تحليل البيانات الطوبولوجية

في الرياضيات التطبيقية ، يُعدّ تحليل البيانات الطوبولوجي ( TDA ) منهجًا لتحليل مجموعات البيانات باستخدام تقنيات من علم الطوبولوجيا . ويُمثّل استخلاص المعلومات من مجموعات البيانات عالية الأبعاد وغير المكتملة والمشوشة تحديًا كبيرًا. يُوفّر تحليل البيانات الطوبولوجي إطارًا عامًا لتحليل هذه البيانات بطريقة لا تتأثر بالمقياس المُختار ، كما يُوفّر تقليلًا للأبعاد ومقاومة للتشويش. إضافةً إلى ذلك، يستمدّ هذا المنهج خاصية الدوال ، وهي مفهوم أساسي في الرياضيات الحديثة، من طبيعته الطوبولوجية، مما يسمح له بالتكيّف مع الأدوات الرياضية الحديثة.

الدافع الأساسي هو دراسة شكل البيانات. وقد جمعت تقنية تحليل البيانات الطوبولوجية (TDA) بين الطوبولوجيا الجبرية وأدوات أخرى من الرياضيات البحتة لإتاحة دراسة "الشكل" بدقة رياضية. الأداة الرئيسية هي التماثل المستمر ، وهو تطبيق مُكيَّف للتماثل على بيانات السحابة النقطية . وقد طُبِّق التماثل المستمر على أنواع عديدة من البيانات في مجالات متنوعة. علاوة على ذلك، فإن أساسه الرياضي ذو أهمية نظرية بالغة. تجعل الخصائص الفريدة لتقنية تحليل البيانات الطوبولوجية منها جسراً واعداً بين الطوبولوجيا والهندسة.

وصف بارانيكوف ^{[ 11 ]} أول خوارزمية على جميع الحقول للتجانس المستمر في إطار الطوبولوجيا الجبرية من خلال الاختزال إلى الشكل المتعارف عليه بواسطة المصفوفات المثلثية العليا. خوارزمية التجانس المستمر على${\displaystyle F_{2}}$قدّم إيدلسبرونر وآخرون ^{[ 8 ]} خوارزمية عملية لحساب التماثل المستمر على جميع الحقول. ^{[ 10 ]} يقدم كتاب إيدلسبرونر وهارير إرشادات عامة حول الطوبولوجيا الحاسوبية. ^{[ 19 ]}

إحدى المشكلات التي تبرز في الحساب هي اختيار المعقد. يبدو معقد تشيك ومعقد فيتوريس-ريبس الأكثر طبيعية للوهلة الأولى؛ إلا أن حجمهما يزداد بسرعة مع ازدياد عدد نقاط البيانات. يُفضّل معقد فيتوريس-ريبس على معقد تشيك لأن تعريفه أبسط، بينما يتطلب تعريف معقد تشيك جهدًا إضافيًا في فضاء متري عام محدود. وقد دُرست طرق فعّالة لخفض التكلفة الحسابية للتجانس. على سبيل المثال، يُستخدم معقد ألفا ومعقد الشاهد لتقليل بُعد وحجم المعقدات. ^{[ 20 ]}

أظهرت نظرية مورس المنفصلة مؤخرًا إمكانات واعدة في مجال التماثل الحسابي، لقدرتها على اختزال مُركّب تبسيطي مُعطى إلى مُركّب خلوي أصغر بكثير، وهو مُتماثل مع المُركّب الأصلي. ^{[ 21 ]} يُمكن إجراء هذا الاختزال أثناء بناء المُركّب باستخدام نظرية الماترويد ، مما يُؤدي إلى تحسينات إضافية في الأداء. ^{[ 22 ]} كما تُوفّر خوارزمية حديثة أخرى الوقت بتجاهل فئات التماثل ذات الاستمرارية المنخفضة. ^{[ 23 ]}

تتوفر العديد من حزم البرامج، مثل javaPlex و Dionysus و Perseus و PHAT و DIPHA و GUDHI و Ripser و TDAstats . وقد أجرى أوتر وآخرون ^{[ 24 ]} مقارنة بين هذه الأدوات. أما Giotto-tda فهي حزمة بايثون مخصصة لدمج تحليل البيانات الزمني (TDA) في سير عمل التعلم الآلي باستخدام مكتبة scikit-learn.واجهة برمجة التطبيقات (API). حزمة TDA في لغة R قادرة على حساب مفاهيم حديثة مثل مفهوم المشهد وتقدير مسافة النواة. ^{[ 25 ]} تُعدّ مجموعة أدوات الطوبولوجيا (Topology ToolKit) متخصصة في البيانات المتصلة المُعرّفة على مشعبات منخفضة الأبعاد (1 أو 2 أو 3)، كما هو شائع في التصور العلمي . تم تحسين Cubicle لبيانات الصور الرمادية الكبيرة (بحجم غيغابايت) في الأبعاد 1 أو 2 أو 3 باستخدام المجمعات المكعبة ونظرية مورس المنفصلة . تستخدم حزمة R أخرى، TDAstats ، مكتبة Ripser لحساب التماثل المستمر. ^{[ 26 ]}

