خريطة مترية

في التحليل الرياضي ، يُعرَّف التطبيق المتري بأنه دالة بين فضاءات مترية لا تزيد المسافة بينها. تُعرف هذه التطبيقات باسم التشكلات في فئة الفضاءات المترية ، Met . ^{[ 1 ]} وتكون هذه الدوال متصلة دائمًا . وتُسمى أيضًا دوال ليبشيتز ذات ثابت ليبشيتز يساوي 1، أو التطبيقات غير التوسعية ، أو التطبيقات غير المتوسعة ، أو الانقباضات الضعيفة ، أو التطبيقات القصيرة .

على وجه التحديد، لنفترض أن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي فضاءات مترية و${\displaystyle f}$هي دالة من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$وبالتالي، لدينا خريطة مترية عندما، لأي نقاط${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle X}$، $${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y).\!}$$ هنا${\displaystyle d_{X}}$و${\displaystyle d_{Y}}$تشير إلى المقاييس على${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$على التوالى.

لنفترض الفضاء المتري${\displaystyle [0,1/2]}$باستخدام المقياس الإقليدي . ثم الدالة${\displaystyle f(x)=x^{2}}$هي خريطة مترية، لأن لـ${\displaystyle x\neq y}$،${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|x+y||xy|<|xy|}$في هذا المثال، ثابت ليبشيتز هو 1، وهذا يعني وجود خريطة مترية.

إن تركيب دالة لخريطتين متريتين هو خريطة مترية أخرى، وخريطة التطابق.${\displaystyle \mathrm {id} _{M}\colon M\rightarrow M}$في فضاء متري${\displaystyle M}$هي دالة مترية، وهي أيضًا العنصر المحايد لتركيب الدوال. بالتالي، تُشكّل الفضاءات المترية مع الدوال المترية فئةً تُسمى Met . تُعدّ Met فئةً فرعيةً من فئة الفضاءات المترية ودوال ليبشيتز. تكون الدالة بين الفضاءات المترية متساوية القياس إذا وفقط إذا كانت دالة مترية تقابلية ، وعكسها دالة مترية أيضًا. لذا، فإن التشاكلات في Met هي تحديدًا المتساويات القياس.

رسم الخرائط${\displaystyle T\colon X\to {\mathcal {N}}(X)}$من فضاء متري${\displaystyle X}$إلى عائلة المجموعات الفرعية غير الفارغة من${\displaystyle X}$يُقال إنها ليبشيتز إذا وُجد${\displaystyle L\geq 0}$بحيث $${\displaystyle H(Tx,Ty)\leq Ld(x,y),}$$ للجميع${\displaystyle x,y\in X}$، أين${\displaystyle H}$هي مسافة هاوسدورف . عندما${\displaystyle L=1}$،${\displaystyle T}$يُطلق عليه اسم غير قابل للتمدد ، وعندما${\displaystyle L<1}$،${\displaystyle T}$يُطلق عليه اسم الانقباض .

• الانكماش (نظرية المؤثرات) – مؤثرات محدودة ذات معيار وحدة فرعية 
• رسم الخرائط الانكماشية – دالة تقلل المسافة بين جميع النقاط 
• عامل التمدد – معامل رياضي للتضمينات 
• خريطة الانكماش الفرعي – وظيفة تقليل المسافة بين جميع النقاط. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه.