المنفعة الترتيبية

في علم الاقتصاد ، دالة المنفعة الترتيبية هي دالة تمثل تفضيلات الفرد على مقياس ترتيبي . تنص نظرية المنفعة الترتيبية على أن السؤال عن أي الخيارين أفضل من الآخر لا معنى له، بينما السؤال عن مقدار هذا التفوق أو جودته لا معنى له. ويمكن، بل ويتم عادةً، التعبير عن جميع نظريات اتخاذ القرار الاستهلاكي في ظل ظروف اليقين باستخدام المنفعة الترتيبية.

على سبيل المثال، لنفترض أن جورج أخبرنا أنه "يفضل أ على ب، وب على ج". يمكن تمثيل تفضيلات جورج بدالة u بحيث:

${\displaystyle u(A)=9,u(B)=8,u(C)=1}$

لكن منتقدي المنفعة الكمية يزعمون أن الرسالة الوحيدة ذات المعنى لهذه الدالة هي الترتيب${\displaystyle u(A)>u(B)>u(C)}$الأرقام الفعلية لا معنى لها. لذا، يمكن تمثيل تفضيلات جورج أيضًا بالدالة التالية v :

${\displaystyle v(A)=9,v(B)=2,v(C)=1}$

الدالتان u و v متكافئتان ترتيبياً - فهما تمثلان تفضيلات جورج بشكل متساوٍ.

تتناقض المنفعة الترتيبية مع نظرية المنفعة الكمية : إذ تفترض الأخيرة أن الفروق بين التفضيلات مهمة أيضاً. ففي المنفعة الترتيبية، يكون الفرق بين A وB أصغر بكثير من الفرق بين B وC، بينما في المنفعة الكمية يكون العكس صحيحاً. لذا، فإن المنفعة الترتيبية والكمية ليستا متكافئتين كمياً .

تم تقديم مفهوم المنفعة الترتيبية لأول مرة من قبل باريتو في عام 1906. ^{[ 1 ]}

لنفترض أن مجموعة جميع حالات العالم هي${\displaystyle X}$ويكون للوكيل علاقة تفضيلية على${\displaystyle X}$من الشائع تمييز علاقة التفضيل الضعيفة بواسطة${\displaystyle \preceq }$، لهذا السبب${\displaystyle A\preceq B}$يُقرأ النص "يريد الوكيل B على الأقل بقدر ما يريد A".

الرمز${\displaystyle \sim }$يُستخدم كاختصار لعلاقة اللامبالاة:${\displaystyle A\sim B\iff (A\preceq B\land B\preceq A)}$، والتي تنص على أن "الوكيل غير مبال بين ب و أ".

الرمز${\displaystyle \prec }$يُستخدم كاختصار لعلاقة التفضيل القوي:${\displaystyle A\prec B\iff (A\preceq B\land B\not \preceq A)}$لو:

${\displaystyle A\preceq B\iff u(A)\leq u(B)}$

بعض الشروط على${\displaystyle \preceq }$ضرورية لضمان وجود دالة تمثيلية:

• التعدي : إذا${\displaystyle A\preceq B}$و${\displaystyle B\preceq C}$ثم${\displaystyle A\preceq C}$.
• الاكتمال: لجميع الحزم${\displaystyle A,B\in X}$: أيضاً${\displaystyle A\preceq B}$أو${\displaystyle B\preceq A}$أو كلاهما.
  • الكمال يستلزم أيضاً الانعكاسية: لكل${\displaystyle A\in X}$:${\displaystyle A\preceq A}$.

عند استيفاء هذه الشروط وتعيين${\displaystyle X}$بما أن المتغير محدود، فمن السهل إنشاء دالة.${\displaystyle u}$وهو ما يمثل${\displaystyle \prec }$بمجرد تعيين رقم مناسب لكل عنصر من عناصر ${\displaystyle X}$كما هو موضح في الفقرة الافتتاحية. وينطبق الأمر نفسه عندما يكون X عددًا لانهائيًا قابلًا للعد . علاوة على ذلك، من الممكن بناء دالة منفعة تمثيلية استقرائيًا تكون قيمها ضمن النطاق${\displaystyle (-1,1)}$[ ^{4 ]​}

متى${\displaystyle X}$إذا كانت المجموعة لانهائية، فإن هذه الشروط غير كافية. على سبيل المثال، التفضيلات المعجمية متعدية وكاملة، لكن لا يمكن تمثيلها بأي دالة منفعة. ^{[ 4 ]} الشرط الإضافي المطلوب هو الاستمرارية .