يستحيل تمثيل البيانات عالية الأبعاد بصريًا بشكل مباشر. وقد طُورت العديد من الطرق لاستخلاص بنية منخفضة الأبعاد من مجموعة البيانات، مثل تحليل المكونات الرئيسية والتحجيم متعدد الأبعاد . ^{[ 27 ]} ومع ذلك، من المهم ملاحظة أن المشكلة نفسها غير محددة جيدًا، نظرًا لإمكانية وجود العديد من السمات الطوبولوجية المختلفة في مجموعة البيانات نفسها. لذا، تُعد دراسة تمثيل الفضاءات عالية الأبعاد بصريًا ذات أهمية مركزية لتحليل البيانات الطوبولوجي، على الرغم من أنها لا تتضمن بالضرورة استخدام التماثل المستمر. ومع ذلك، بُذلت محاولات حديثة لاستخدام التماثل المستمر في تمثيل البيانات بصريًا. ^{[ 28 ]}

اقترح كارلسون وآخرون طريقة عامة تُسمى MAPPER . ^{[ 29 ]} وهي تستند إلى فكرة جان بيير سير بأن التغطية تحافظ على التماثل. ^{[ 30 ]} وفيما يلي صياغة معممة لـ MAPPER:

يترك${\displaystyle X}$و${\displaystyle Z}$لتكن فضاءات طوبولوجية ولتكن${\displaystyle f\colon X\to Z}$لتكن دالة متصلة.${\displaystyle \mathbb {U} =\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ليكن غطاءً مفتوحًا محدودًا من${\displaystyle Z}$إن مخرجات برنامج MAPPER هي بمثابة العصب المسؤول عن غطاء السحب الخلفي${\textstyle M(\mathbb {U} ,f):=N(f^{-1}(\mathbb {U} ))}$حيث يتم تقسيم كل صورة أصلية إلى مكوناتها المتصلة. ^{[ 28 ]} هذا مفهوم عام للغاية، ومنه يُعد كل من الرسم البياني لريب ^{[ 31 ]} وأشجار الدمج حالات خاصة.

هذا ليس التعريف الأصلي تمامًا. ^{[ 29 ]} يختار كارلسون وآخرون${\displaystyle Z}$يكون${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$وتغطيتها بمجموعات مفتوحة بحيث لا يتقاطع منها أكثر من مجموعتين. ^{[ 3 ]} هذا القيد يعني أن الناتج يكون على شكل شبكة معقدة . ولأن طوبولوجيا سحابة النقاط المحدودة بسيطة، تُستخدم طرق التجميع (مثل الربط الأحادي ) لإنتاج ما يُماثل المجموعات المتصلة في الصورة الأصلية.${\displaystyle f^{-1}(U)}$عند تطبيق MAPPER على البيانات الفعلية.

رياضياً، يُعدّ MAPPER شكلاً مختلفاً من أشكال رسم ريب البياني . إذا كان${\textstyle M(\mathbb {U} ,f)}$إذا كان أحادي البعد على الأكثر، فعندئذٍ لكل${\displaystyle i\geq 0}$،$${\displaystyle H_{i}(X)\simeq H_{0}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i})\oplus H_{1}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i-1}).}$$^{[ 32 ]} للمرونة الإضافية عيوبها أيضًا. إحدى المشكلات هي عدم الاستقرار، إذ قد يؤدي أي تغيير في اختيار الغطاء إلى تغيير كبير في مخرجات الخوارزمية. ^{[ 33 ]} وقد بُذلت جهود للتغلب على هذه المشكلة. ^{[ 28 ]}

يمكن الاطلاع على ثلاثة تطبيقات ناجحة لبرنامج MAPPER في دراسة كارلسون وآخرون ^{[ 34 ]} . ويشير تعليق ج. كاري على التطبيقات الواردة في هذه الدراسة إلى أن "وجود التوهجات أو الخيوط المتشعبة سمة مشتركة ذات أهمية في التطبيقات". ^{[ 35 ]}

يتوفر تطبيق مجاني لبرنامج MAPPER، من تأليف دانيال مولنر وأرافينداكشان بابو، على الإنترنت . كما يشكل برنامج MAPPER أساس منصة الذكاء الاصطناعي الخاصة بشركة أياسدي.

