ك|Σ|1/2(1+ν-1YتيΘ-تيΣ-1Θ-1Y)-(ν+ص)/2|∂Y∂X|-1{\displaystyle f_{Y}(Y)={\frac {\mathrm {K} }{\left|\Sigma \right|^{1/2}}}\left(1+\nu ^{-1}Y^{\mathsf {T}}\Theta ^{-{\mathsf {T}}}\Sigma ^{-1}\Theta ^{-1}Y\right)^{-\left(\nu +p\right)/2}\left|{\frac {\partial Y}{\partial X}}\right|^{-1}}

مصفوفة المشتقات الجزئية هي∂Yأنا∂Xج=Θأنا،ج{\displaystyle {\frac {\partial Y_{i}}{\partial X_{j}}}=\Theta _{i,j}}ويصبح المصفوفة اليعقوبية|∂Y∂X|=|Θ|{\displaystyle \left|{\frac {\partial Y}{\partial X}}\right|=\left|\Theta \right|}. هكذا وY(Y)=ك|Σ|1/2|Θ|(1+ν-1YتيΘ-تيΣ-1Θ-1Y)-(ν+ص)/2{\displaystyle f_{Y}(Y)={\frac {\mathrm {K} }{\left|\Sigma \right|^{1/2}\left|\Theta \right|}}\left(1+\nu ^{-1}Y^{\mathsf {T}}\Theta ^{-{\mathsf {T}}}\Sigma ^{-1}\Theta ^{-1}Y\right)^{-\left(\nu +p\right)/2}}

يختزل المقام إلى |Σ|1/2|Θ|=|Σ|1/2|Θ|1/2|Θتي|1/2=|ΘΣΘتي|1/2{\displaystyle \left|\Sigma \right|^{1/2}\left|\Theta \right|=\left|\Sigma \right|^{1/2}\left|\Theta \right|^{1/2}\left|\Theta ^{\mathsf {T}}\right|^{1/2}=\left|\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}}\right|^{1/2}} بالكامل: وY(Y)=Γ[(ν+ص)/2]Γ(ν/2)(νπ)ص/2|ΘΣΘتي|1/2(1+ν-1Yتي(ΘΣΘتي)-1Y)-(ν+ص)/2{\displaystyle f_{Y}(Y)={\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\,(\nu \,\pi )^{\,p/2}\left|\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}}\right|^{1/2}}}\left(1+\nu ^{-1}Y^{\mathsf {T}}\left(\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}}\right)^{-1}Y\right)^{-\left(\nu +p\right)/2}}

وهو توزيع MV- t منتظم .

بشكل عام إذاX∼تص(μ،Σ،ν){\displaystyle X\sim t_{p}(\mu ,\Sigma ,\nu )}وΘص×ص{\displaystyle \Theta ^{p\times p}}يتمتع برتبة كاملةص{\displaystyle p}ثم ΘX+ج∼تص(Θμ+ج،ΘΣΘتي،ν){\displaystyle \Theta X+c\sim t_{p}(\Theta \mu +c,\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}},\nu )}

التوزيعات الهامشية

هذه حالة خاصة من التحويل الخطي المُخفِّض للرتبة الموضح أدناه. يُعرّف كوتز التوزيعات الهامشية على النحو التالي. التقسيمX∼ت(ص،μ،Σ،ν){\displaystyle X\sim t(p,\mu ,\Sigma ,\nu )}إلى متجهين فرعيين منص1،ص2{\displaystyle p_{1},p_{2}}عناصر: Xص=[X1X2]∼ت(ص1+ص2،μص،Σص×ص،ν){\displaystyle X_{p}={\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\end{bmatrix}}\sim t\left(p_{1}+p_{2},\mu _{p},\Sigma _{p\times p},\nu \right)}

معص1+ص2=ص{\displaystyle p_{1}+p_{2}=p}، وسائلμص=[μ1μ2]{\displaystyle \mu _{p}={\begin{bmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\end{bmatrix}}}مصفوفة المقياسΣص×ص=[Σ11Σ12Σ21Σ22]{\displaystyle \Sigma _{p\times p}={\begin{bmatrix}\Sigma _{11}&\Sigma _{12}\\\Sigma _{21}&\Sigma _{22}\end{bmatrix}}}

