معادلة الموجة أحادية الاتجاه

معادلة الموجة أحادية الاتجاه هي معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الأولى تصف موجة واحدة تنتقل في اتجاه محدد بواسطة متجه سرعة الموجة. وهي تختلف عن معادلة الموجة ثنائية الاتجاه من الدرجة الثانية التي تصف مجال الموجة المستقرة الناتج عن تراكب موجتين في اتجاهين متعاكسين (باستخدام مربع سرعة الموجة العددية). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} في الحالة أحادية البعد، تُعرف أيضًا باسم معادلة النقل ، ^{[ 4 ]} وهي تسمح بحساب انتشار الموجة دون التعقيد الرياضي لحل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية. نظرًا لعدم التوصل إلى حل عام لمعادلة الموجة أحادية الاتجاه ثلاثية الأبعاد في العقود الأخيرة، تُستخدم العديد من طرق التقريب القائمة على معادلة الموجة أحادية الاتجاه أحادية البعد في الحسابات الزلزالية ثلاثية الأبعاد وغيرها من الحسابات الجيوفيزيائية، انظر أيضًا القسم §  الحالة ثلاثية الأبعاد . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 1 ] [ 7 ]}

يمكن كتابة معادلة الموجة العددية من الدرجة الثانية (ثنائية الاتجاه) التي تصف مجال الموجة المستقرة على النحو التالي:$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=0,}$$ أين${\displaystyle x}$هي الإحداثيات،${\displaystyle t}$حان الوقت،${\displaystyle s=s(x,t)}$الإزاحة، و${\displaystyle c}$هي سرعة الموجة.

بسبب الغموض في اتجاه سرعة الموجة،${\displaystyle c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}}$لا تحتوي المعادلة على معلومات حول اتجاه الموجة، وبالتالي فإن لها حلولاً تنتشر في الاتجاه الأمامي (${\displaystyle +x}$) وإلى الوراء (${\displaystyle -x}$) الاتجاهات. الحل العام للمعادلة هو مجموع الحلول في هذين الاتجاهين: $${\displaystyle s(x,t)=s_{+}(tx/c)+s_{-}(t+x/c)}$$

أين${\displaystyle s_{+}}$و${\displaystyle s_{-}}$هي سعات إزاحة الموجات التي تجري في${\displaystyle +c}$و${\displaystyle -c}$اتجاه.

عند صياغة مسألة الموجة أحادية الاتجاه، يجب تحديد اتجاه انتشار الموجة (يدويًا) عن طريق الاحتفاظ بأحد المصطلحين في الحل العام.

يؤدي تحليل المؤثر الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة إلى زوج من معادلات الموجة أحادية الاتجاه، إحداهما ذات حلول تنتشر للأمام والأخرى ذات حلول تنتشر للخلف. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

$${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\right)s=\left({\partial \over \partial t}-c{\partial \over \partial x}\right)\left({\partial \over \partial t}+c{\partial \over \partial x}\right)s=0,}$$

يتم وصف الموجات المتجهة للخلف وللأمام على التوالي (لـ${\displaystyle c>0}$) $${\displaystyle {\begin{aligned}&{{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\\[6pt]&{{\frac {\partial s}{\partial t}}+c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\end{aligned}}}$$

يمكن أيضًا اشتقاق معادلات الموجة أحادية الاتجاه بشكل مباشر من المعاوقة الصوتية المحددة .

في الموجة المستوية الطولية ، تحدد المعاوقة النوعية التناسب المحلي للضغط${\displaystyle p=p(x,t)}$وسرعة الجسيمات${\displaystyle v=v(x,t)}$[ ^{11 ]​}

$${\displaystyle {\frac {p}{v}}=\rho c,}$$ مع${\displaystyle \rho }$= الكثافة.

يؤدي تحويل معادلة المعاوقة إلى: ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle v-{\frac {1}{\rho c}}p=0}$$

*

موجة مستوية طولية ذات تردد زاوي${\displaystyle \omega }$له إزاحة${\displaystyle s=s(x,t)}$.