يُعدّ الثبات متعدد الأبعاد ذا أهمية بالغة في تحليل البيانات الزمنية (TDA). يبرز هذا المفهوم نظريًا وعمليًا. وقد أُجريت أولى الدراسات حول الثبات متعدد الأبعاد في المراحل الأولى لتطوير تحليل البيانات الزمنية. ^{[ 36 ]} قدّم كارلسون-زوموروديان نظرية الثبات متعدد الأبعاد في ^{[ 37 ]} ، وبالتعاون مع سينغ ^{[ 38 ]،} قدّما استخدام أدوات من الجبر الرمزي ( طرق أساس غروبنر ) لحساب وحدات MPH. يُعرّفان الثبات متعدد الأبعاد بمعاملات n على أنه${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$وحدة متدرجة على حلقة متعددة الحدود في n متغيرًا. تُطبَّق أدوات من الجبر التبادلي والتماثلي لدراسة الاستمرارية متعددة الأبعاد في أعمال هارينغتون-أوتر-شينك-تيلمان. ^{[ 39 ]} أول تطبيق يظهر في الأدبيات هو طريقة لمقارنة الأشكال، مشابهة لاختراع TDA. ^{[ 40 ]}

تعريف وحدة استمرارية ذات أبعاد n في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هو ^{[ 35 ]}

• فضاء المتجهات${\displaystyle V_{s}}$يتم تخصيصها لكل نقطة في${\displaystyle s=(s_{1},\ldots ,s_{n})}$
• رسم خريطة${\displaystyle \rho _{s}^{t}\colon V_{s}\to V_{t}}$يتم تعيينه إذا${\displaystyle s\leq t}$(${\displaystyle s_{i}\leq t_{i},i=1,\ldots ,n)}$
• الخرائط تلبي${\displaystyle \rho _{r}^{t}=\rho _{s}^{t}\circ \rho _{r}^{s}}$للجميع${\displaystyle r\leq s\leq t}$

تجدر الإشارة إلى وجود خلافات حول تعريف الاستمرارية متعددة الأبعاد. ^{[ 35 ]}

من مزايا الاستمرارية أحادية البعد إمكانية تمثيلها بمخطط أو رمز شريطي. مع ذلك، لا توجد ثوابت كاملة منفصلة لوحدات الاستمرارية متعددة الأبعاد. ^{[ 41 ]} والسبب الرئيسي في ذلك هو أن بنية مجموعة العناصر غير القابلة للتحليل معقدة للغاية وفقًا لنظرية غابرييل في نظرية تمثيلات السهم، ^{[ 42 ]} على الرغم من إمكانية تحليل وحدة استمرارية منتهية التوليد ذات بُعد n بشكل فريد إلى مجموع مباشر من العناصر غير القابلة للتحليل بفضل نظرية كرول-شميدت. ^{[ 43 ]}

ومع ذلك، فقد تم التوصل إلى العديد من النتائج. قدم كارلسون وزوموروديان مفهوم الثبات الرتبي .${\displaystyle \rho _{M}(u,v)}$، والتي تُعرَّف بأنها${\displaystyle \rho _{M}(u,v)=\mathrm {rank} (x^{u-v}\colon M_{u}\to M_{v})}$، حيث${\displaystyle M}$هي وحدة نمطية من الرتبة n ذات توليد محدود. في بُعد واحد، تُكافئ الرمز الشريطي. في الأدبيات، يُشار إلى ثابت الرتبة غالبًا باسم أعداد بيتي المستمرة (PBNs). ^{[ 19 ]} في العديد من الأعمال النظرية، استخدم المؤلفون تعريفًا أكثر تقييدًا، وهو نظير من استمرارية مجموعة المستوى الفرعي. على وجه التحديد، أعداد بيتي المستمرة لدالة ما${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k}}$يتم تحديدها بواسطة الدالة${\displaystyle \beta _{f}\colon \Delta ^{+}\to \mathrm {N} }$، يأخذ كل${\displaystyle (u,v)\in \Delta ^{+}}$ل${\displaystyle \beta _{f}(u,v):=\mathrm {rank} (H(X(f\leq u)\to H(X(f\leq v)))}$، أين${\displaystyle \Delta ^{+}:=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{k}:u\leq v\}}$و${\displaystyle X(f\leq u):=\{x\in X:f(x)\leq u\}}$.