تُسمى علاقة التفضيل متصلة إذا لم تُؤدِّ الانحرافات الطفيفة عن أيٍّ من الخيارين إلى عكس ترتيبهما، كلما تم تفضيل الخيار B على الخيار A. وبصورة أدق، تُسمى علاقة التفضيل على مجموعة X متصلة إذا استوفت أحد الشروط المتكافئة التالية:

1. لكل${\displaystyle A\in X}$المجموعة${\displaystyle \{(A,B)|A\preceq B\}}$مغلق طوبولوجيًا في${\displaystyle X\times X}$مع بنية المنتج (يتطلب هذا التعريف${\displaystyle X}$ليكون فضاءً طوبولوجيًا ).
2. لكل تسلسل${\displaystyle (A_{i},B_{i})}$، إذا كان لكل i${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$و${\displaystyle A_{i}\to A}$و${\displaystyle B_{i}\to B}$، ثم${\displaystyle A\preceq B}$.
3. لكل${\displaystyle A,B\in X}$بحيث${\displaystyle A\prec B}$توجد كرة حول${\displaystyle A}$وكرة حول${\displaystyle B}$بحيث يكون لكل${\displaystyle a}$في الكرة حول${\displaystyle A}$وكل${\displaystyle b}$في الكرة حول${\displaystyle B}$،${\displaystyle a\prec b}$(يتطلب هذا التعريف${\displaystyle X}$ليكون فضاءً متريًا ).

إذا تم تمثيل علاقة تفضيلية بدالة منفعة متصلة، فمن الواضح أنها متصلة. وبحسب نظريات ديبرو (1954) ، فإن العكس صحيح أيضاً.

يمكن تمثيل كل علاقة تفضيل كاملة ومستمرة بدالة منفعة ترتيبية مستمرة.

لاحظ أن التفضيلات المعجمية ليست متصلة. على سبيل المثال،${\displaystyle (5,0)\prec (5,1)}$لكن في كل كرة حول (5،1) توجد نقاط مع${\displaystyle x<5}$وهذه النقاط أدنى من${\displaystyle (5,0)}$وهذا يتوافق مع الحقيقة المذكورة أعلاه، وهي أن هذه التفضيلات لا يمكن تمثيلها بواسطة دالة منفعة.

لكل دالة منفعة v ، توجد علاقة تفضيل فريدة تُمثلها v . مع ذلك، فإن العكس ليس صحيحًا: إذ يمكن تمثيل علاقة التفضيل بعدة دوال منفعة مختلفة. يمكن التعبير عن نفس التفضيلات بأي دالة منفعة تُمثل تحويلًا متزايدًا بشكل رتيب لـ v . على سبيل المثال، إذا

${\displaystyle v(A)\equiv f(v(A))}$

أين${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$إذا كانت أي دالة متزايدة بشكل رتيب، فإن الدالتين v و v تؤديان إلى خرائط منحنى السواء المتطابقة.

يمكن وصف هذا التكافؤ بإيجاز على النحو التالي:

تكون دالة المنفعة الترتيبية فريدة حتى التحويل الرتيب المتزايد .

في المقابل، تكون دالة المنفعة الأساسية فريدة حتى التحويل الأفيني المتزايد . كل تحويل أفيني رتيب؛ لذا، إذا كانت دالتان متكافئتين أساسياً فهما متكافئتان ترتيبياً أيضاً، ولكن ليس العكس.

