مكمل شور

مكمل شور هو أداة رئيسية في مجالات الجبر الخطي ، ونظرية المصفوفات ، والتحليل العددي ، والإحصاء .

يُعرَّف هذا المفهوم لمصفوفة كتلية . لنفترض أن p و q عددان صحيحان غير سالبين بحيث يكون p + q > 0 ، ولنفترض أن A و B و C و D هي على التوالي مصفوفات من الأعداد المركبة بأبعاد p × p و p × q و q × p و q × q . $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$$ بحيث تكون M عبارة عن مصفوفة ( p + q ) × ( p + q ).

إذا كانت D قابلة للعكس، فإن مكمل شور للكتلة D من المصفوفة M هو المصفوفة p × p المعرفة بـ $${\displaystyle M/D:=A-BD^{-1}C.}$$ إذا كانت المصفوفة A قابلة للعكس، فإن مكمل شور للكتلة A من المصفوفة M هو المصفوفة q × q المعرفة بـ $${\displaystyle M/A:=D-CA^{-1}B.}$$ في حالة كون A أو D مفردة ، فإن استبدال المعكوس المعمم للمعاكوس على M/A و M/D ينتج عنه مكمل شور المعمم .

سُمّي مُكمِّل شور نسبةً إلى إساي شور ^{[ 1 ]} الذي استخدمه لإثبات مُبرهنة شور ، على الرغم من استخدامه سابقًا. ^{[ 2 ]} وكانت إميلي فيرجينيا هاينسورث أول من أطلق عليه اسم مُكمِّل شور . ^{[ 3 ]} ويُشار إلى مُكمِّل شور أحيانًا باسم خريطة فيشباخ نسبةً إلى الفيزيائي هيرمان فيشباخ . ^{[ 4 ]}

ينشأ مكمل شور عند إجراء عملية حذف غاوسي جزئي على المصفوفة M. ولحذف العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي، يتم ضرب المصفوفة M بمصفوفة مثلثية سفلية جزئية على اليمين كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}&M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\quad \to \quad {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$ حيث I _p تُمثل مصفوفة الوحدة من الرتبة p × p . ونتيجة لذلك، فإن مكمل شور${\displaystyle M/D=A-BD^{-1}C}$يظهر في الجزء العلوي الأيسر من المربع p × p .

مواصلة عملية الاستبعاد بعد هذه النقطة (أي إجراء عملية استبعاد جاوس-جوردان الكتلية )، $$\displaystyle \begin{aligned}&{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}}\quad \to \quad {\begin{bmatrix}I_{p}&-BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$ يؤدي ذلك إلى تحليل LDU لـ M ، والذي يُقرأ كالتالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}M&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$وبالتالي، يمكن التعبير عن معكوس M باستخدام D ^{− 1} ومعكوس مكمل شور، بافتراض وجوده، على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}M^{-1}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={}&\left({\begin{bmatrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&0\ \D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}\right)^{-1}\\={}&{\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&-BD^{-1} \\0&I_{q}\end{bmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^ {-1}\end{bmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{bmatrix}\left(M/D\right)^{-1}&-\left(M/D\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(M/D\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$ تنشأ العلاقة المذكورة أعلاه من عمليات الحذف التي تتضمن D ^{− 1} و M/D . ويمكن اشتقاق مكافئ مع تبديل أدوار A و D. وبمساواة تعبيرات M ^{− 1} التي تم الحصول عليها بهاتين الطريقتين المختلفتين، يمكن إثبات مبرهنة معكوس المصفوفة ، التي تربط بين مكملي شور للمصفوفة M : M/D و M/A (انظر "الاشتقاق من تحليل LDU" في متطابقة مصفوفة وودبري §  البراهين البديلة ).

• إذا كان كل من p و q يساوي 1 (أي أن A و B و C و D كلها أعداد قياسية)، فإننا نحصل على الصيغة المألوفة لمعكوس مصفوفة 2×2:

${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}$

بشرط أن يكون الفرق بين AD و BC غير صفري.  

• بشكل عام، إذا كانت المصفوفة A قابلة للعكس، فإن

${\displaystyle {\begin{aligned}M&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&0\\CA^{-1}&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&0\\0&D-CA^{-1}B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_ {p}&A^{-1}B\\0&I_{q}\end{bmatrix}},\\[4pt]M^{-1}&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(M/A)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(M/A)^{-1}\\-(M/A)^{-1}CA^{-1}&(M/A)^{-1}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

كلما وُجد هذا العكس.

