الوضع الطبيعي

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الحقول الجبرية ، يُعد الأساس الطبيعي نوعًا خاصًا من الأسس لامتدادات غالوا ذات الدرجة المحدودة، ويتميز بتشكيله مدارًا واحدًا لمجموعة غالوا . تنص نظرية الأساس الطبيعي على أن أي امتداد غالوا محدود للحقول يمتلك أساسًا طبيعيًا. في نظرية الأعداد الجبرية ، تُعد دراسة مسألة وجود أساس تكاملي طبيعي، وهي مسألة أكثر دقة، جزءًا من نظرية وحدات غالوا .

يترك${\displaystyle F\subseteq K}$يكون امتدادًا لجالوا مع مجموعة جالوا${\displaystyle G}$تنص نظرية الأساس الطبيعي الكلاسيكية على وجود عنصر${\displaystyle \beta \in K}$بحيث${\displaystyle \{\sigma (\beta ):\sigma \in G\}}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle K}$، باعتبارها فضاءً متجهيًا على${\displaystyle F}$أي عنصر${\displaystyle \alpha \in K}$يمكن كتابتها بشكل فريد كـ${\textstyle \alpha =\sum _{\sigma \in G}a_{\sigma }\,\sigma (\beta )}$بالنسبة لبعض المعاملات${\displaystyle a_{\sigma }\in F}$.

يتناقض الأساس العادي مع أساس العناصر الأولية من الشكل${\displaystyle \{1,\beta ,\beta ^{2},\ldots ,\beta ^{n-1}\}}$، أين${\displaystyle \beta \in K}$هو عنصر يكون فيه كثير الحدود الأدنى من الدرجة${\displaystyle n=[K:F]}$.

يمكن النظر إلى امتداد الحقل K / F ذي زمرة غالوا G بشكل طبيعي على أنه تمثيل للزمرة G على الحقل F، حيث يُمثَّل كل تشاكل ذاتي بنفسه؛ وبالتالي فإن K هو أيضًا وحدة نمطية يسارية لجبر الزمرة F [ G ]. كل تشاكل بين الوحدات النمطية اليسارية F [ G ]${\displaystyle \phi :F[G]\rightarrow K}$هو من الشكل${\displaystyle \phi (\sigma )=\sigma (\beta )}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \beta \in K}$. منذ${\displaystyle \{\sigma$ إذا كانت σ ∈ G أساسًا خطيًا لـ F [ G ] على F ، فإننا نرى أن${\displaystyle \phi }$تكون تقابلية إذا وفقط إذا${\displaystyle \beta }$يُنشئ أساسًا طبيعيًا لـ K على F.

وبالتالي، فإن نظرية الأساس الطبيعي تعني أنه إذا كان K / F امتداد غالوا محدودًا، فإن${\displaystyle K\cong F[G]}$كيساري${\displaystyle F[G]}$-الوحدة: K متماثلة مع التمثيل المنتظم . كذلك، معطى${\displaystyle \beta }$يُولّد أساسًا طبيعيًا إذا وفقط إذا، عند اعتبار K تمثيلًا لـ G ،${\displaystyle \beta }$لا يكمن في أي تمثيل فرعي مناسب .

بالنسبة للحقول المنتهية، يمكن صياغة ذلك على النحو التالي: ^{[ 1 ]} ليكن${\displaystyle F=\mathrm {GF} (q)=\mathbb {F} _{q}}$لنرمز إلى حقل العناصر q ، حيث q = p ^m هو قوة عدد أولي ، ولنرمز إلى حقل العناصر q.${\displaystyle K=\mathrm {GF} (q^{n})=\mathbb {F} _{q^{n}}}$لنرمز إلى حقل الامتداد الخاص بها من الدرجة n ≥ 1. هنا، زمرة غالوا هي${\displaystyle G={\text{Gal}}(K/F)=\{1,\Phi ,\Phi ^{2},\ldots ,\Phi ^{n-1}\}}$مع${\displaystyle \Phi ^{n}=1,}$مجموعة دورية مولدة بواسطة تشاكل فروبينيوس ذي القوة q${\displaystyle \Phi (\alpha )=\alpha ^{q},}$مع${\displaystyle \Phi ^{n}=1=\mathrm {Id} _{K}.}$إذن يوجد عنصر β ∈ K بحيث $${\displaystyle \{\beta ,\Phi (\beta ),\Phi ^{2}(\beta ),\ldots ,\Phi ^{n-1}(\beta )\}\ =\ \{\beta ,\beta ^{q},\beta ^{q^{2}},\ldots ,\beta ^{q^{n-1}}\!\}}$$هي أساس K على F.