ثمX1∼ت(ص1،μ1،Σ11،ν){\displaystyle X_{1}\sim t\left(p_{1},\mu _{1},\Sigma _{11},\nu \right)}،X2∼ت(ص2،μ2،Σ22،ν){\displaystyle X_{2}\sim t\left(p_{2},\mu _{2},\Sigma _{22},\nu \right)}بحيث و(X1)=Γ[(ν+ص1)/2]Γ(ν/2)(νπ)ص1/2|Σ11|1/2[1+1ν(X1-μ1)تيΣ11-1(X1-μ1)]-(ν+ص1)/2{\displaystyle f(X_{1})={\frac {\Gamma \left[(\nu +p_{1})/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\,(\nu \,\pi )^{\,p_{1}/2}\left|{{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {X} _{1}}-{{\boldsymbol {\mu }}_{1}})^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}^{-1}({\mathbf {X} _{1}}-{{\boldsymbol {\mu }}_{1}})\right]^{-(\nu \,+\,p_{1})/2}}

و(X2)=Γ[(ν+ص2)/2]Γ(ν/2)(νπ)ص2/2|Σ22|1/2[1+1ν(X2-μ2)تيΣ22-1(X2-μ2)]-(ν+ص2)/2{\displaystyle f(X_{2})={\frac {\Gamma \left[(\nu +p_{2})/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\,(\nu \,\pi )^{\,p_{2}/2}\left|{{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {X} _{2}}-{{\boldsymbol {\mu }}_{2}})^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}^{-1}({\mathbf {X} _{2}}-{{\boldsymbol {\mu }}_{2}})\right]^{-(\nu \,+\,p_{2})/2}}

إذا تم إنشاء تحويل على النحو التالي Θص1×ص=[1⋯0⋯00⋱0⋯00⋯1⋯0]{\displaystyle \Theta _{p_{1}\times \,p}={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0\\0&\ddots &0&\cdots &0\\0&\cdots &1&\cdots &0\end{bmatrix}}}

ثم المتجهY=ΘX{\displaystyle Y=\Theta X}، كما هو موضح أدناه، له نفس التوزيع مثل التوزيع الهامشي لـX1{\displaystyle X_{1}}.

التحويل الخطي لتقليل الرتبة

في حالة التحويل الخطي، إذاΘ{\displaystyle \Theta }هي مصفوفة مستطيلةΘ∈Rم×ص،م<ص{\displaystyle \Theta \in \mathbb {R} ^{m\times p},m<p}، من رتبةم{\displaystyle m}والنتيجة هي تقليل الأبعاد. هنا، جاكوبيان|Θ|{\displaystyle \left|\Theta \right|}يبدو مستطيلاً ظاهرياً، لكن قيمته|ΘΣΘتي|1/2{\displaystyle \left|\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}}\right|^{1/2}}مع ذلك، فإن دالة كثافة الاحتمال في المقام صحيحة. يوجد نقاش حول محددات ضرب المصفوفات المستطيلة في كتاب أيتكن. [ 12 ] بشكل عام، إذاX∼ت(ص،μ،Σ،ν){\displaystyle X\sim t(p,\mu ,\Sigma ,\nu )}وΘم×ص{\displaystyle \Theta ^{m\times p}}يتمتع برتبة كاملةم{\displaystyle m}ثم

Y=ΘX+ج∼ت(م،Θμ+ج،ΘΣΘتي،ν){\displaystyle Y=\Theta X+c\sim t(m,\Theta \mu +c,\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}},\nu )}وY(Y)=Γ[(ν+م)/2]Γ(ν/2)(νπ)م/2|ΘΣΘتي|1/2[1+1ν(Y-ج1)تي(ΘΣΘتي)-1(Y-ج1)]-(ν+م)/2،ج1=Θμ+ج{\displaystyle f_{Y}(Y)={\frac {\Gamma \left[(\nu +m)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\,(\nu \,\pi )^{\,m/2}\left|\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}(Y-c_{1})^{\mathsf {T}}(\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}})^{-1}(Y-c_{1})\right]^{-(\nu \,+\,m)/2},\;c_{1}=\Theta \mu +c}

في الحالات القصوى ، إذا كانت m = 1 وΘ{\displaystyle \Theta }إذا أصبح متجه صف، فإن المتغير القياسي Y يتبع توزيع Student-t أحادي المتغير ذو الجانبين المحدد بواسطةت2=Y2/σ2{\displaystyle t^{2}=Y^{2}/\sigma ^{2}}بنفسν{\displaystyle \nu }درجات الحرية. يستخدم كبرياء وآخرون التحويل الخطي لإيجاد التوزيعات الهامشية التي هي أيضًا MV- t .