تتضمن بعض الخصائص الأساسية الرتابة والقفزة القطرية. ^{[ 44 ]} ستكون أعداد بيتي المستمرة محدودة إذا${\displaystyle X}$هي فضاء فرعي مضغوط وقابل للانكماش محليًا من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$[ ^{45 ]​}

باستخدام طريقة التوريق، يمكن تحليل شبكات PBN ذات البعد k إلى عائلة من شبكات PBN ذات البعد 1 عن طريق استنتاج الأبعاد. ^{[ 46 ]} وقد أدت هذه الطريقة أيضًا إلى إثبات استقرار شبكات PBN متعددة الأبعاد. ^{[ 47 ]} لا تحدث انقطاعات شبكات PBN إلا عند نقاط محددة.${\displaystyle (u,v)(u\leq v)}$حيث إما${\displaystyle u}$هي نقطة انقطاع${\displaystyle \rho _{M}(\star ,v)}$أو ${\displaystyle v}$هي نقطة انقطاع${\displaystyle \rho (u,\star )}$بافتراض أن${\displaystyle f\in C^{0}(X,\mathbb {R} ^{k})}$و${\displaystyle X}$هو فضاء طوبولوجي مضغوط وقابل للتقسيم إلى مثلثات. ^{[ 48 ]}

يُعرَّف الفضاء المستمر، وهو تعميم للمخطط المستمر، بأنه المجموعة المتعددة لجميع النقاط ذات التعددية الأكبر من صفر والقطر. ^{[ 49 ]} وهو يوفر تمثيلاً مستقراً وكاملاً لشبكات PBN. ويحاول عمل جارٍ لكارلسون وآخرون تقديم تفسير هندسي للتجانس المستمر، مما قد يُسهم في فهم كيفية دمج نظرية التعلم الآلي مع تحليل البيانات الطوبولوجية. ^{[ 50 ]}

تم ابتكار أول خوارزمية عملية لحساب الاستمرارية متعددة الأبعاد في وقت مبكر جدًا. ^{[ 51 ]} بعد ذلك، تم اقتراح العديد من الخوارزميات الأخرى، استنادًا إلى مفاهيم مثل نظرية مورس المنفصلة ^{[ 52 ]} وتقدير العينات المحدودة. ^{[ 53 ]}

يُشار غالبًا إلى النموذج القياسي في تحليل البيانات الزمنية باسم استمرارية المستوى الفرعي . وبصرف النظر عن الاستمرارية متعددة الأبعاد، فقد أُجريت العديد من الدراسات لتوسيع نطاق هذه الحالة الخاصة.

تتمثل إحدى مزايا نظرية الفئات في قدرتها على الارتقاء بالنتائج الملموسة إلى مستوى أعلى، مُظهرةً العلاقات بين الأشياء التي تبدو غير مترابطة. يقدم بيتر بوبينيك وآخرون ^{[ 64 ]} مقدمة موجزة لنظرية الفئات المُلائمة لتحليل البيانات الزمني.

تُعدّ نظرية الفئات لغة الجبر الحديث، وقد استُخدمت على نطاق واسع في دراسة الهندسة الجبرية والطوبولوجيا. وقد لوحظ أن "الملاحظة الأساسية في ^{[ 10 ]} هي أن مخطط الاستمرارية الناتج عن ^{[ 8 ]} يعتمد فقط على البنية الجبرية التي يحملها هذا المخطط." ^{[ 65 ]} وقد أثبت استخدام نظرية الفئات في تحليل البيانات الطوبولوجية جدواه. ^{[ 64 ] [ 65 ]}

استنادًا إلى التدوينات الواردة في بوبينيك وآخرون، ^{[ 65 ]} فئة الفهرسة${\textstyle P}$أي مجموعة تم طلبها مسبقًا (ليس بالضرورة)${\displaystyle \mathbb {N} }$أو${\displaystyle \mathbb {R} }$)، الفئة المستهدفة${\displaystyle D}$أي فئة (بدلاً من الفئة الشائعة الاستخدام)${\textstyle \mathrm {Vect} _{\mathbb {F} }}$), والدوال${\textstyle P\to D}$تُسمى هذه الوحدات بوحدات الثبات المعممة في${\displaystyle D}$، زيادة${\textstyle P}$.

إحدى مزايا استخدام نظرية الفئات في تحليل البيانات النظرية هي فهم أوضح للمفاهيم واكتشاف علاقات جديدة بين البراهين. لنأخذ مثالين للتوضيح. يُعد فهم العلاقة بين التداخل والمطابقة ذا أهمية بالغة، إذ كانت المطابقة هي الطريقة المستخدمة في البداية (معدلة من نظرية مورس). يمكن الاطلاع على ملخص للأعمال في فين دي سيلفا وآخرون ^{[ 66 ]} . يمكن إثبات العديد من النظريات بسهولة أكبر في سياق أكثر بديهية. ^{[ 63 ]} مثال آخر هو العلاقة بين بناء مُركبات مختلفة من سُحب النقاط. لُوحظ منذ زمن طويل وجود علاقة بين مُركبات تشيك وفيتوريس-ريبس. على وجه التحديد،${\displaystyle V_{r}(X)\subset C_{{\sqrt {2}}r}(X)\subset V_{2r}(X)}$[ ^{67 ]} يمكن رؤية العلاقة الأساسية بين مركبي تشيك وريبس بشكل أوضح بكثير في اللغة التصنيفية ^{. [ 66 ]}

