معادلة بواسون-بولتزمان

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 54 صور
الموسوعة الحرة

تصف معادلة بواسون -بولتزمان توزيع الجهد الكهربائي في المحلول بوجود سطح واحد أو أكثر مشحون. هذا التوزيع مهم لتحديد كيفية تأثير التفاعلات الكهروستاتيكية على الجزيئات في المحلول.

يتم التعبير عنها كمعادلة تفاضلية للجهد الكهربائيψ{\displaystyle \psi }، وهو ما يعتمد على سماحية المذيبε{\displaystyle \varepsilon }درجة حرارة المحلولتي{\displaystyle T}، ومتوسط ​​تركيز كل نوع من أنواع الأيوناتجأنا0{\displaystyle c_{i}^{0}}:

∇2ψ=-1ε∑أناجأنا0qأناخبرة⁡(-qأناψ(x،y،z)كبتي){\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-{\frac {1}{\varepsilon }}\sum _{i}c_{i}^{0}q_{i}\exp \left({\frac {-q_{i}\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}\right)}

تُشتق معادلة بواسون-بولتزمان باستخدام افتراضات المجال المتوسط . [ 1 ] [ 2 ] ومن معادلة بواسون-بولتزمان، تم اشتقاق العديد من المعادلات الأخرى باستخدام عدد من الافتراضات المختلفة.

الأصول

الخلفية والاشتقاق

تصف معادلة بواسون-بولتزمان نموذجًا اقترحه لويس جورج غوي وديفيد ليونارد تشابمان بشكل مستقل في عامي 1910 و1913 على التوالي. [ 3 ] في نموذج غوي-تشابمان ، يتلامس جسم صلب مشحون مع محلول أيوني، مما يُنشئ طبقة من الشحنات السطحية والأيونات المضادة، أو ما يُعرف بالطبقة المزدوجة . [ 4 ] نظرًا للحركة الحرارية للأيونات، فإن طبقة الأيونات المضادة تكون طبقة منتشرة وأكثر امتدادًا من طبقة جزيئية واحدة، كما اقترحها هيرمان هيلمهولتز سابقًا في نموذج هيلمهولتز. [ 3 ] يذهب نموذج طبقة شتيرن خطوة أبعد، ويأخذ في الاعتبار الحجم المحدود للأيونات.

نظريةالخصائص المهمةالافتراضات
هيلمهولتزيتم تحييد الشحنة السطحية بواسطة طبقة جزيئية من الأيونات المضادة؛ يتم تبديد جهد الشحنة السطحية خطيًا من السطح إلى الأيونات المضادة لتلبية الشحنة [ 5 ]الحركة الحرارية، وانتشار الأيونات، والامتزاز على السطح، وتفاعلات المذيب/السطح تعتبر ضئيلة [ 5 ]
غوي-تشابمانتم أخذ الحركة الحرارية للأيونات في الاعتبار؛ تتصرف الأيونات كشحنات نقطية [ 6 ]تم تجاهل حجم الأيون المحدود؛ سطح مشحون بشكل منتظم؛ تم تجاهل التفاعلات غير الكولومية [ 6 ]
صارمتم أخذ حجم الأيون المحدود ومجال الترطيب في الاعتبار؛ يتم امتصاص بعض الأيونات بشكل خاص بواسطة السطح في المستوى، والمعروف باسم طبقة ستيرن [ 7 ].طبقة ستيرن رقيقة مقارنة بحجم الجسيمات؛ سرعة السائل = 0 في طبقة ستيرن [ 7 ]

يشرح نموذج غوي-تشابمان خصائص الطبقة المزدوجة الكهربائية الشبيهة بالسعة الكهربائية. [ 4 ] يمكن رؤية حالة مستوية بسيطة ذات سطح مشحون بشحنة سالبة في الشكل أدناه. وكما هو متوقع، يكون تركيز الأيونات المضادة أعلى بالقرب من السطح منه في المحلول.