  • أثناء التحويلات الأفينية للمتغيرات ذات التوزيعات الإهليلجية، يجب أن تشتق جميع المتجهات في النهاية من متجه كروي متجانس أولي واحدZ{\displaystyle Z}التي تظل عناصرها "متشابكة" وليست مستقلة إحصائياً.
  • إن متجه عينات الطالب المستقلة لا يتوافق مع توزيع t متعدد المتغيرات .
  • إضافة متجهين من متجهات t متعددة المتغيرات تم توليدهما باستخدام عينات مربع كاي مستقلة ومختلفةν{\displaystyle \nu }قيم:1/u1/ν1،1/u2/ν2{\textstyle {1}/{\sqrt {u_{1}/\nu _{1}}},\;\;{1}/{\sqrt {u_{2}/\nu _{2}}}}لن ينتج عنها توزيعات متسقة داخليًا، على الرغم من أنها ستؤدي إلى مشكلة بيرنز-فيشر . [ 13 ]
  • يقارن طالب بين العديد من الأمثلة لتوزيعات متعددة المتغيرات ذات ذيل سميك بيضاوية الشكل مقابل توزيعات متعددة المتغيرات غير بيضاوية الشكل.
  • في الإحصاءات أحادية المتغير، يستخدم اختبار t للطالب توزيع t للطالب
  • ينشأ توزيع t متعدد المتغيرات الإهليلجي تلقائيًا في حلول المربعات الصغرى المقيدة خطيًا والتي تتضمن بيانات مصدرية طبيعية متعددة المتغيرات، على سبيل المثال حل ماركويتز للحد الأدنى العالمي للتباين في تحليل المحافظ المالية. [ 14 ] [ 15 ] [ 2 ] والذي يتناول مجموعة من المتجهات العشوائية الطبيعية أو مصفوفة عشوائية. ولا ينشأ هذا التوزيع في المربعات الصغرى العادية (OLS) أو الانحدار المتعدد مع متغيرات تابعة ومستقلة ثابتة، حيث تميل هذه المسألة إلى إنتاج احتمالات خطأ طبيعية منتظمة.
  • يُعد توزيع هوتلينغ T -squared توزيعًا ينشأ في الإحصاءات متعددة المتغيرات.
  • توزيع المصفوفة t هو توزيع للمتغيرات العشوائية المرتبة في بنية مصفوفة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 روث، مايكل (17 أبريل 2013). "حول توزيع t متعدد المتغيرات" (ملف PDF) . مجموعة التحكم الآلي. جامعة لينشوبين، السويد . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 31 يوليو 2022. تم الاطلاع عليه في 1 يونيو 2022 .
  2. 1 2 بودنار، ت؛ أوخرين، ي (2008). "خصائص توزيع ويشارت المجزأ المفرد والمعكوس والمعكوس المعمم" (ملف PDF) . مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 99 (المعادلة 20): 2389-2405 . doi : 10.1016/j.jmva.2008.02.024 .
  3. ^ بوتيف، ز. تشن، Y.-L. (2022). "الفصل الرابع: حسابات الطلاب متعددة المتغيرات المقتطعة عبر الإمالة الأسية." . وفي بوتيف، زدرافكو؛ كيلر، الكسندر. ليميو، كريستيان؛ توفين، برونو (محرران). التقدم في النمذجة والمحاكاة: Festschrift لـ Pierre L'Ecuyer . سبرينغر. ص 65 – 87. دوى : 10.1007 / 978-3-031-10193-9_4 . رقم ISBN  978-3-031-10192-2.
  4. ↑ بوتيف، زي؛ ليكويير، ب. (6 ديسمبر 2015). "التقدير الفعال للاحتمالية ومحاكاة توزيع t متعدد المتغيرات المقتطع". مؤتمر المحاكاة الشتوية 2015 (WSC) . هنتنغتون بيتش، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية: IEEE. ص 380-391 . doi : 10.1109/WSC.2015.7408180 . hdl : 1959.4/unsworks_38275 . 
