التشابه المستمر

انظر علم التشابه للحصول على مقدمة حول التدوين.

التماثل المستمر هو طريقة لحساب السمات الطوبولوجية لمساحة ما بدقة مكانية مختلفة. يتم اكتشاف السمات الأكثر ثباتًا على نطاق واسع من المقاييس المكانية ويُعتقد أنها أكثر احتمالية لتمثيل السمات الحقيقية للمساحة الأساسية بدلاً من التحف الناتجة عن أخذ العينات أو الضوضاء أو الاختيار المحدد للمعلمات. ^[1]

لإيجاد التماثل المستمر لمساحة ما، يجب أولاً تمثيل المساحة كمركب تبسيطي . تتوافق دالة المسافة على المساحة الأساسية مع ترشيح المركب التبسيطي، أي تسلسل متداخل من المجموعات الفرعية المتزايدة. إحدى الطرق الشائعة للقيام بذلك هي عن طريق أخذ الترشيح الفرعي للمسافة إلى سحابة نقاط ، أو على نحو مكافئ، الترشيح الإزاحي على سحابة النقاط وأخذ عصبها من أجل الحصول على الترشيح التبسيطي المعروف باسم ترشيح Čech . ^[2] يستخدم بناء مماثل تسلسلًا متداخلًا من مجمعات فيتوريس-ريبس المعروفة باسم ترشيح فيتوريس-ريبس . ^[3]

رسميًا، ضع في اعتبارك دالة ذات قيمة حقيقية على مركب تبسيطي غير متناقص على تسلسلات متزايدة من الوجوه، لذا كلما كان وجهًا في . إذن لكل مجموعة فرعية هي مركب فرعي لـ K ، وترتيب قيم على المبسطات في (وهو في الممارسة العملية دائمًا محدود) يحث على ترتيب على المركبات الفرعية التي تحدد الترشيح ${\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f(\sigma )\leq f(\tau )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle K}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K_{a}=f^{-1}((-\infty ,a])}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \emptyset =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}=K}$

عندما ، يحفز التضمين تماثلًا في مجموعات التماثل البسيطة لكل بُعد . مجموعات التماثل المستمرة هي صور هذه التماثلات، وأرقام بيتي المستمرة هي رتب تلك المجموعات. ^[4] تتطابق أرقام بيتي المستمرة لـ مع دالة الحجم ، وهي سلف التماثل المستمر. ^[5]${\displaystyle 0\leq i\leq j\leq n}$${\displaystyle K_{i}\hookrightarrow K_{j}}$ ${\displaystyle f_{p}^{i,j}:H_{p}(K_{i})\rightarrow H_{p}(K_{j})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{\text{th}}}$ ${\displaystyle p^{\text{th}}}$ ${\displaystyle \beta _{p}^{i,j}}$${\displaystyle p=0}$

يمكن تحويل أي مركب مفلتر على حقل عن طريق تحويل خطي يحافظ على الترشيح إلى ما يسمى بالشكل القياسي ، وهو مجموع مباشر محدد بشكل قياسي للمركب المفلتر من نوعين: مركب أحادي البعد مع تفاضل تافه ومركب ثنائي الأبعاد مع تشابه تافه . ^[6]${\displaystyle F}$${\displaystyle d(e_{t_{i}})=0}$${\displaystyle d(e_{s_{j}+r_{j}})=e_{r_{j}}}$

وحدة الثبات على مجموعة مرتبة جزئيًا هي مجموعة من مساحات المتجهات المفهرسة بواسطة ، مع خريطة خطية كلما ، مع تساوي الهوية و لـ . على نحو مكافئ، يمكننا اعتبارها مُستدِل من يعتبر كفئة إلى فئة مساحات المتجهات (أو - وحدات ). يوجد تصنيف لوحدات الثبات على حقل مفهرس بواسطة : الضرب ب يتوافق مع التحرك للأمام خطوة واحدة في وحدة الثبات. بديهيًا، تتوافق الأجزاء الحرة على الجانب الأيمن مع مولدات التماثل التي تظهر عند مستوى الترشيح ولا تختفي أبدًا، بينما تتوافق أجزاء الالتواء مع تلك التي تظهر عند مستوى الترشيح وتستمر لخطوات الترشيح (أو على نحو مكافئ، تختفي عند مستوى الترشيح ). ^{[7] [6]}${\displaystyle P}$${\displaystyle U_{t}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle u_{t}^{s}:U_{s}\to U_{t}}$${\displaystyle s\leq t}$${\displaystyle u_{t}^{t}}$${\displaystyle u_{t}^{s}\circ u_{s}^{r}=u_{t}^{r}}$${\displaystyle r\leq s\leq t}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {N} }$$${\displaystyle U\simeq \bigoplus _{i}x^{t_{i}}\cdot F[x]\oplus \left(\bigoplus _{j}x^{r_{j}}\cdot (F[x]/(x^{s_{j}}\cdot F[x]))\right).}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle r_{j}}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle s_{j}+r_{j}}$