حالة مستوية بسيطة لنموذج غوي-تشابمان

تصف معادلة بواسون-بولتزمان الجهد الكهروكيميائي للأيونات في الطبقة المنتشرة. ويمكن وصف توزيع الجهد ثلاثي الأبعاد بواسطة معادلة بواسون [ 4 ].∇2ψ=∂2ψ∂x2+∂2ψ∂y2+∂2ψ∂z2=-ρهـε،{\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-{\frac {\rho _{e}}{\varepsilon }},} أين

يمكن تفسير حرية حركة الأيونات في المحلول باستخدام إحصاءات بولتزمان . تُستخدم معادلة بولتزمان لحساب كثافة الأيونات المحلية بحيث جأنا=جأنا0⋅خبرة⁡(-دبليوأناكبتي)،{\displaystyle c_{i}=c_{i}^{0}\cdot \exp \left({\frac {-W_{i}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right),} أين

  • جأنا0{\displaystyle c_{i}^{0}}[ 8 ] هو تركيز الأيونات في الكتلة
  • دبليوأنا{\displaystyle W_{i}}هو العمل المطلوب لتحريك أيون أقرب إلى السطح من مسافة بعيدة للغاية،
  • كب{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}هو ثابت بولتزمان ،
  • تي{\displaystyle T}درجة الحرارة بالكلفن .

يمكن استبدال معادلة كثافة الأيونات المحلية في معادلة بواسون بافتراض أن الشغل المبذول هو شغل كهربائي فقط، وأن تركيز الملح أعلى بكثير من تركيز الأيونات. [ 4 ] الشغل الكهربائي اللازم لنقل أيون مشحونqأنا{\displaystyle q_{i}}يمكن تمثيل السطح ذي الجهد ψ بواسطةدبليوأنا=qأناψ{\displaystyle W_{i}=q_{i}\psi }[ 4 ] يمكن استبدال معادلات الشغل هذه في معادلة بولتزمان، مما ينتج عنه تعبير عن تركيز كل نوع من أنواع الأيونات جأنا=جأنا0خبرة⁡(-qأناψ(x،y،z)كبتي){\displaystyle c_{i}=c_{i}^{0}\exp \left(-{\frac {q_{i}\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}\right)}.

بإدخال علاقة بولتزمان هذه في تعبير كثافة الشحنة الكهربائية المحلية ، يمكن الحصول على التعبير التالي ρهـ=∑أناجأناqأنا=∑أناجأنا0qأناخبرة⁡(-qأناψ(x،y،z)كبتي).{\displaystyle \rho _{e}=\sum _{i}c_{i}q_{i}=\sum _{i}c_{i}^{0}q_{i}\exp \left({\frac {-q_{i}\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}\right).}

وأخيرًا، يمكن استبدال كثافة الشحنة في معادلة بواسون لإنتاج معادلة بواسون-بولتزمان: [ 4 ]

معادلة بواسون-بولتزمان

∇2ψ=-1ε∑أناجأنا0qأناخبرة⁡(-qأناψ(x،y،z)كبتي){\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-{\frac {1}{\varepsilon }}\sum _{i}c_{i}^{0}q_{i}\exp \left({\frac {-q_{i}\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}\right)}

عندما يتم قياس المسافة كمضاعفات لطول بييروملب{\displaystyle l_{b}}ويتم قياس الإمكانات بمضاعفاتكبتي/هـ{\displaystyle k_{B}T/e}عندئذٍ يمكن إعادة ترتيب المعادلة إلى شكل لا بُعدي ∇2ψ=2ج0(لب)3سينه⁡(ψ).{\displaystyle \nabla ^{2}\psi =2c_{0}(l_{b})^{3}\sinh \left(\psi \right).}

تتخذ معادلة بواسون-بولتزمان أشكالًا عديدة في مختلف المجالات العلمية. في الفيزياء الحيوية وبعض تطبيقات كيمياء الأسطح، تُعرف ببساطة باسم معادلة بواسون-بولتزمان. [ 9 ] كما تُعرف في الكيمياء الكهربائية بنظرية غوي-تشابمان؛ وفي كيمياء المحاليل بنظرية ديباي-هوكيل ؛ وفي كيمياء الغرويات بنظرية ديرجاغين-لانداو-فيروي-أوفربيك (DLVO) . [ 9 ] لا تتطلب معادلة بواسون-بولتزمان سوى تعديلات طفيفة لتطبيقها على نماذج الأسطح البينية المختلفة، مما يجعلها أداة بالغة الأهمية في تحديد الجهد الكهروستاتيكي على الأسطح. [ 4 ]

الحل التحليلي

لأن معادلة بواسون-بولتزمان هي معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية، يتم حلها بشكل شائع عدديًا ؛ ومع ذلك، مع بعض الأشكال الهندسية، يمكن حلها تحليليًا.