يفترض${\displaystyle K/F}$هو امتداد غالوا محدود للحقل اللانهائي F. ليكن${\displaystyle n=[K:F]}$،${\displaystyle G={\text{Gal}}(K/F)=\{\sigma _{1}...\sigma _{n}\}}$مع${\displaystyle \sigma _{1}={\text{Id}}}$. بحسب نظرية العنصر الأولي يوجد${\displaystyle \alpha \in K}$ such that ${\displaystyle K=F[\alpha ]}$ and ${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha )\neq \sigma _{j}(\alpha )}$ for ${\displaystyle i\neq j}$; and write ${\displaystyle \alpha _{i}=\sigma _{i}(\alpha )}$. The minimal polynomial f of ${\displaystyle \alpha }$ over K is:$${\displaystyle f(X)=\prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i}),}$$a degree n monic polynomial which is irreducible in ${\displaystyle K[X]}$. Since f is separable (having simple roots) we may define the Lagrange interpolation polynomials${\displaystyle g_{1}(X),\ldots ,g_{n}(X)}$ satisfying ${\displaystyle g_{i}(\alpha _{i})=1}$ and ${\displaystyle g_{i}(\alpha _{j})=0}$ for ${\displaystyle i\neq j}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}g(X)&=\ {\frac {f(X)}{(X-\alpha )f'(\alpha )}}\ =\ \prod _{\begin{array}{c}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{array}}{\frac {X-\alpha _{j}}{\alpha -\alpha _{j}}},\\g_{i}(X)&=\ \sigma _{i}(g(X))\ =\ {\frac {f(X)}{(X-\alpha _{i})f'(\alpha _{i})}}\ =\ \prod _{\begin{array}{c}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{array}}{\frac {X-\alpha _{j}}{\alpha _{i}-\alpha _{j}}}.\end{aligned}}}$$Next, define an ${\displaystyle n\times n}$ matrix of polynomials ${\displaystyle A=(A_{ij}(X))}$ by$${\displaystyle A_{ij}(X)=\sigma _{i}(\sigma _{j}(g(X))=\sigma _{i}(g_{j}(X)),}$$and let ${\displaystyle D(X)=\det A(X)}$. To see this a non-zero polynomial, observe that ${\displaystyle A_{ij}(X)=g_{k}(X)}$, where k is determined by ${\displaystyle \sigma _{k}=\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}}$, and ${\displaystyle k=1}$ iff ${\displaystyle \sigma _{i}=\sigma _{j}^{-1}}$; thus ${\displaystyle A(\alpha )}$ is the permutation matrix corresponding to the permutation of G which sends each ${\displaystyle \sigma _{i}}$ to ${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$, and ${\displaystyle D(\alpha )=\det A(\alpha )=\pm 1}$. Since ${\displaystyle D(X)}$ is a non-zero polynomial, it has only a finite number of roots; and since we assumed F is infinite, we can find ${\displaystyle a\in F}$ with ${\displaystyle D(a)\neq 0}$. Define $${\displaystyle \beta =g(a),\qquad \beta _{i}=g_{i}(a)=\sigma _{i}(\beta ).}$$ We claim that ${\displaystyle \{\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}\}}$ is a normal basis; i.e. that ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}$ are linearly independent over F. Suppose ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}c_{j}\beta _{j}=0}$ for some ${\displaystyle {\vec {c}}=(c_{1},...,c_{n})\in F^{n}}$; applying any ${\displaystyle \sigma _{i}}$ gives ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}c_{j}\sigma _{i}(g_{j}(a))=0}$, so that ${\displaystyle A(a)\cdot {\vec {c}}={\vec {0}}}$. Since ${\displaystyle \det A(a)=D(a)\neq 0}$, we conclude that ${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {0}}}$, which completes the proof.

It is tempting to take ${\displaystyle a=\alpha }$ because ${\displaystyle D(\alpha )\neq 0}$, but we need ${\displaystyle a\in F}$ to conclude that ${\displaystyle \sigma _{i}(g_{j}(a))=\sigma _{i}(g_{j}(X))|_{X=\sigma _{i}(a)}=\sigma _{i}(g_{j}(X))|_{X=a}}$ is a matrix entry of ${\displaystyle A(a)=A(X)|_{x=a}}$.

If K / F is a Galois extension and x in K generates a normal basis over F, then x is free in K / F. If x has the property that for every subgroup H of the Galois group G, with fixed field K^H, x is free for K / K^H, then x is said to be completely free in K / F. Every Galois extension has a completely free element.^[2]

• Dual basis in a field extension
• Polynomial basis
• Zech's logarithm

• Cohen, S.; Niederreiter, H., eds. (1996). Finite Fields and Applications. Proceedings of the 3rd international conference, Glasgow, UK, July 11–14, 1995. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 233. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56736-7. Zbl 0851.00052 . 
• لينسترا، إتش دبليو جونيور ؛ شوف، آر جيه (1987). " القواعد الطبيعية الأولية للحقول المنتهية" . رياضيات الحساب . 48 (177): 217-231 . doi : 10.2307/2007886 . hdl : 1887/3824 . JSTOR 2007886. Zbl 0615.12023 .  
• مينيز، ألفريد ج. ، محرر. (1993). تطبيقات الحقول المنتهية . سلسلة كلوير الدولية في الهندسة وعلوم الحاسوب. المجلد  199. بوسطن: دار كلوير للنشر الأكاديمي. ISBN 978-0792392828. Zbl 0779.11059 .