المجموعة الفرعية الطبيعية

في الجبر المجرد ، الزمرة الجزئية الطبيعية (المعروفة أيضًا بالزمرة الجزئية الثابتة أو الزمرة الجزئية المترافقة ذاتيًا ) ^{[ 1 ]} هي زمرة جزئية ثابتة تحت الترافق بواسطة عناصر الزمرة التي تنتمي إليها. بعبارة أخرى، الزمرة الجزئية${\displaystyle N}$من المجموعة${\displaystyle G}$أمر طبيعي في${\displaystyle G}$إذا وفقط إذا${\displaystyle gng^{-1}\in N}$للجميع${\displaystyle g\in G}$و${\displaystyle n\in N.}$الرمز المعتاد لهذه العلاقة هو${\displaystyle N\triangleleft G.}$

تُعد الزمر الجزئية الطبيعية مهمة لأنها (وحدها) تُستخدم لبناء زمر القسمة للزمرة المعطاة. علاوة على ذلك، فإن الزمر الجزئية الطبيعية لـ${\displaystyle G}$هي تحديداً نوى تشاكلات الزمر ذات المجال${\displaystyle G,}$وهذا يعني أنه يمكن استخدامها لتصنيف تلك التشاكلات داخليًا.

كان إيفاريست غالوا أول من أدرك أهمية وجود المجموعات الفرعية الطبيعية. ^{[ 2 ]}

مجموعة فرعية${\displaystyle N}$من مجموعة${\displaystyle G}$يُطلق عليها اسم مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G}$إذا كان ثابتًا تحت الاقتران ؛ أي اقتران عنصر من${\displaystyle N}$بواسطة عنصر من${\displaystyle G}$هو دائماً في${\displaystyle N.}$^{[ 3 ]} الرمز المعتاد لهذه العلاقة هو${\displaystyle N\triangleleft G.}$

لأي مجموعة${\displaystyle G,}$المجموعة الفرعية التافهة${\displaystyle \{e\}}$يتكون فقط من عنصر الهوية لـ${\displaystyle G}$هي دائماً مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G.}$ على نفس المنوال،${\displaystyle G}$هي نفسها دائماً مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G.}$(إذا كانت هذه هي المجموعات الفرعية الطبيعية الوحيدة، فـ${\displaystyle G}$(يقال إنها بسيطة .) ^{[ 6 ]} تشمل الزمر الجزئية العادية الأخرى المسماة لزمرة عشوائية مركز الزمرة (مجموعة العناصر التي تتبادل مع جميع العناصر الأخرى) وزمرة التبديل${\displaystyle [G,G].}$^{[ 7 ] [ 8 ]} وبشكل أعم، بما أن الاقتران هو تماثل، فإن أيمجموعة فرعية مميزةهي مجموعة فرعية طبيعية. ^{[ 9 ]}

لو${\displaystyle G}$إذا كانت المجموعة أبيلية، فإن كل مجموعة جزئية${\displaystyle N}$ل${\displaystyle G}$هذا طبيعي، لأن${\displaystyle gN=\{gn\}_{n\in N}=\{ng\}_{n\in N}=Ng.}$وبشكل أعم، بالنسبة لأي مجموعة${\displaystyle G}$، كل مجموعة فرعية من المركز${\displaystyle Z(G)}$ل${\displaystyle G}$أمر طبيعي في${\displaystyle G}$(في الحالة الخاصة التي${\displaystyle G}$أبيلية، المركز هو كل${\displaystyle G}$ومن هنا تأتي حقيقة أن جميع الزمر الجزئية في الزمرة الأبيلية هي زمر طبيعية. تسمى الزمرة التي ليست أبيلية ولكن كل زمرة جزئية فيها طبيعية زمرة هاميلتونية . ^{[ 10 ]}

من الأمثلة الملموسة على الزمرة الجزئية الطبيعية الزمرة الجزئية${\displaystyle N=\{(1),(123),(132)\}}$من المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{3},}$يتكون من عنصر الهوية وكلا الدورتين الثلاثيتين. على وجه الخصوص، يمكن التحقق من أن كل مجموعة مشاركة من${\displaystyle N}$إما يساوي${\displaystyle N}$نفسه أو يساوي${\displaystyle (12)N=\{(12),(23),(13)\}.}$ من ناحية أخرى، المجموعة الفرعية${\displaystyle H=\{(1),(12)\}}$ليس هذا طبيعياً في${\displaystyle S_{3}}$منذ${\displaystyle (123)H=\{(123),(13)\}\neq \{(123),(23)\}=H(123).}$^{[ 11 ]} يوضح هذا الحقيقة العامة التي مفادها أن أي مجموعة فرعية${\displaystyle H\leq G}$المؤشر الثاني طبيعي.