لنفترض من الآن فصاعدًا أن المجموعة${\displaystyle X}$هي مجموعة جميع المتجهات الحقيقية ثنائية الأبعاد غير السالبة. لذا فإن عنصرًا من${\displaystyle X}$هو زوج${\displaystyle (x,y)}$وهذا يمثل الكميات المستهلكة من منتجين، على سبيل المثال، التفاح والموز.

ثم في ظل ظروف معينة، تنشأ علاقة تفضيلية${\displaystyle \preceq }$يتم تمثيلها بواسطة دالة منفعة${\displaystyle v(x,y)}$.

لنفترض أن علاقة التفضيل متزايدة بشكل رتيب ، مما يعني أن "المزيد هو الأفضل دائمًا":

${\displaystyle x<x'\implies (x,y)\prec (x',y)}$

${\displaystyle y<y'\implies (x,y)\prec (x,y')}$

إذن، كلا المشتقين الجزئيين للدالة v ، إن وُجدا، يكونان موجبين. باختصار:

إذا كانت دالة المنفعة تمثل علاقة تفضيل متزايدة بشكل رتيب، فإن دالة المنفعة تكون متزايدة بشكل رتيب.

لنفترض أن شخصًا ما لديه حزمة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ويزعم أنه غير مبالٍ بين هذه الحزمة والحزمة الأخرى${\displaystyle (x_{0}-\lambda \cdot \delta ,y_{0}+\delta )}$وهذا يعني أنه على استعداد للعطاء${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$وحدات x للحصول على${\displaystyle \delta }$وحدات y. إذا تم الاحتفاظ بهذه النسبة كـ${\displaystyle \delta \to 0}$نقول ذلك${\displaystyle \lambda }$يمثل معدل الإحلال الحدي (MRS) بين x و y عند النقطة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. ^{[ 5 ] : 82}

يعتمد هذا التعريف لمعدل الإحلال الحدي (MRS) على علاقة التفضيل الترتيبية فقط، ولا يعتمد على دالة منفعة عددية. إذا كانت علاقة التفضيل ممثلة بدالة منفعة، وكانت هذه الدالة قابلة للتفاضل، فيمكن حساب معدل الإحلال الحدي من مشتقات تلك الدالة.

${\displaystyle MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.}$

على سبيل المثال، إذا تم تمثيل علاقة التفضيل بواسطة${\displaystyle v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}}$ثم${\displaystyle MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}}$معدل الإحلال الأدنى (MRS) هو نفسه بالنسبة للدالة${\displaystyle v(x,y)=a\cdot \log {x}+b\cdot \log {y}}$. هذا ليس من قبيل الصدفة لأن هاتين الدالتين تمثلان نفس علاقة التفضيل - كل واحدة منهما عبارة عن تحويل رتيب متزايد للأخرى.

بشكل عام، قد يختلف معدل الوفيات الإجمالي في نقاط مختلفة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$على سبيل المثال، من الممكن أن يكون في${\displaystyle (9,1)}$معدل الزواج منخفض لأن الشخص لديه الكثير من x وواحد فقط من y ، ولكن عند${\displaystyle (9,9)}$أو${\displaystyle (1,1)}$تكون نسبة MRS أعلى. بعض الحالات الخاصة موضحة أدناه.

عندما لا يعتمد معدل الإحلال الحدي لعلاقة تفضيل معينة على الحزمة، أي أن معدل الإحلال الحدي يكون هو نفسه للجميع${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$تكون منحنيات السواء خطية وعلى الشكل التالي:

${\displaystyle x+\lambda y={\text{const}},}$

ويمكن تمثيل علاقة التفضيل بدالة خطية:

${\displaystyle v(x,y)=x+\lambda y.}$

(بالطبع، يمكن تمثيل العلاقة نفسها بالعديد من الدوال غير الخطية الأخرى، مثل${\displaystyle {\sqrt {x+\lambda y}}}$أو${\displaystyle (x+\lambda y)^{2}}$(لكن الدالة الخطية هي الأبسط.) ^{[ 5 ] : 85}

عندما تعتمد نسبة الزواج على${\displaystyle y_{0}}$لكن ليس على${\displaystyle x_{0}}$يمكن تمثيل علاقة التفضيل بدالة منفعة شبه خطية ، على النحو التالي:

${\displaystyle v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)}$

أين${\displaystyle v_{Y}}$هي دالة معينة متزايدة بشكل رتيب. لأن معدل الإحلال المتعدد دالة${\displaystyle \lambda (y)}$، وظيفة محتملة${\displaystyle v_{Y}}$يمكن حسابها كتكامل لـ${\displaystyle \lambda (y)}$: ^{[ 6 ] [ 5 ] : 87}

${\displaystyle v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y')dy'}}$

في هذه الحالة، تكون جميع منحنيات السواء متوازية - إنها عمليات نقل أفقية لبعضها البعض.

يُعدّ النوع الأكثر عمومية من دوال المنفعة هو الدالة الجمعية :

${\displaystyle v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)}$

هناك عدة طرق للتحقق مما إذا كانت التفضيلات المعطاة قابلة للتمثيل بواسطة دالة منفعة إضافية .

عند وجود ثلاث سلع أو أكثر، يكون شرط جمع دالة المنفعة أبسط بكثير مما هو عليه في حالة سلعتين. هذه نتيجة لنظرية ديبرو (1960) رقم 3. الشرط المطلوب للجمع هو الاستقلال التفضيلي . ^{[ 5 ] : 104}

يُقال إن مجموعة فرعية A من السلع مستقلة تفضيليًا عن مجموعة فرعية B من السلع، إذا كانت علاقة التفضيل في المجموعة الفرعية A، مع افتراض قيم ثابتة للمجموعة الفرعية B، مستقلة عن هذه القيم الثابتة. على سبيل المثال، لنفترض وجود ثلاث سلع: x و y و z . تكون المجموعة الفرعية { x , y } مستقلة تفضيليًا عن المجموعة الفرعية { z }، إذا كان لكل x و y و z${\displaystyle x_{i},y_{i},z,z'}$:

${\displaystyle (x_{1},y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2},z')}$.

في هذه الحالة، يمكننا ببساطة أن نقول ما يلي:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\preceq (x_{2},y_{2})}$لقيمة ثابتة لـ z .

يكون الاستقلال التفضيلي منطقياً في حالة السلع المستقلة . على سبيل المثال، من المحتمل أن تكون التفضيلات بين حزم التفاح والموز مستقلة عن عدد الأحذية والجوارب التي يمتلكها الفرد، والعكس صحيح.

بحسب نظرية ديبرو، إذا كانت جميع المجموعات الفرعية من السلع مستقلة تفضيليًا عن مكملاتها، فيمكن تمثيل علاقة التفضيل بدالة قيمة جمعية. نقدم هنا شرحًا مبسطًا لهذه النتيجة من خلال توضيح كيفية بناء دالة القيمة الجمعية هذه. ^{[ 5 ]} يفترض البرهان وجود ثلاث سلع: س ، ص ، ع . ونوضح كيفية تحديد ثلاث نقاط لكل دالة من دوال القيمة الثلاث.${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$: النقطة 0، والنقطة 1، والنقطة 2. يمكن حساب النقاط الأخرى بطريقة مماثلة، ثم يمكن استخدام خاصية الاستمرارية للاستنتاج بأن الدوال معرفة جيدًا في نطاقها الكامل.

0 نقطة : اختر عشوائيًا${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$وتعيينها كصفر لدالة القيمة، أي:

${\displaystyle v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{0})=0}$

نقطة واحدة : اختر عشوائياً${\displaystyle x_{1}>x_{0}}$بحيث${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})}$. حددها كوحدة للقيمة، أي:

${\displaystyle v_{x}(x_{1})=1}$

يختار${\displaystyle y_{1}}$و${\displaystyle z_{1}}$بحيث تتحقق علاقات اللامبالاة التالية:

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{1},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{1})}$.