تُسهم لغة نظرية الفئات أيضًا في صياغة النتائج بمصطلحات مفهومة لدى المجتمع الرياضي الأوسع. يُستخدم بُعد الاختناق على نطاق واسع في تحليل البيانات الانتقالية (TDA) نظرًا لنتائجه المتعلقة بالاستقرار فيما يخص بُعد الاختناق. ^{[ 13 ] [ 16 ]} في الواقع، يُعد بُعد التداخل العنصر النهائي في فئة المجموعات المرتبة جزئيًا للمقاييس المستقرة على وحدات الثبات متعددة الأبعاد في حقل أولي . ^{[ 63 ] [ 68 ]}

تُعدّ الحزم ، وهي مفهوم محوري في الهندسة الجبرية الحديثة ، وثيقة الصلة بنظرية الفئات. وبشكل عام، تُمثّل الحزم الأداة الرياضية لفهم كيفية تأثير المعلومات المحلية على المعلومات العالمية. يعتبر جاستن كاري استمرارية مجموعة المستوى بمثابة دراسة ألياف الدوال المتصلة. وتتشابه الكائنات التي يدرسها إلى حد كبير مع تلك التي درسها برنامج MAPPER، ولكن مع نظرية الحزم كأساس نظري. ^{[ 35 ]} على الرغم من عدم وجود أي إنجاز بارز في نظرية تحليل البيانات الزمنية (TDA) باستخدام نظرية الحزم حتى الآن، إلا أنها واعدة نظرًا لوجود العديد من النظريات الرائعة في الهندسة الجبرية المتعلقة بنظرية الحزم. على سبيل المثال، يتمثل أحد الأسئلة النظرية الطبيعية في ما إذا كانت طرق الترشيح المختلفة تُنتج نفس المخرجات. ^{[ 69 ]}

يُعدّ الاستقرار ذا أهمية مركزية في تحليل البيانات، نظرًا لأن البيانات الحقيقية تحمل تشويشًا. وباستخدام نظرية الفئات، ميّز بوبينيك وزملاؤه بين نظريات الاستقرار المرن والاستقرار الصلب، وأثبتوا أن الحالات المرنة هي حالات رسمية. ^{[ 65 ]} وعلى وجه التحديد، فإن سير العمل العام لتحليل البيانات الزمني هو

بيانات

${\displaystyle {\stackrel {F}{\longrightarrow }}}$

وحدة استمرارية طوبولوجية

${\displaystyle {\stackrel {H}{\longrightarrow }}}$

وحدة استمرارية جبرية

${\displaystyle {\stackrel {J}{\longrightarrow }}}$

ثابت منفصل

تنص نظرية الاستقرار المرن على أن${\displaystyle HF}$هي دالة متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز ، وتؤكد نظرية الاستقرار الصارمة أن${\displaystyle J}$هي متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز.

تُستخدم مسافة الاختناق على نطاق واسع في تحليل البيانات الزمنية. وتنص نظرية التساوي في القياس على أن مسافة التداخل${\displaystyle d_{I}}$يساوي مسافة عنق الزجاجة. ^{[ 63 ]} وقد قام بوبينيك وآخرون بتجريد التعريف ليقتصر على العلاقة بين الدوال.${\displaystyle F,G\colon P\to D}$ متى${\textstyle P}$مُجهَّز بإسقاط شبه خطي أو عائلة إسقاط فوق خطي، والتي لا تزال تحتفظ بخاصية شبه القياس. ^{[ 65 ]} بالنظر إلى الخصائص الرائعة لمسافة التداخل، ^{[ 70 ]} نقدم هنا التعريف العام لمسافة التداخل (بدلاً من التعريف الأول المُقدَّم): ^{[ 13 ]} ليكن${\displaystyle \Gamma ,K\in \mathrm {Trans_{P}} }$(دالة من${\textstyle P}$ل${\textstyle P}$وهو رتيب ويرضي${\displaystyle x\leq \Gamma (x)}$ للجميع${\textstyle x\in P}$أ).${\displaystyle (\Gamma ,K)}$-يتكون التداخل بين F و G من تحويلات طبيعية${\displaystyle \varphi \colon F\Rightarrow G\Gamma }$و${\displaystyle \psi \colon G\Rightarrow FK}$بحيث${\displaystyle (\psi \Gamma )=\varphi F\eta _{K\Gamma }}$و${\displaystyle (\varphi \Gamma )=\psi G\eta _{\Gamma K}}$.