كل من هاتين النظريتين تسمح لنا بتمثيل التماثل المستمر لمركب بسيط مفلتر بشكل فريد باستخدام رمز شريطي للاستمرارية أو رسم بياني للاستمرارية . يمثل الرمز الشريطي كل مولد مستمر بخط أفقي يبدأ عند مستوى الترشيح الأول حيث يظهر وينتهي عند مستوى الترشيح حيث يختفي، بينما يرسم رسم بياني للاستمرارية نقطة لكل مولد مع إحداثيات x الخاصة به لوقت الميلاد وإحداثيات y الخاصة به لوقت الوفاة. على نحو مكافئ، يتم تمثيل نفس البيانات بواسطة الشكل التقليدي لبارانيكوف ، ^[6] حيث يتم تمثيل كل مولد بقطعة تربط قيم الميلاد والوفاة المرسومة على خطوط منفصلة لكل منها . ${\displaystyle p}$

التماثل المستمر مستقر بمعنى دقيق، مما يوفر قوة ضد الضوضاء. مسافة عنق الزجاجة هي مقياس طبيعي على مساحة مخططات الثبات التي تعطى بواسطة حيث تتراوح على التطابقات. يؤدي الاضطراب الصغير في الترشيح المدخل إلى اضطراب صغير في مخطط الثبات الخاص به في مسافة عنق الزجاجة. من أجل الوضوح، ضع في اعتبارك الترشيح على مساحة متماثلة الشكل لمركب تبسيطي تحدده مجموعات المستويات الفرعية لدالة ترويض مستمرة . الخريطة التي تأخذ مخطط الثبات لتماثلها هي 1-Lipschitz فيما يتعلق بالمقياس - على الدوال ومسافة عنق الزجاجة على مخططات الثبات. أي، . ^[8]$${\displaystyle W_{\infty }(X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\sup _{x\in X}\Vert x-\varphi (x)\Vert _{\infty },}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle W_{\infty }(D(f),D(g))\leq \lVert f-g\rVert _{\infty }}$

توجد حزم برامج مختلفة لحساب فترات الثبات للترشيح المحدود. ^[9] تعتمد الخوارزمية الأساسية على جلب المركب المرشح إلى شكله التقليدي من خلال مصفوفات مثلثية علوية. ^[6]

حزمة البرامج	الخالق	أحدث إصدار	تاريخ الافراج عنه	رخصة البرمجيات [10]	المصدر المفتوح	لغة البرمجة	سمات
برنامج OpenPH	رودريجو ميندوزا سميث، جاريد تانر	0.0.1	25 أبريل 2019	أباتشي 2.0	نعم	ماتلاب ، كودا	تسريع وحدة معالجة الرسوميات
جافا بليكس	أندرو تاوز، ميكائيل فيجديمو جوهانسون، هنري آدامز	4.2.5	14 مارس 2016	مخصص	نعم	جافا ، ماتلاب
ديونيسوس	ديمتري موروزوف	2.0.8	24 نوفمبر 2020	BSD المعدل	نعم	ارتباطات C++ و Python
برسيوس	فيديت ناندا	4.0 بيتا		رخصة جنو العمومية	نعم	سي++
فات [11]	أولريش باور، مايكل كيربر، يان رينينجهاوس	1.4.1			نعم	سي++
ديفا	يان راينينجهاوس				نعم	سي++
جودي [12]	إينريا	3.4.0	15 ديسمبر 2020	معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا / GPLv3	نعم	ارتباطات C++ و Python
سي تي إل	ريان لويس	0.2		بي إس دي	نعم	سي++
فوم	أندرو تاوسز				نعم	ر
تي دي ايه	بريتاني تي فاسي، جيسو كيم، فابريزيو ليتشي، كليمنت ماريا، فينسنت روفريو	1.5	16 يونيو 2016		نعم	ر	يوفر واجهة R لـ GUDHI وDionysus وPHAT
ايرين	جريجوري هينسلمان	1.0.1	9 مارس 2019	رخصة جنو العمومية الإصدار 3	نعم	جوليا
الممزق	أولريش باور	1.0.1	15 سبتمبر 2016	معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا	نعم	سي++
حجرة صغيرة	هوبرت فاغنر	الإصدار التجريبي v0.8	مايو 2018	رخصة جنو العمومية	نعم	سي++	يتعامل مع صور كبيرة ثلاثية الأبعاد وثنائية الأبعاد بدرجات الرمادي (بيانات فوكسل قياسية)
مجموعة أدوات الطوبولوجيا	جوليان تيرني، غيوم فافيلير، جوشوا ليفين، تشارلز جوينت، مايكل ميشو	0.9.8	29 يوليو 2019	بي إس دي	نعم	روابط C++ و VTK و Python
ليبستيك	ستيفان هوبر	0.2	27 نوفمبر 2014	معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا	نعم	سي++
ريبس++	سيمون تشانغ، ومينجباي شياو، وهاو وانغ	1.0	مارس 2020	معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا	نعم	روابط CUDA و C++ و Python	تسريع وحدة معالجة الرسوميات

• تحليل البيانات الطوبولوجية
• الطوبولوجيا الحسابية