يُستخدم هذا التساوي في القياس لمطابقة وحدات y و z مع وحدات x . يجب أن تكون القيمة في هذه النقاط الثلاث 1، لذلك نُعيّنها

${\displaystyle v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1}$

النقطة الثانية : الآن نستخدم فرضية الاستقلال التفضيلي. العلاقة بين${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$و${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$مستقلة عن z ، وبالمثل العلاقة بين${\displaystyle (y_{1},z_{0})}$و${\displaystyle (y_{0},z_{1})}$مستقل عن x والعلاقة بين${\displaystyle (z_{1},x_{0})}$و${\displaystyle (z_{0},x_{1})}$مستقل عن y . لذا

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{0}).}$

هذا مفيد لأنه يعني أن الدالة v يمكن أن تأخذ القيمة نفسها - 2 - في هذه النقاط الثلاث. اختر${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2}}$بحيث

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_{1},z_{0})}$

وتعيين

${\displaystyle v_{x}(x_{2})=v_{y}(y_{2})=v_{z}(z_{2})=2.}$

النقطة الثالثة : لإثبات اتساق التوزيعات التي قمنا بها حتى الآن، يجب أن نُبين أن جميع النقاط التي تحصل على قيمة إجمالية قدرها 3 هي نقاط حياد. هنا، مرة أخرى، نستخدم فرضية الاستقلال التفضيلي، نظرًا للعلاقة بين${\displaystyle (x_{2},y_{0})}$و${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$مستقل عن z (وكذلك بالنسبة للأزواج الأخرى)؛ ومن ثم

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{1})}$

وينطبق الأمر نفسه على الأزواج الأخرى. وبالتالي، فإن النقطة الثالثة تُعرَّف بشكل متسق.

يمكننا الاستمرار على هذا النحو عن طريق الاستقراء وتحديد الدوال لكل سلعة في جميع النقاط الصحيحة، ثم استخدام الاستمرارية لتحديدها في جميع النقاط الحقيقية.

يفترض ضمنيًا في النقطة الأولى من البرهان أعلاه أن جميع السلع الثلاث أساسية أو ذات صلة بالتفضيل . ^{[ 7 ] : 7} وهذا يعني أنه توجد مجموعة سلع بحيث إذا زادت كمية سلعة معينة، فإن المجموعة الجديدة تكون أفضل بشكل قاطع.

البرهان لأكثر من 3 سلع مشابه. في الواقع، لسنا بحاجة إلى التحقق من أن جميع المجموعات الجزئية من النقاط مستقلة تفضيليًا؛ يكفي التحقق من عدد خطي من أزواج السلع. على سبيل المثال، إذا كان هناك${\displaystyle m}$سلع مختلفة،${\displaystyle j=1,...,m}$إذاً، يكفي التحقق من ذلك بالنسبة للجميع${\displaystyle j=1,...,m-1}$السلعتين${\displaystyle \{x_{j},x_{j+1}\}}$مستقلة بشكل تفضيلي عن الأخرى${\displaystyle m-2}$السلع. ^{[ 5 ] : 115}

مكّنت الأسس الرياضية التي وضعها جيرار ديبرو ^{[ 9 ] [ 10 ]} لمعظم أنواع دوال المنفعة الشائعة - التربيعية والجمعية - أندرانيك تانجيان من تطوير طرق لبنائها من بيانات ترتيبية بحتة. وعلى وجه الخصوص، دوال المنفعة الجمعية والتربيعية في${\displaystyle n}$يمكن استخلاص المتغيرات من مقابلات مع صناع القرار، حيث تهدف الأسئلة إلى تتبع كل شيء.${\displaystyle n}$منحنيات اللامبالاة ثنائية الأبعاد في${\displaystyle n-1}$مستويات الإحداثيات دون الرجوع إلى تقديرات المنفعة الأساسية. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

يقارن الجدول التالي بين نوعي دوال المنفعة الشائعة في علم الاقتصاد:

• لا يمكن تمثيل علاقة التفضيل المعجمية بدالة منفعة . في موقع Economics.SE
• التعرف على الترتيبات الخطية القابلة للتضمين في R2 المرتبة معجميًا . في Math.SE.
• موراي ن. روثبارد ، "نحو إعادة بناء اقتصاديات المنفعة والرفاهية"