• (صيغة شور) عندما تكون المصفوفة A ، أو D ، قابلة للعكس، يتضح أيضًا أن محدد المصفوفة M يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \det(M)=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right)}$، على التوالى

${\displaystyle \det(M)=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right)}$،

والتي تعمم صيغة المحدد للمصفوفات 2 × 2.

• ( صيغة غوتمان لجمع الرتب) إذا كانت D قابلة للعكس، فإن رتبة M تُعطى بواسطة

${\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (D)+\operatorname {rank} \left(A-BD^{-1}C\right)}$

• ( صيغة هاينسورث للجمع بالقصور الذاتي ) إذا كانت A قابلة للعكس، فإن قصور مصفوفة الكتلة M يساوي قصور A زائد قصور M / A.
• (هوية القسمة)${\displaystyle A/B=((A/C)/(B/C))}$[ ^{5 ]​}
• مكمل شور لمصفوفة لابلاس هو أيضًا مصفوفة لابلاس. ^{[ 6 ]}

ينشأ مكمل شور بشكل طبيعي عند حل نظام من المعادلات الخطية مثل ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}}$.

بافتراض أن المصفوفة الفرعية${\displaystyle A}$إذا كانت قابلة للعكس، فيمكننا حذفها${\displaystyle x}$من المعادلات، كما يلي.

${\displaystyle x=A^{-1}(u-By).}$

بإدخال هذا التعبير في المعادلة الثانية نحصل على

${\displaystyle \left(D-CA^{-1}B\right)y=v-CA^{-1}u.}$

نشير إلى هذا باسم المعادلة المختزلة التي تم الحصول عليها عن طريق حذف${\displaystyle x}$من المعادلة الأصلية. تُسمى المصفوفة التي تظهر في المعادلة المختزلة مكمل شور للكتلة الأولى${\displaystyle A}$في${\displaystyle M}$:

${\displaystyle S\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ D-CA^{-1}B}$.

وبحل المعادلة المختزلة، نحصل على

${\displaystyle y=S^{-1}\left(v-CA^{-1}u\right).}$

وبتعويض هذا في المعادلة الأولى نحصل على

${\displaystyle x=\left(A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}\right)u-A^{-1}BS^{-1}v.}$

يمكننا التعبير عن المعادلتين أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}.}$

وبالتالي، فإن صيغة معكوس مصفوفة الكتل هي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{p}&-A^{-1}B\\&I_{q}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{-1}&\\&S^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{p}&\\-CA^{-1}&I_{q}\end{bmatrix}}.}$

على وجه الخصوص، نرى أن مكمل شور هو معكوس مكمل شور.${\displaystyle 2,2}$إدخال كتلة معكوس${\displaystyle M}$.

من الناحية العملية، يحتاج المرء${\displaystyle A}$يجب أن تكون هذه الخوارزمية دقيقة عددياً وأن تكون في حالة جيدة .

تُعدّ هذه الطريقة مفيدة في الهندسة الكهربائية لتقليل أبعاد معادلات الشبكة. وهي مفيدة بشكل خاص عندما تكون عناصر متجه الخرج صفرًا. على سبيل المثال، عندما${\displaystyle u}$أو${\displaystyle v}$إذا كانت قيمة المتغير صفرًا، فيمكننا حذف الصفوف المرتبطة بها من مصفوفة المعاملات دون أي تغييرات على بقية متجه الإخراج.${\displaystyle v}$إذا كانت القيمة صفرًا، فإن المعادلة أعلاه لـ${\displaystyle x}$يتقلص إلى ${\displaystyle x=\left(A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}\right)u}$وبالتالي تقليل أبعاد مصفوفة المعاملات مع ترك${\displaystyle u}$دون تعديل. يُستخدم هذا بشكل مفيد في الهندسة الكهربائية حيث يُشار إليه باسم إزالة العقدة أو تقليل كرون .

لنفترض أن متجهي العمود العشوائيين X و Y ينتميان إلى Rⁿ و R⁼ ^{على التوالي} ، وأن المتجه ( X , Y ) في Rⁿ⁺⁼ له توزيع ^طبيعي متعدد المتغيرات، ^{ومصفوفة} تباينه هي مصفوفة متماثلة موجبة التحديد ^.