الأشكال الهندسية

إن الشكل الهندسي الذي يُسهّل هذه العملية هو السطح المستوي. في حالة السطح المستوي الممتد بلا حدود، يوجد بُعدان لا يتغير فيهما الجهد بسبب التناظر. بافتراض أن هذين البُعدين هما البُعدان y و z، يتبقى البُعد x فقط. فيما يلي معادلة بواسون-بولتزمان محلولة تحليليًا بدلالة مشتقة من الرتبة الثانية بالنسبة إلى x. [ 4 ]

د2ψدx2=ج0هـε⋅[هـهـψ(x)كبتي-هـ-هـψ(x)كبتي]// }T}}\يمين]}

تم التوصل إلى حلول تحليلية للحالات المحورية والكروية في دراسة محددة. [ 10 ] المعادلة على شكل لوغاريتم متسلسلة قوى ، وهي كما يلي: د2ψدر2+Lردψدر=هـψ-دلتاهـ-ψ{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dr^{2}}}+{\frac {L}{r}}{\frac {d\psi }{dr}}=e^{\psi }-\delta e^{-\psi }}

يستخدم جهدًا لا بُعديψ=هـΦكتي{\displaystyle \psi ={\frac {e\Phi }{kT}}}وتُقاس الأطوال بوحدات نصف قطر ديباي للإلكترون في منطقة الجهد الصفريRهـد=كتي4πهـ2نهـ0{\displaystyle R_{eD}={\sqrt {\frac {kT}{4\pi e^{2}n_{e0}}}}}(أيننهـ0{\displaystyle n_{e0}}يشير إلى كثافة عدد الأيونات السالبة في منطقة الجهد الصفري). بالنسبة للحالة الكروية، L=2، والحالة المحورية، L=1، والحالة المستوية، L=0.

حالات ذات إمكانات منخفضة مقابل حالات ذات إمكانات عالية

عند استخدام معادلة بواسون-بولتزمان، من المهم تحديد ما إذا كانت الحالة المحددة ذات جهد منخفض أم مرتفع . تصبح حالة الجهد المرتفع أكثر تعقيدًا، لذا يُنصح باستخدام معادلة الجهد المنخفض إن أمكن. في حالة الجهد المنخفض، يكون الشكل الخطي لمعادلة بواسون-بولتزمان (الموضح أدناه) صالحًا، وهو شائع الاستخدام لبساطته وشموله نطاقًا واسعًا من الحالات. [ 11 ]ψ=ψ0هـ-كx{\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{-\mathrm {K} x}}

حالات ذات احتمالية منخفضة

بمعنى أدق، فإن الإمكانات المنخفضة تعني أنهـ|ψ|≪كبتي{\displaystyle e\left\vert \psi \right\vert \ll k_{\mathrm {B} }T}ومع ذلك، فإن النتائج التي تُنتجها المعادلات صالحة لنطاق أوسع من الجهود، من 50 إلى 80 ملي فولت. [ 4 ] ومع ذلك، عند درجة حرارة الغرفة ،ψ≤25مV{\displaystyle \psi \leq \mathrm {25mV} }وهذا هو المعيار السائد عمومًا. [ 4 ] من بين الشروط الحدية التي تُطبق في حالات الجهد المنخفض ما يلي: عند السطح، يجب أن يكون الجهد مساويًا لجهد السطح، وعلى مسافات كبيرة من السطح، يقترب الجهد من الصفر. ويُحدد طول اضمحلال المسافة هذا بطول ديباي.λد{\displaystyle \lambda _{D}}المعادلة [ 4 ]

ك=2ج0هـ2εكبتي{\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {\frac {2c_{0}e^{2}}{\varepsilon k_{\mathrm {B} }T}}}}

λد=ك-1{\displaystyle \lambda _{D}=\mathrm {K} ^{-1}}

مع ازدياد تركيز الملح، يقل طول ديباي نتيجةً لحجب الأيونات الموجودة في المحلول للشحنة السطحية. [ 12 ] وتُعد حالة25∘ج{\displaystyle 25^{\circ }C}الماء مع ملح أحادي التكافؤ. [ 4 ] معادلة طول ديباي هي:

λد=0.304نمج0{\displaystyle \lambda _{D}={\frac {\mathrm {0.304nm} }{\sqrt {c_{0}}}}}