الضغط${\displaystyle p}$وسرعة الجسيمات${\displaystyle v}$ويمكن التعبير عنها بدلالة الإزاحة${\displaystyle s}$(${\displaystyle E}$: معامل المرونة ) ^{[ 12 ]} :

$${\displaystyle p:=E{\partial s \over \partial x}}$$في حالة البعد الواحد، يكون هذا مماثلاً تماماً للإجهاد${\displaystyle \sigma }$في الميكانيكا :${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$، حيث يُعرَّف الإجهاد على أنه${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$^{[ 13 ]}$${\displaystyle v={\partial s \over \partial t}}$$

تؤدي هذه العلاقات، عند إدخالها في المعادلة أعلاه ( * )، إلى:

$${\displaystyle {\partial s \over \partial t}-{E \over \rho c}{\partial s \over \partial x}=0}$$

باستخدام تعريف سرعة الموجة المحلية ( سرعة الصوت ):

$${\displaystyle c={\sqrt {E(x) \over \rho (x)}}\Leftrightarrow c={E \over \rho c}}$$

يتبع ذلك مباشرةً (!) المعادلة التفاضلية الجزئية من الدرجة الأولى لمعادلة الموجة أحادية الاتجاه:

$${\displaystyle {{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}}$$

سرعة الموجة${\displaystyle c}$يمكن تحديدها ضمن معادلة الموجة هذه على النحو التالي:${\displaystyle +c}$أو${\displaystyle -c}$وفقًا لاتجاه انتشار الموجة.

لانتشار الموجات في اتجاه${\displaystyle +c}$الحل الفريد هو

$${\displaystyle s(x,t)=s_{+}(t-x/c)}$$

ولنشر الموجات في${\displaystyle -c}$الاتجاه الذي يكون فيه الحل المعني هو ^{[ 14 ]}$${\displaystyle s(x,t)=s_{-}(t+x/c)}$$

توجد أيضًا معادلة موجية كروية أحادية الاتجاه تصف انتشار الموجة لمصدر صوتي أحادي القطب في الإحداثيات الكروية، أي في الاتجاه القطري. ومن خلال تعديل مؤثر نابلا القطري ، يتم حل التناقض بين مؤثر التباعد الكروي ومؤثر لابلاس، ولا يُظهر الحل الناتج دوال بيسل (على عكس الحل المعروف للنهج التقليدي ثنائي الاتجاه). ^{[ 7 ]}

تم افتراض أن معادلة وحل الموجة أحادية الاتجاه في الحالة ثلاثية الأبعاد مماثلة لتلك الخاصة بالحالة أحادية البعد، وذلك من خلال تحليل رياضي (تفكيك) لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية. ^{[ 15 ]} في الواقع، يمكن اشتقاق معادلة الموجة أحادية الاتجاه ثلاثية الأبعاد من المبادئ الأساسية.

• الاشتقاق من نظرية المعاوقة ^{[ 3 ]} و
• الاشتقاق من توازن تدفق النبض الموتري في نقطة مجال. ^{[ 7 ]}

من الممكن أيضًا اشتقاق مؤثر الموجة ثنائي الاتجاه المتجهي من تركيب مؤثرين للموجة أحاديي الاتجاه (باستخدام متغير حقل مشترك). يوضح هذا النهج أنه يمكن استخدام معادلة الموجة ثنائية الاتجاه أو مؤثر الموجة ثنائي الاتجاه في ظل ظروف محددة.${\displaystyle \nabla \mathbf {c} =0}$أي بالنسبة للوسط المتجانس وغير المتجانس، في حين أن معادلة الموجة أحادية الاتجاه أو مؤثر الموجة أحادية الاتجاه صالحة أيضًا في الأوساط غير المتجانسة. ^{[ 16 ]}

بالنسبة للوسائط غير المتجانسة ذات معامل المرونة المعتمد على الموقع${\displaystyle E(x)}$، كثافة${\displaystyle \rho (x)}$وسرعة الموجة${\displaystyle c(x)}$يمكن اشتقاق حل تحليلي لمعادلة الموجة أحادية الاتجاه عن طريق إدخال متغير مجال جديد. ^{[ 10 ]}

يمكن أيضًا تطبيق طريقة تحليل المعادلات التفاضلية الجزئية على معادلات موجية أخرى من الرتبة الثانية أو الرابعة، مثل المعادلات المستعرضة، ومعادلات الأوتار، ومعادلات موينز/كورتويج، ومعادلات الانحناء، ومعادلات الموجات الكهرومغناطيسية، والموجات الكهرومغناطيسية نفسها. ^{[ 10 ]}

• معادلة الموجة – معادلة تفاضلية لوصف الموجات أو الموجة المستقرة 
• الموجة المستقرة – موجة تبقى في موضع ثابت 
• معادلة الاستمرارية - معادلة تصف انتقال كمية ما 
• شرط إنجكويست-ماجدا الحدودي الممتص – شرط حدودي ممتص لمسائل الموجات