النتيجتان الرئيسيتان هما ^{[ 65 ]}

• يترك${\textstyle P}$ليكن مجموعة مرتبة مسبقًا ذات إسقاط شبه خطي أو عائلة فوق خطية.${\textstyle H:D\to E}$ليكن دالة بين فئات عشوائية${\textstyle D,E}$ثم لأي دالتين${\textstyle F,G\colon P\to D}$لدينا${\textstyle d_{I}(HF,HG)\leq d_{I}(F,G)}$.
• يترك${\textstyle P}$ليكن مجموعة جزئية مرتبة من فضاء متري${\textstyle Y}$،${\textstyle X}$ليكن فضاءً طوبولوجياً. وليكن${\textstyle f,g\colon X\to Y}$(ليس بالضرورة أن تكون متصلة) دوال، و${\textstyle F,G}$ليكون مخطط الاستمرارية المقابل. ثم${\displaystyle d_{I}(F,G)\leq d_{\infty }(f,g):=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$.

تلخص هاتان النتيجتان العديد من النتائج المتعلقة باستقرار نماذج مختلفة من الاستمرارية.

للاطلاع على نظرية استقرار الاستمرارية متعددة الأبعاد، يرجى الرجوع إلى القسم الفرعي الخاص بالاستمرارية.

تُعدّ نظرية البنية ذات أهمية مركزية في تحليل البيانات الطوبولوجية؛ وكما علّق جي. كارلسون، "إنّ ما يجعل علم التماثل مفيدًا كمُميّز بين الفضاءات الطوبولوجية هو وجود نظرية تصنيف للمجموعات الأبيلية المولدة نهائيًا". ^{[ 3 ]} (انظر النظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المولدة نهائيًا ).

الحجة الرئيسية المستخدمة في برهان نظرية البنية الأصلية هي نظرية البنية القياسية للوحدات المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي . ^{[ 10 ]} ومع ذلك، تفشل هذه الحجة إذا كانت مجموعة الفهرسة${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$[ ^{3 ]​}

بشكل عام، لا يمكن تقسيم كل وحدة استمرارية إلى فترات. ^{[ 71 ]} بُذلت محاولات عديدة لتخفيف قيود نظرية البنية الأصلية. حالة وحدات الاستمرارية ذات الأبعاد المحدودة نقطيًا والمفهرسة بواسطة مجموعة فرعية محدودة محليًا من${\displaystyle \mathbb {R} }$تم حلها بناءً على عمل ويب. ^{[ 72 ]} أما النتيجة الأبرز فهي تلك التي حققها كرولي-بوفي، والتي حلت مسألة${\displaystyle \mathbb {R} }$تنص نظرية كراولي-بوي على أن أي وحدة استمرارية محدودة الأبعاد نقطيًا هي مجموع مباشر لوحدات الفترات. ^{[ 73 ]}

لفهم تعريف نظريته، لا بد من تقديم بعض المفاهيم. الفترة في${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$يُعرَّف على أنه مجموعة جزئية${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$امتلاك الخاصية التي إذا${\displaystyle r,t\in I}$وإذا كان هناك${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$بحيث${\displaystyle r\leq s\leq t}$، ثم${\displaystyle s\in I}$كذلك. وحدة فاصل زمني${\displaystyle k_{I}}$يُخصص لكل عنصر${\displaystyle s\in I}$الفضاء المتجهي${\displaystyle k}$ويُسند فضاء المتجهات الصفرية إلى العناصر الموجودة فيه.${\displaystyle \mathbb {R} \setminus I}$جميع الخرائط${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$هي الخريطة الصفرية، إلا إذا${\displaystyle s,t\in I}$و${\displaystyle s\leq t}$وفي هذه الحالة${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$هي خريطة الهوية. ^{[ 35 ]} وحدات الفترات غير قابلة للتحليل. ^{[ 74 ]}