أينج0{\displaystyle c_{0}}يمثل تركيز الملح بوحدة مول/لتر. تتطلب جميع هذه المعادلات حالات تركيز ملح بنسبة 1:1، ولكن في حالة وجود أيونات ذات تكافؤ أعلى، يتم استخدام الحالة التالية. [ 4 ]

ك=هـ2εكبتي∑جأناZأنا2{\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {{\frac {e^{2}}{\varepsilon k_{\mathrm {B} }T}}\sum c_{i}{Z_{i}}^{2}}}}

حالة ذات إمكانات عالية

تُعرف حالة الجهد العالي باسم "الحالة أحادية البعد الكاملة". وللحصول على المعادلة، يُستخدم الحل العام لمعادلة بواسون-بولتزمان، ويتم إهمال حالة الجهد المنخفض. تُحل المعادلة باستخدام مُعامل لا بُعدي .y≡هـψكبتي{\displaystyle y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}}، والتي لا ينبغي الخلط بينها وبين رمز الإحداثيات المكانية، y. [ 4 ] باستخدام العديد من المتطابقات المثلثية والشروط الحدية التي تنص على أن الجهد غير البعدي ومشتقته يساويان صفرًا عند المسافات الكبيرة من السطح، يتم الكشف عن معادلة الجهد العالي. [ 4 ]

هـ-كx=(هـy/2-1)(هـy0/2+1)(هـy/2+1)(هـy0/2-1){\displaystyle e^{-\mathrm {K} x}={\frac {(e^{y/2}-1)(e^{y_{0}/2}+1)}{(e^{y/2}+1)(e^{y_{0}/2}-1)}}}

هذه المعادلة تحل لـهـy/2{\displaystyle e^{y/2}}يظهر أدناه.

هـy/2=هـy0/2+1+(هـy0/2-1)⋅هـ-كxهـy0/2+1-(هـy0/2-1)⋅هـ-كx{\displaystyle e^{y/2}={\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}}

للحصول على معادلة أكثر فائدة تسهل رسم التوزيعات ذات الإمكانات العالية، خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين وقم بحل المعادلة لإيجاد الإمكانات عديمة الأبعاد، y.

y=2ln⁡هـy0/2+1+(هـy0/2-1)⋅هـ-كxهـy0/2+1-(هـy0/2-1)⋅هـ-كx{\displaystyle y=2\ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}}

مع العلم أنy≡هـψكبتي{\displaystyle y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}}استبدل هذا بـ y في المعادلة السابقة وحل المعادلة لإيجاد قيمة y.ψ{\displaystyle \psi }يتم عرض المعادلة التالية.

ψ=2كبتيهـ⋅ln⁡هـy0/2+1+(هـy0/2-1)⋅هـ-كxهـy0/2+1-(هـy0/2-1)⋅هـ-كx{\displaystyle \psi ={\frac {2k_{B}T}{e}}\cdot \ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}}

y0=هـψ0كبتي{\displaystyle y_{0}={\frac {e\psi _{0}}{k_{B}T}}}

شروط

في حالات الجهد المنخفض، يمكن استخدام معادلة الجهد العالي وستظل تعطي نتائج دقيقة. مع ارتفاع الجهد، تُبالغ معادلة الجهد المنخفض الخطية في تقدير الجهد كدالة للمسافة من السطح. يظهر هذا التقدير الزائد عند مسافات أقل من نصف طول ديباي ، حيث يكون التضاؤل ​​أسرع من التضاؤل ​​الأسي . يستخدم الشكل التالي المعادلة الخطية ومعادلة الرسم البياني للجهد العالي المشتقة أعلاه. وهو رسم بياني للجهد مقابل المسافة لجهود سطحية متغيرة تبلغ 50 و100 و150 و200 ملي فولت. تفترض المعادلات المستخدمة في هذا الشكل محلول كلوريد الصوديوم بتركيز 80 ملي مولار.

الجهد مقابل المسافة لجهود سطحية متغيرة تبلغ 50 و100 و150 و200 ملي فولت. تفترض المعادلات المستخدمة في هذا الشكل محلول كلوريد الصوديوم بتركيز 80 ملي مولار.