  5. ↑ جينز، آلان (2009). حساب احتمالات التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات واحتمالات t . سلسلة محاضرات في الإحصاء. المجلد 195. سبرينغر. doi : 10.1007/978-3-642-01689-9 . ISBN  978-3-642-01689-9أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 أغسطس 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 سبتمبر 2017 .
  6. 1 2 مويرهيد، روب (1982). جوانب من نظرية الإحصاء متعدد المتغيرات . الولايات المتحدة الأمريكية: وايلي. الصفحات 32-36. النظرية 1.5.4. ISBN  978-0-47 1-76985-9.
  7. ↑ كورنيش، إي. أ. (1954). "توزيع t متعدد المتغيرات المرتبط بمجموعة من الانحرافات الطبيعية للعينة" . المجلة الأسترالية للفيزياء . 7 : 531-542 . doi : 10.1071/PH550193 .
  8. ↑ دينغ، بينغ (2016). "حول التوزيع الشرطي لتوزيع t متعدد المتغيرات" . الإحصائي الأمريكي . 70 (3): 293-295 . arXiv : 1604.00561 . doi : 10.1080/00031305.2016.1164756 . S2CID 55842994 . 
  9. ↑ ديمارتا، ستيفانو؛ ماكنيل، ألكسندر (2004). "الرابطة t والروابط ذات الصلة" (ملف PDF) . ريسكنت .
  10. ↑ أوسيفالسكي، جاك؛ ستيل، مارك (1996). "العزوم اللاحقة لمعاملات المقياس في نماذج أخذ العينات الإهليلجية". التحليل البايزي في الإحصاء والاقتصاد القياسي . وايلي. ص 323-335 . ISBN  0-471-11856-7.
  11. ↑ كبرياء، ك.م.ج.؛ جواردر، أ.هـ. (يناير 2006). "مراجعة موجزة لتوزيع t متعدد المتغيرات" (ملف PDF) . مجلة البحوث الإحصائية . 40 (1): 59-72 . doi : 10.1007/s42979-021-00503-0 . S2CID 232163198 . 
  12. ↑ أيتكن، أ.س. - (1948). المحددات والمصفوفات ( الطبعة الخامسة). إدنبرة: أوليفر وبويد. ص. الفصل الرابع، القسم 36.  
  13. ↑ جيرون، خافيير؛ ديل كاستيلو، كارمن (2010). "توزيع بيرنز-فيشر متعدد المتغيرات" . مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 101 (9): 2091-2102 . doi : 10.1016/j.jmva.2010.04.008 .
  14. ↑ أوخرين، ي؛ شميد، و (2006). "الخصائص التوزيعية لأوزان المحفظة" . مجلة الاقتصاد القياسي . 134 : 235-256 . doi : 10.1016/j.jeconom.2005.06.022 .
  15. ↑ بودنار، ت؛ دميتريف، س؛ باروليا، ن؛ شميد، و (2019). "اختبارات لأوزان محفظة الحد الأدنى العالمي للتباين في بيئة عالية الأبعاد". معاملات IEEE في معالجة الإشارات . 67 (17): 4479-4493 . arXiv : 1710.09587 . Bibcode : 2019ITSP...67.4479B . doi : 10.1109/TSP.2019.2929964 .

الأدب

  • كوتز، صموئيل؛ ناداراجا، ساراليس (2004). توزيعات t متعددة المتغيرات وتطبيقاتها . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521826549.
  • تشيروبيني، أمبرتو؛ لوتشيانو، إليسا؛ فيكياتو، والتر (2004). أساليب كوبولا في التمويل . جون وايلي وأولاده. رقم ISBN 978-0470863442.
  • طالب، نسيم نيكولاس (2023). العواقب الإحصائية للذيول السميكة (  الطبعة الأولى). دار النشر الأكاديمية. ISBN 979-8218248031.