على الرغم من أن نتيجة كراولي-بوفي تُعدّ نظريةً بالغة الأهمية، إلا أنها لا تزال غير قابلة للتطبيق على حالة q-tame. ^{[ 71 ]} وحدة الثبات تكون q-tame إذا كانت رتبة${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$محدود للجميع${\displaystyle s<t}$توجد أمثلة على وحدات استمرارية q-tame التي لا تكون محدودة نقطيًا. ^{[ 75 ]} ومع ذلك، يتضح أن نظرية بنية مماثلة تظل سارية إذا تمت إزالة السمات الموجودة فقط عند قيمة فهرس واحدة. ^{[ 74 ]} ويتحقق ذلك لأن الأجزاء ذات الأبعاد اللانهائية عند كل قيمة فهرس لا تستمر، نظرًا لشرط الرتبة المحدودة. ^{[ 76 ]} رسميًا، الفئة القابلة للملاحظة${\displaystyle \mathrm {Ob} }$يُعرَّف بأنه${\displaystyle \mathrm {Pers} /\mathrm {Eph} }$، حيث${\displaystyle \mathrm {Eph} }$يشير إلى الفئة الفرعية الكاملة لـ${\displaystyle \mathrm {Pers} }$التي تمثل عناصرها الوحدات النمطية المؤقتة (${\displaystyle \rho _{s}^{t}=0}$حينما${\displaystyle s<t}$). ^{[ 74 ]}

لاحظ أن النتائج الموسعة المذكورة هنا لا تنطبق على استمرارية متعرجة، لأن نظير وحدة استمرارية متعرجة على${\displaystyle \mathbb {R} }$ليس واضحاً على الفور.

البيانات الحقيقية محدودة دائمًا، لذا تتطلب دراستها مراعاة العشوائية. يُمكّننا التحليل الإحصائي من فصل السمات الحقيقية للبيانات عن التشوهات الناتجة عن الضوضاء العشوائية. لا يمتلك التماثل المستمر آليةً جوهريةً للتمييز بين السمات ذات الاحتمالية المنخفضة والسمات ذات الاحتمالية العالية.

إحدى طرق تطبيق الإحصاء على تحليل البيانات الطوبولوجية هي دراسة الخصائص الإحصائية للسمات الطوبولوجية لسحب النقاط. وتقدم دراسة المجمعات التبسيطية العشوائية بعض الأفكار حول الطوبولوجيا الإحصائية. ويقدم بحث كاثرين تيرنر وآخرون ^{[ 77 ]} ملخصًا للأعمال في هذا المجال.

ثمة طريقة ثانية تتمثل في دراسة التوزيعات الاحتمالية على فضاء الاستمرارية. فضاء الاستمرارية${\displaystyle B_{\infty }}$يكون${\displaystyle \coprod _{n}B_{n}/{\backsim }}$، أين${\displaystyle B_{n}}$هي مساحة جميع الرموز الشريطية التي تحتوي بالضبط${\displaystyle n}$الفترات والمكافئات هي${\displaystyle \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n},y_{n}]\}\backsim \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n-1},y_{n-1}]\}}$لو${\displaystyle x_{n}=y_{n}}$[ ^{78 ]} هذا الفضاء معقد إلى حد ما؛ فعلى سبيل المثال، لا يكتمل وفقًا لمقياس عنق الزجاجة. أول محاولة لدراسته كانت من قبل يوري ميليكو وآخرون. ^{[ 79 ] فضاء} مخططات الاستمرارية${\displaystyle D_{p}}$يُعرّف في ورقتهم البحثية على النحو التالي:$${\displaystyle D_{p}:=\left\{d\mid \sum _{x\in d}\left(2\inf _{y\in \Delta }\lVert x-y\rVert \right)^{p}<\infty \right\}}$$أين${\displaystyle \Delta }$هو الخط القطري في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. من العقارات الجيدة ذلك${\displaystyle D_{p}}$كاملة وقابلة للفصل في مقياس واسرشتين${\displaystyle W_{p}(u,v)=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (u,v)}\int _{\mathbb {X} \times \mathbb {X} }\rho ^{p}(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p}}$يمكن تعريف التوقع والتباين والاحتمال الشرطي وفقًا لمفهوم فريشيه . وهذا يسمح بنقل العديد من الأدوات الإحصائية إلى تحليل البيانات الزمنية. وتُعدّ الأعمال المتعلقة باختبار دلالة الفرضية الصفرية ^{[ 80 ]} ، وفترات الثقة ^{[ 81 ]} ، والتقديرات القوية ^{[ 82 ]} خطواتٍ بارزة في هذا الصدد.