التطبيقات العامة

يمكن تطبيق معادلة بواسون-بولتزمان في مجموعة متنوعة من المجالات بشكل أساسي كأداة نمذجة لعمل تقريبات لتطبيقات مثل التفاعلات الجزيئية الحيوية المشحونة، وديناميكيات الإلكترونات في أشباه الموصلات أو البلازما، وما إلى ذلك. تُستخدم معظم تطبيقات هذه المعادلة كنماذج لاكتساب المزيد من الفهم حول الكهروستاتيكا .

التطبيقات الفيزيولوجية

يمكن تطبيق معادلة بواسون-بولتزمان على الأنظمة الجزيئية الحيوية. ومن الأمثلة على ذلك ارتباط الإلكتروليتات بالجزيئات الحيوية في المحلول. وتعتمد هذه العملية على المجال الكهروستاتيكي الناتج عن الجزيء، والجهد الكهروستاتيكي على سطح الجزيء، بالإضافة إلى الطاقة الحرة الكهروستاتيكية. [ 13 ]

يمكن استخدام معادلة بواسون-بولتزمان الخطية لحساب الجهد الكهروستاتيكي والطاقة الحرة للجزيئات عالية الشحنة، مثل الحمض النووي الريبوزي الناقل (tRNA)، في محلول أيوني يحتوي على أعداد مختلفة من الأيونات المرتبطة به، وذلك عند قوى أيونية فيزيولوجية متفاوتة. وقد تبين أن الجهد الكهروستاتيكي يعتمد على شحنة الجزيء، بينما تأخذ الطاقة الحرة الكهروستاتيكية في الحسبان الشحنة الكلية للنظام. [ 14 ]

مثال آخر على استخدام معادلة بواسون-بولتزمان هو تحديد توزيع الجهد الكهربائي عند نقاط عمودية على الطبقة الثنائية للفوسفوليبيدات في كريات الدم الحمراء . ويأخذ هذا في الاعتبار طبقتي الغليكوكاليكس والسبكترين في غشاء كريات الدم الحمراء. وتُعد هذه المعلومات مفيدة لأسباب عديدة ، منها دراسة الاستقرار الميكانيكي لغشاء كريات الدم الحمراء. [ 15 ]

الطاقة الكهروستاتيكية الحرة

يمكن أيضًا استخدام معادلة بواسون-بولتزمان لحساب الطاقة الحرة الكهروستاتيكية لشحن كرة افتراضيًا باستخدام تكامل الشحن التالي: Δجيel=∫τqيو(τ′)دτ′{\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\int ^{\tau }qU(\tau ')\,d\tau '} أينτq{\displaystyle \tau q}هي الشحنة النهائية على الكرة

يمكن التعبير عن الطاقة الحرة الكهروستاتيكية أيضًا من خلال عملية شحن النظام. يستخدم التعبير التالي الجهد الكيميائي لجزيئات المذاب ويطبق معادلة بواسون-بولتزمان باستخدام دالة أويلر-لاغرانج : Δجيel=∫V(كتي∑أناجأنا∞[1-خبرة⁡(-zأناqيوكتي)]+صويو--ε(∇يو)28π)دV{\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\int _{V}\left(kT\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left({\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]+p^{f}U-{\frac {-\varepsilon ({\boldsymbol {\nabla }}U)^{2}}{8\pi }}\right)dV}

لاحظ أن الطاقة الحرة مستقلة عن مسار الشحن [5c].

يمكن إعادة كتابة التعبير أعلاه إلى حدود طاقة حرة منفصلة بناءً على المساهمات المختلفة في إجمالي الطاقة الحرة Δجيel=Δجيef+Δجيإم+Δجيحشد+Δجيحل{\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\Delta G^{\text{ef}}+\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}}+\Delta G^{\text{solv}}} أين

  • الشحنات الثابتة الكهروستاتيكية =Δجيef=∫Vصويو2دV{\displaystyle \Delta G^{\text{ef}}=\int _{V}{\frac {p^{f}U}{2}}dV}
  • الشحنات المتحركة الكهروستاتيكية =Δجيإم=∫V∑أناجأناzأناqيو2دV{\displaystyle \Delta G^{\text{em}}=\int _{V}{\frac {\sum _{i}c_{i}z_{i}qU}{2}}dV}
  • الطاقة الحرة الإنتروبية لخلط الأنواع المتحركة =Δجيحشد=كتي∫Vجأناln⁡جأناجأنا∞دV{\displaystyle \Delta G^{\text{mob}}=kT\int _{V}c_{i}\ln {\frac {c_{i}}{c_{i}^{\infty }}}dV}
  • الطاقة الحرة الإنتروبية لخلط المذيب =Δجيحل=كتي∫V∑أناجأنا∞[1-خبرة⁡(-zأناqيوكتي)]دV{\displaystyle \Delta G^{\text{solv}}=kT\int _{V}\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left({\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]dV}