كمثال على مجموعة فرعية طبيعية داخل مجموعة مصفوفات ، ضع في اعتبارك المجموعة الخطية العامة${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$من بين جميع القابل للعكس${\displaystyle n\times n}$المصفوفات ذات المدخلات الحقيقية تحت عملية ضرب المصفوفات ومجموعتها الفرعية${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$من بين الجميع${\displaystyle n\times n}$المصفوفات ذات المحدد 1 ( المجموعة الخطية الخاصة ). لمعرفة سبب المجموعة الفرعية${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$أمر طبيعي في${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$، ضع في اعتبارك أي مصفوفة${\displaystyle X}$في${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$وأي مصفوفة قابلة للعكس${\displaystyle A}$ثم باستخدام المتطابقتين المهمتين${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$و${\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}}$، لدى المرء ذلك${\displaystyle \det(AXA^{-1})=\det(A)\det(X)\det(A)^{-1}=\det(X)=1}$وهكذا${\displaystyle AXA^{-1}\in \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$كذلك. هذا يعني ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$مغلق تحت الاقتران في${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$لذا فهي مجموعة فرعية طبيعية. ^{[ أ ]}

في مجموعة مكعب روبيك ، تعتبر المجموعات الفرعية التي تتكون من عمليات تؤثر فقط على اتجاهات قطع الزاوية أو قطع الحافة طبيعية. ^{[ 12 ]}

مجموعة الإزاحة هي مجموعة جزئية طبيعية من المجموعة الإقليدية في أي بُعد. ^{[ 13 ]} وهذا يعني أن تطبيق تحويل صلب، متبوعًا بإزاحة ثم التحويل الصلب العكسي، له نفس تأثير الإزاحة الواحدة. في المقابل، فإن المجموعة الجزئية لجميع الدورانات حول نقطة الأصل ليست مجموعة جزئية طبيعية من المجموعة الإقليدية، طالما أن البُعد لا يقل عن 2: فالإزاحة أولًا، ثم الدوران حول نقطة الأصل، ثم الإزاحة العكسية، لن تُثبّت نقطة الأصل عادةً، وبالتالي لن يكون لها نفس تأثير الدوران الواحد حول نقطة الأصل.

• لو${\displaystyle H}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G,}$و${\displaystyle K}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$يحتوي على${\displaystyle H,}$ثم${\displaystyle H}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle K.}$^{[ 14 ]}
• لا يشترط أن تكون الزمرة الجزئية الطبيعية لزمرة جزئية طبيعية لزمرة جزئية طبيعية في تلك الزمرة. أي أن خاصية الطبيعية ليست علاقة متعدية . أصغر زمرة تُظهر هذه الظاهرة هي الزمرة ثنائية السطوح من الرتبة 8. ^{[ 15 ]} مع ذلك، فإن الزمرة الجزئية المميزة لزمرة جزئية طبيعية تكون طبيعية. ^{[ 16 ]} تُسمى الزمرة التي تكون فيها خاصية الطبيعية متعدية ^زمرة T. ^{[ 17} ]
• المجموعتان${\displaystyle G}$و${\displaystyle H}$هي مجموعات فرعية طبيعية من ناتج ضربها المباشر${\displaystyle G\times H.}$
• إذا كانت المجموعة${\displaystyle G}$هو منتج شبه مباشر${\displaystyle G=N\rtimes H,}$ثم${\displaystyle N}$أمر طبيعي في${\displaystyle G,}$رغم ذلك${\displaystyle H}$ليس بالضرورة أن يكون طبيعيًا في${\displaystyle G.}$
• لو${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$هي مجموعات فرعية طبيعية لمجموعة جمعية${\displaystyle G}$بحيث${\displaystyle G=M+N}$و${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$، ثم${\displaystyle G=M\oplus N.}$^{[ 18 ]}
• يتم الحفاظ على الوضع الطبيعي في ظل التشاكلات الشاملة؛ ^{[ 19 ]} أي، إذا${\displaystyle G\to H}$هو تشاكل زمرة شامل و${\displaystyle N}$أمر طبيعي في${\displaystyle G,}$ثم الصورة${\displaystyle f(N)}$أمر طبيعي في${\displaystyle H.}$
• يتم الحفاظ على الوضع الطبيعي عن طريق أخذ الصور المعكوسة ؛ ^{[ 19 ]} أي، إذا${\displaystyle G\to H}$هو تماثل زمر و${\displaystyle N}$أمر طبيعي في${\displaystyle H,}$ثم الصورة المعكوسة${\displaystyle f^{-1}(N)}$أمر طبيعي في${\displaystyle G.}$
• يُحافظ على الوضع الطبيعي عند أخذ الضرب المباشر ؛ ^{[ 20 ]} أي إذا${\displaystyle N_{1}\triangleleft G_{1}}$و${\displaystyle N_{2}\triangleleft G_{2},}$ثم${\displaystyle N_{1}\times N_{2}\;\triangleleft \;G_{1}\times G_{2}.}$
• كل مجموعة فرعية ذات فهرس 2 هي مجموعة طبيعية. وبشكل أعم، فإن المجموعة الفرعية،${\displaystyle H,}$ذو مؤشر محدود،${\displaystyle n,}$في${\displaystyle G}$يحتوي على مجموعة فرعية،${\displaystyle K,}$طبيعي في${\displaystyle G}$ومؤشر يقسم${\displaystyle n!}$يُطلق عليه اسم النواة العادية . على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle p}$هو أصغر عدد أولي يقسم رتبة${\displaystyle G,}$ثم كل مجموعة فرعية من الفهرس${\displaystyle p}$هذا طبيعي. ^{[ 21 ]}
• حقيقة أن المجموعات الفرعية الطبيعية من${\displaystyle G}$هي تحديداً نوى تشاكلات الزمر المعرفة على${\displaystyle G}$يُفسر هذا بعض أهمية الزمر الجزئية الطبيعية؛ فهي طريقة لتصنيف جميع التشاكلات المعرفة على زمرة ما تصنيفًا داخليًا. على سبيل المثال، تكون الزمرة المنتهية غير المحايد بسيطة إذا وفقط إذا كانت متماثلة مع جميع صورها المتماثلة غير المحايد، ^{[ 22 ]} وتكون الزمرة المنتهية كاملة إذا وفقط إذا لم يكن لها زمر جزئية طبيعية ذات دليل أولي ، وتكون الزمرة ناقصة إذا وفقط إذا لم تُستكمل الزمرة الجزئية المشتقة بأي زمرة جزئية طبيعية فعلية.