ثمة طريقة ثالثة تتمثل في النظر مباشرة في علم التماثل للفضاء الاحتمالي أو الأنظمة الإحصائية، والتي تسمى هياكل المعلومات وتتكون أساسًا من الثلاثية (${\displaystyle \Omega ,\Pi ,P}$)، فضاء العينة ، المتغيرات العشوائية وقوانين الاحتمالات. ^{[ 83 ] [ 84 ]} تُعتبر المتغيرات العشوائية بمثابة تقسيمات للاحتمالات الذرية n (تُرى على أنها احتمال (n-1)-بسيط،${\displaystyle |\Omega |=n}$) على شبكة التقسيمات (${\displaystyle \Pi _{n}}$تُوفّر المتغيرات العشوائية أو وحدات الدوال القابلة للقياس مُركّبات السلسلة المُشتركة، بينما يُعتبر الحد المُشترك بمثابة الجبر الهومولوجي العام الذي اكتشفه جيرهارد هوخشيلد لأول مرة ، مع فعل يساري يُنفّذ فعل التكييف. يتوافق شرط الدورة المُشتركة الأول مع قاعدة السلسلة للإنتروبيا، مما يسمح باشتقاق إنتروبيا شانون بشكل فريد حتى الثابت الضربي، باعتبارها فئة التماثل الأولى. يُعمّم النظر في فعل يساري مُشوّه الإطار ليشمل إنتروبيات تساليس. يُعدّ تماثل المعلومات مثالًا على الطوبولوجيا الحلقية. تظهر المعلومات المُتبادلة متعددة المتغيرات من الرتبة k في تعبيرات الحدود المُشتركة، ويؤدي اختفاؤها، المرتبط بشرط الدورة المُشتركة، إلى شروط مُكافئة للاستقلال الإحصائي. ^{[ 85 ]} تُؤدي القيم الدنيا للمعلومات المُتبادلة، والتي تُسمى أيضًا بالتآزر، إلى تكوينات استقلال مثيرة للاهتمام تُشابه الروابط الهوموتوبية. نظرًا لتعقيدها التوافقي، لم يتم دراسة سوى الحالة الفرعية التبسيطية للتماثل وبنية المعلومات على البيانات. عند تطبيقها على البيانات، تُحدد أدوات علم التماثل الكمي الارتباطات والاستقلالات الإحصائية، بما في ذلك سلاسل ماركوف والاستقلال الشرطي ، في حالة المتغيرات المتعددة. ^{[ 86 ]} والجدير بالذكر أن المعلومات المتبادلة تُعمم معامل الارتباط والتباين ليشمل الارتباطات الإحصائية غير الخطية. طُوّرت هذه المناهج بشكل مستقل ، وترتبط بشكل غير مباشر فقط بأساليب الاستمرارية، ولكن يمكن فهمها بشكل عام في الحالة التبسيطية باستخدام نظرية هو كو تين التي تُثبت وجود تطابق أحادي بين دوال المعلومات المتبادلة ودالة قابلة للقياس لمجموعة ذات عامل تقاطع، وذلك لبناء الهيكل العظمي لمركب تشيك . يُقدم علم التماثل الكمي للمعلومات تفسيرًا وتطبيقًا مباشرًا في مجال علم الأعصاب (نظرية التجميع العصبي والإدراك النوعي ^{[ 87 ]} )، والفيزياء الإحصائية، والشبكات العصبية العميقة التي تُفرض بنيتها وخوارزمية تعلمها بواسطة مجموعة من المتغيرات العشوائية وقاعدة سلسلة المعلومات. ^{[ 88 ]}

تُعدّ مناظر الثبات، التي قدّمها بيتر بوبينيك، طريقةً مختلفةً لتمثيل الرموز الشريطية، وهي أكثر ملاءمةً للتحليل الإحصائي. ^{[ 89 ]} منظر الثبات لوحدة نمطية ثابتة${\displaystyle M}$يتم تعريفها كدالة${\displaystyle \lambda$ :\mathbb {N} \times \mathbb {R} \to {\bar {\mathbb {R} }}} ,${\displaystyle \lambda (k,t):=\sup(m\geq 0\mid \beta ^{t-m,t-m}\geq k)}$، أين${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$يشير إلى خط الأعداد الحقيقية الممتد و${\displaystyle \beta ^{a,b}=\mathrm {dim} (\mathrm {im} (M(a\leq b)))}$تتميز فضاءات خرائط الاستمرارية بخصائص ممتازة: فهي ترث جميع مزايا تمثيل الباركود (الاستقرار، سهولة التمثيل، إلخ)، مع إمكانية تعريف الكميات الإحصائية بسهولة، كما يمكن التغلب على بعض المشكلات التي وردت في عمل ي. ميليكو وآخرون، مثل عدم تفرد التوقعات ^{[ 79 ]} . وتتوفر خوارزميات فعالة للحساب باستخدام خرائط الاستمرارية ^{[ 90 ]} . وثمة نهج آخر يتمثل في استخدام الاستمرارية المُعدّلة، وهي استمرارية الصورة، واستمرارية النواة، واستمرارية النواة المشتركة ^{[ 91 ] .}

• تقليل الأبعاد
• استخراج البيانات
• رؤية الحاسوب
• الطوبولوجيا الحاسوبية
• نظرية مورس المنفصلة
• تحليل الشكل (الهندسة الرقمية)
• نظرية الحجم
• الطوبولوجيا الجبرية
• التعلم العميق الطوبولوجي