وأخيرًا، بدمج الحدود الثلاثة الأخيرة، نحصل على المعادلة التالية التي تمثل مساهمة الفضاء الخارجي في تكامل كثافة الطاقة الحرةΔجيخارج=Δجيإم+Δجيحشد+Δجيحل{\displaystyle \Delta G^{\text{out}}=\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}}+\Delta G^{\text{solv}}}

يمكن لهذه المعادلات أن تُستخدم كنماذج هندسية بسيطة للأنظمة البيولوجية مثل البروتينات والأحماض النووية والأغشية. [ 13 ] ويتضمن ذلك حل المعادلات باستخدام شروط حدودية بسيطة مثل جهد السطح الثابت. وتُعد هذه التقريبات مفيدة في مجالات مثل كيمياء الغرويات . [ 13 ]

علم المواد

يمكن استخدام حل تحليلي لمعادلة بواسون-بولتزمان لوصف تفاعل الإلكترون-إلكترون في أشباه الموصلات المعدنية العازلة (MIS). [ 16 ] ويمكن استخدام هذا الحل لوصف اعتماد الأنظمة المبددة للطاقة، مثل الأنظمة الميزوسكوبية، على كلٍ من الزمن والموقع. ويتم ذلك بحل معادلة بواسون-بولتزمان تحليليًا في الحالة ثلاثية الأبعاد. ينتج عن هذا الحل تعبيرات لدالة التوزيع لمعادلة بولتزمان، ومتوسط ​​الجهد المتسق ذاتيًا لمعادلة بواسون . تُعد هذه التعبيرات مفيدة لتحليل النقل الكمي في النظام الميزوسكوبي. في وصلات النفق بين أشباه الموصلات المعدنية العازلة، قد تتراكم الإلكترونات بالقرب من السطح الفاصل بين الطبقات، ونتيجةً لذلك، يتأثر النقل الكمي للنظام بتفاعلات الإلكترون-إلكترون. [ 16 ] يمكن معرفة بعض خصائص النقل، مثل التيار الكهربائي وكثافة الإلكترونات، من خلال حساب متوسط ​​جهد كولوم المتسق ذاتيًا الناتج عن تفاعلات الإلكترون-إلكترون، والذي يرتبط بتوزيع الإلكترونات. لذلك، من الضروري حل معادلة بواسون-بولتزمان تحليليًا للحصول على الكميات التحليلية في وصلات النفق MIS. [ 16 ] بتطبيق الحل التحليلي التالي لمعادلة بواسون-بولتزمان (انظر القسم 2) على وصلات النفق MIS، يمكن صياغة التعبير التالي للتعبير عن كميات النقل الإلكتروني، مثل كثافة الإلكترونات والتيار الكهربائي. و1و0-و0+هـهـzτ0م∂و0∂vz(1-هـ-ττ0)-∫0تهـمهـت-τ′τ0∇ρ[ر-v(ت-ت′)]×∂و0∂vدت′{\displaystyle f_{1}f^{0}-f_{0}+{\frac {eE_{z}\tau _{0}}{m}}{\frac {\partial f_{0}}{\partial v_{z}}}\left(1-e^{\frac {-\tau }{\tau _{0}}}\right)-\int _{0}^{t}{\frac {e}{m}}e{^{\frac {t-\tau '}{\tau _{0}}}}\nabla \rho [r-v(t-t')]\times {\frac {\partial f_{0}}{\partial v}}dt'}

بتطبيق المعادلة أعلاه على وصلة النفق MIS، يمكن تحليل النقل الإلكتروني على طول المحور z، الذي يُشار إليه عموديًا على مستوى الطبقات. في هذه الحالة، يتم اختيار وصلة من النوع n مع تطبيق جهد انحياز V على طول المحور z. يمكن إيجاد متوسط ​​الجهد المتسق ذاتيًا للنظام باستخدام ρρ1+ρ2{\displaystyle \rho \rho _{1}+\rho _{2}} أين