${\displaystyle \Sigma =\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right],}$

أين ${\textstyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$هي مصفوفة التغاير لـ X ،${\textstyle C\in \mathbb {R} ^{m\times m}}$هي مصفوفة التغاير لـ Y و${\textstyle B\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$هي مصفوفة التغاير بين X و Y.

إذن، فإن التغاير الشرطي لـ X بشرط Y هو مكمل شور لـ C في${\textstyle \Sigma }$[ ^{8 ]​}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} (X\mid Y)&=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\\\operatorname {E} (X\mid Y)&=\operatorname {E} (X)+BC^{-1}(Y-\operatorname {E} (Y))\end{aligned}}}$

إذا أخذنا المصفوفة${\displaystyle \Sigma }$إذا كان ما سبق ليس تباينًا لمتجه عشوائي ، بل تباينًا لعينة ، فقد يكون له توزيع ويشارت . في هذه الحالة، يكون مكمل شور لـ C في${\displaystyle \Sigma }$كما أن لديها شركة توزيع ويشارت.

لتكن X مصفوفة متناظرة من الأعداد الحقيقية معطاة بـ $${\displaystyle X=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right].}$$ ثم باستخدام صيغة هاينسورث لجمع العطالة ، نجد

• إذا كانت A قابلة للعكس، فإن X تكون موجبة التحديد إذا وفقط إذا كانت A ومتممتها X/A موجبتي التحديد: ^{[ 2 ] : 34}

$${\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow A\succ 0,X/A=C-B^{\mathrm {T} }A^{-1}B\succ 0.}$$

• إذا كانت C قابلة للعكس، فإن X تكون موجبة التحديد إذا وفقط إذا كانت C ومكملتها X/C موجبتي التحديد:

$${\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow C\succ 0,X/C=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\succ 0.}$$

• إذا كانت A موجبة تمامًا، فإن X تكون موجبة شبه تمامًا إذا وفقط إذا كانت متممتها X/A موجبة شبه تمامًا: ^{[ 2 ] : 34}

$${\displaystyle {\text{If }}A\succ 0,{\text{ then }}X\succeq 0\Leftrightarrow X/A=C-B^{\mathrm {T} }A^{-1}B\succeq 0.}$$

• إذا كانت C موجبة التحديد، فإن X تكون موجبة شبه التحديد إذا وفقط إذا كانت المتممة X/C موجبة شبه التحديد:

$${\displaystyle {\text{If }}C\succ 0,{\text{ then }}X\succeq 0\Leftrightarrow X/C=A-BC^{-1}B^{\mathrm {T} }\succeq 0.}$$

يمكن أيضًا استنتاج العبارتين الأولى والثالثة ^{[ 7 ]} من خلال النظر في القيمة التي تُقلل الكمية $${\displaystyle u^{\mathrm {T} }Au+2v^{\mathrm {T} }B^{\mathrm {T} }u+v^{\mathrm {T} }Cv,\,}$$ كدالة لـ v (لـ u ثابتة ).

علاوة على ذلك، بما أن $${\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\B^{\mathrm {T} }&C\end{matrix}}\right]\succ 0\Longleftrightarrow \left[{\begin{matrix}C&B^{\mathrm {T} }\\B&A\end{matrix}}\right]\succ 0}$$ وبالمثل بالنسبة للمصفوفات شبه المحددة الموجبة، فإن العبارة الثانية (والرابعة على التوالي) تأتي مباشرة من العبارة الأولى (والثالثة على التوالي).

يوجد أيضًا شرط كافٍ وضروري لشبه التحديد الموجب لـ X بدلالة مكمل شور المعمم. ^{[ 2 ]} تحديدًا،

• ${\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow A\succeq 0,C-B^{\mathrm {T} }A^{g}B\succeq 0,\left(I-AA^{g}\right)B=0\,}$و
• ${\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow C\succeq 0,A-BC^{g}B^{\mathrm {T} }\succeq 0,\left(I-CC^{g}\right)B^{\mathrm {T} }=0,}$

أين${\displaystyle A^{g}}$يشير إلى معكوس معمّم لـ${\displaystyle A}$.

• هوية مصفوفة وودبري
• طريقة شبه نيوتن
• صيغة هاينسورث لجمع العطالة
• العملية الغاوسية
• إجمالي المربعات الصغرى
• الاختزال الغوياني في الميكانيكا الحسابية