لو${\displaystyle N}$إذا كانت مجموعة جزئية طبيعية، فيمكننا تعريف عملية الضرب على المجموعات المشاركة على النحو التالي: $${\displaystyle \left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_{1}a_{2}\right)N.}$$ تحدد هذه العلاقة عملية الربط${\displaystyle G/N\times G/N\to G/N.}$لإثبات أن هذا التطبيق محدد جيدًا، يجب إثبات أن اختيار العناصر التمثيلية${\displaystyle a_{1},a_{2}}$لا يؤثر ذلك على النتيجة. ولتحقيق هذه الغاية، ضع في اعتبارك بعض العناصر التمثيلية الأخرى.${\displaystyle a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N.}$ثم هناك${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$بحيث${\displaystyle a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}.}$ويترتب على ذلك أن$${\displaystyle a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N,}$$حيث استخدمنا أيضًا حقيقة أن${\displaystyle N}$هي مجموعة فرعية طبيعية ، وبالتالي يوجد${\displaystyle n_{1}'\in N}$بحيث${\displaystyle n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'.}$يثبت هذا أن هذا المنتج عبارة عن تعيين محدد جيدًا بين المجموعات المشاركة.

بهذه العملية، تصبح مجموعة المشاركات نفسها زمرة، وتسمى زمرة القسمة ويرمز لها بـ${\displaystyle G/N.}$يوجد تماثل طبيعي ،${\displaystyle f:G\to G/N,}$مقدم من${\displaystyle f(a)=aN.}$هذا التشاكل يرسم${\displaystyle N}$في عنصر الهوية لـ${\displaystyle G/N,}$وهي المجموعة المشاركة${\displaystyle eN=N,}$^{[ 23 ]} أي،${\displaystyle \ker(f)=N.}$

بشكل عام، تماثل المجموعة،${\displaystyle f:G\to H}$يرسل مجموعات فرعية من${\displaystyle G}$إلى مجموعات فرعية من${\displaystyle H.}$كذلك، فإن الصورة الأصلية لأي مجموعة فرعية من${\displaystyle H}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle G.}$نسمي الصورة العكسية للمجموعة التافهة${\displaystyle \{e\}}$في${\displaystyle H}$نواة التشاكل ونرمز لها بـ${\displaystyle \ker f.}$وكما اتضح، فإن النواة تكون دائمًا طبيعية وصورة${\displaystyle G,f(G),}$متماثل دائمًا مع${\displaystyle G/\ker f}$( نظرية التشاكل الأولى ). ^{[ 24 ]} في الواقع، هذا التناظر هو تقابل بين مجموعة جميع زمر القسمة لـ${\displaystyle G,G/N,}$ومجموعة جميع الصور المتماثلة لـ${\displaystyle G}$( حتى التشاكل). ^{[ 25 ]} من السهل أيضًا ملاحظة أن نواة دالة القسمة،${\displaystyle f:G\to G/N,}$يكون${\displaystyle N}$لذا فإن المجموعات الفرعية الطبيعية هي تحديدًا نوى التشاكلات ذات المجال${\displaystyle G.}$^{[ 26 ]}

• في كتاب هيرستين ، موضوعات في الجبر. الطبعة الثانية. دار نشر زيروكس كوليدج، ليكسينغتون، ماساتشوستس - تورنتو، أونتاريو، 1975. 11+388 صفحة.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعة الفرعية الطبيعية" . عالم الرياضيات .
• المجموعة الفرعية الطبيعية في موسوعة سبرينغر للرياضيات
• روبرت آش: أساسيات المجموعات في الجبر المجرد. السنة الدراسية الأساسية للدراسات العليا
• تيموثي غاورز، المجموعات الفرعية العادية ومجموعات القسمة
• جون بايز، ما هي المجموعة الفرعية الطبيعية؟