  • ρ1≈أهـz2λد1هـ-λد1z{\displaystyle \rho _{1}\approx {\frac {aE_{z}}{2\lambda _{D1}}}e^{-\lambda _{D1}z}}و
  • ρ2≈نهـπجي(أناλد1)هـ-تτ0-λد1z33ελد1(1-هـ1-2نهـ2ت2مε){\displaystyle \rho _{2}\approx {\frac {ne{\sqrt {\pi }}G(i\lambda _{D1})e^{{\frac {-t}{\tau _{0}}}-\lambda _{D1}z}}{3{\sqrt {3}}\varepsilon \lambda _{D1}}}\left(1-e^{1-{\sqrt {\frac {2ne^{2}t^{2}}{m\varepsilon }}}}\right)}

يُطلق على λ اسم طول ديباي .

يمكن إيجاد الكثافة الإلكترونية والتيار الكهربائي عن طريق التلاعب بالمعادلة 16 أعلاه كدوال للموضع z. ويمكن استخدام كميات النقل الإلكتروني هذه للمساعدة في فهم خصائص النقل المختلفة في النظام.

القيود

المصدر: [ 4 ]

كما هو الحال مع أي نموذج تقريبي، فإن معادلة بواسون-بولتزمان هي تقريب وليست تمثيلاً دقيقاً. وقد وُضعت عدة افتراضات لتقريب جهد الطبقة المنتشرة. اعتُبر الحجم المحدود للأيونات ضئيلاً، وعُوملت الأيونات كشحنات نقطية منفردة، حيث افترض أن الأيونات تتفاعل مع متوسط ​​المجال الكهروستاتيكي لجميع جيرانها بدلاً من كل جار على حدة. إضافةً إلى ذلك، لم تُؤخذ التفاعلات غير الكولومية في الحسبان، ولم تُؤخذ بعض التفاعلات في الاعتبار، مثل تداخل أغلفة تميؤ الأيونات في نظام مائي. وافترض أن سماحية المذيب ثابتة، مما ينتج عنه تقريب غير دقيق لأن الجزيئات القطبية تُمنع من الحركة بحرية عند مواجهتها للمجال الكهربائي القوي على السطح الصلب.

على الرغم من وجود بعض القيود في النموذج، إلا أنه يصف الطبقات الكهربائية المزدوجة بدقة عالية. وتتلاشى الأخطاء الناتجة عن الافتراضات المذكورة سابقًا في معظمها. يؤدي أخذ التفاعلات غير الكولومية في الحسبان إلى زيادة تركيز الأيونات على السطح، مما ينتج عنه انخفاض في جهد السطح. من ناحية أخرى، يؤدي تضمين الحجم المحدود للأيونات إلى تأثير معاكس. تُعد معادلة بواسون-بولتزمان الأنسب لتقريب الجهد الكهروستاتيكي على السطح للمحاليل المائية للأملاح أحادية التكافؤ بتراكيز أقل من 0.2 مولار وجهود لا تتجاوز 50-80  ملي فولت.

في حالة التفاعلات الكهروستاتيكية القوية، تكون نظرية الاقتران القوي أكثر ملاءمة من نظرية الاقتران الضعيف المفترضة في اشتقاق نظرية بواسون-بولتزمان. [ 17 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ نيتز، ر. ر.؛ أورلاند، هـ. (2000-02-01). "ما وراء بواسون-بولتزمان: تأثيرات التقلبات ودوال الارتباط". المجلة الأوروبية للفيزياء E. 1 ( 2): 203-214 . arXiv : cond-mat/9902085 . Bibcode : 2000EPJE....1..203N . doi : 10.1007/s101890050023 . ISSN 1292-8941 . S2CID 119468015 .  
  2. ↑ عطارد، فيل (7 أغسطس 2002). الديناميكا الحرارية والميكانيكا الإحصائية: التوازن عن طريق تعظيم الإنتروبيا . دار النشر الأكاديمية. ص 318. ISBN  978-0-12-066321-7.
  3. 1 2 فوغولاري، ف.؛ بريغو، أ.؛ موليناري، هـ. (2002). "معادلة بواسون-بولتزمان للإلكتروستاتيكا الجزيئية الحيوية: أداة لعلم الأحياء البنيوي". مجلة التعرف الجزيئي . 15 (6): 379-385 . doi : 10.1002/jmr.577 . PMID 12501158. S2CID 17184352 .  
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 بوت، هـ.؛ غراف، ل.؛ كابل، م . (2006). فيزياء وكيمياء الأسطح البينية ( الطبعة الثانية). فاينهايم، ألمانيا: وايلي-في سي إتش. ISBN  978-3-527-40629-6.
  5. 1 2 جامعة ولاية نيو مكسيكو. "الطبقة المزدوجة الكهربائية" . تم الاطلاع عليه في 1 يونيو 2014 .
  6. 1 2 جامعة سيمون فريزر. "محاضرة الكيمياء 465 رقم 10" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه في 1 يونيو 2014 .
  7. 1 2 قسم الهندسة الكيميائية، جامعة كارنيجي ميلون. "تطبيق نموذج طبقة ستيرن الديناميكية على قياسات الحركة الكهربائية لجزيئات اللاتكس" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه في 1 يونيو 2014 .
  8. ↑ "الطبقة المزدوجة الكهربائية" . web.nmsu.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2018-06-01 .
  9. 1 2 لو، بي زد؛ وآخرون (2008). "التقدم الحديث في الطرق العددية لمعادلة بواسون-بولتزمان في التطبيقات الفيزيائية الحيوية" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الحاسوبية 3 (5): 973-1009 [ص 974-980]. 
  10. ↑ دياشكوف، إل جي (2005). "الحل التحليلي لمعادلة بواسون-بولتزمان في حالات التناظر الكروي والمحوري". رسائل الفيزياء التقنية . 31 (3): 204-207 . Bibcode : 2005TePhL..31..204D . doi : 10.1134/1.1894433 . S2CID 120529487 . 
  11. ↑ توينيه، ر. (2003). "حلول تقريبية لمعادلة بواسون-بولتزمان في الهندسة الكروية والأسطوانية". مجلة علوم الغرويات والأسطح البينية . 258 (1): 45-49 . Bibcode : 2003JCIS..258...45T . doi : 10.1016/S0021-9797(02)00142-X .
  12. ↑ سبيرلاكس، ن. (2012). كتاب مصادر فسيولوجيا الخلية: منهج جزيئي ( الطبعة الثالثة). سان دييغو: أكاديمية. ISBN  978-0-12-387738-3.
  13. 1 2 3 فوغولاري، فيديريكو؛ زوكاتو، بييرفرانشيسكو؛ إسبوزيتو، جينارو؛ فيجلينو، باولا (1999). "الكهروستاتيكية الجزيئية الحيوية باستخدام معادلة بواسون-بولتزمان الخطية" . مجلة الفيزياء الحيوية . 76 (1): 1-16 . Bibcode : 1999BpJ....76....1F . doi : 10.1016/S0006-3495(99)77173-0 . PMC 1302495. PMID 9876118 .  
  14. ^ جروزيل ، ماجدالينا. جروتشوسكي، باول؛ تريلسكا، جوانا (2008). “نموذج بواسون-بولتزمان للحمض الريبي النووي النقال” . جي كومبيوتر. الكيمياء. 29 (12): 1970-1981 . دوى : 10.1002/jcc.20953 . بمك 2599918 . بميد 18432617 .  
  15. ↑ كروز، فريدريكو أ.و.؛ فيلهينا، فرناندو س.د.س.؛ كورتيز، سيليا م. (2000). "حلول معادلة بواسون-بولتزمان غير الخطية لغشاء كريات الدم الحمراء" . المجلة البرازيلية للفيزياء . 30 (2): 403-409 . Bibcode : 2000BrJPh..30..403C . doi : 10.1590/S0103-97332000000200023 .
  16. 1 2 3 تشانغ لي-تشي؛ وانغ تشنغ-تشوان (2009). "الحل التحليلي لمعادلة بولتزمان-بواسون وتطبيقه على وصلات النفق MIS". الفيزياء الصينية ب . 18 (2): 2975-2980 . Bibcode : 2009ChPhB..18.2975Z . doi : 10.1088/1674-1056/18/7/059 . S2CID 250813154 . 
  17. ↑ موريرا، أ.ج.؛ نيتز، ر.ر. (2000). "نظرية الاقتران القوي لتوزيعات الأيونات المضادة". رسائل الفيزياء الأوروبية . 52 (6): 705-711 . arXiv : cond-mat/0009376 . Bibcode : 2000EL.....52..705M . doi : 10.1209/epl/i2000-00495-1 . S2CID 18058376 .